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1、1令令mk20222xtxdd簡諧振動的動力學(xué)方程簡諧振動的動力學(xué)方程022xmktxdd整理得整理得kxFkxtxm22dd由牛頓第二定律：由牛頓第二定律：方程的解方程的解 )cos(tAxmk簡諧振動的角頻率簡諧振動的角頻率2)(cos2121222ptkAkxE)(sin2121222ktkAmEv總機(jī)械能總機(jī)械能2pk21kAEEE二、二、 簡諧振動的能量簡諧振動的能量Ek 最大時(shí)，最大時(shí)， Ep最小最小E Ek k 、E Ep p交替變化，交替變化，振幅的意義：振幅的意義：1、簡諧振動質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動范圍、簡諧振動質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動范圍2、反映了、反映了振動系統(tǒng)總能量的大小振動系統(tǒng)總能量的大小3利
2、用旋轉(zhuǎn)矢量法（相量圖法）求合振動利用旋轉(zhuǎn)矢量法（相量圖法）求合振動)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAtg)cos(tAx兩個(gè)兩個(gè)同同方向方向同同頻率簡諧振動頻率簡諧振動合成合成后仍為后仍為簡諧簡諧振動，振動，角頻率不變角頻率不變xo2A A1A A12A A2A A一、一、 同一直線同一直線同頻率同頻率的兩個(gè)簡諧振動的合成的兩個(gè)簡諧振動的合成4一般情況一般情況2121AAAAA相位差相位差21AAA212k)10( ， k相互加強(qiáng)相互加強(qiáng)21AAA相位差相位差相互削弱相互削弱) 12(12k)10( ， k51max2AA0minAtAA22
3、cos21212)(21振幅振幅 振動頻率振動頻率合振動頻率合振動頻率振幅部分振幅部分ttAx22cos)22cos2(12121 振幅是隨時(shí)間變化的，由于振幅這種改變也是周振幅是隨時(shí)間變化的，由于振幅這種改變也是周期性的，因此就出現(xiàn)振動忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象。期性的，因此就出現(xiàn)振動忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象。6 頻率頻率較大較大而頻率之而頻率之差很小差很小的兩個(gè)的兩個(gè)同方向同方向簡諧振動的合成，簡諧振動的合成，其合振動的振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫其合振動的振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫拍拍 tAA22cos2121由由1cos2cos12T122T當(dāng)當(dāng) t = 0 時(shí)，合振幅極大，等于時(shí)，合振幅極大，等于2A。
4、經(jīng)。經(jīng)T時(shí)間后又時(shí)間后又出現(xiàn)合振幅的極大值，則出現(xiàn)合振幅的極大值，則于是得拍的周期于是得拍的周期T（兩個(gè)相鄰振幅極大之間的時(shí)間）為（兩個(gè)相鄰振幅極大之間的時(shí)間）為單位時(shí)間內(nèi)振動加強(qiáng)或減弱的次數(shù)叫單位時(shí)間內(nèi)振動加強(qiáng)或減弱的次數(shù)叫拍頻拍頻712拍頻拍頻-振幅變化的頻率振幅變化的頻率拍頻為兩分振動頻率之差拍頻為兩分振動頻率之差常用于測量頻率。如果已知一個(gè)高頻振動的頻率，使它和另一常用于測量頻率。如果已知一個(gè)高頻振動的頻率，使它和另一頻率相近似但未知的振動疊加，測量合成振動的頻拍，就可以頻率相近似但未知的振動疊加，測量合成振動的頻拍，就可以求出后者的頻率。求出后者的頻率。1212122221T拍, A
5、的變化緩慢的變化緩慢 218)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx消去消去t t可得合振動軌跡可得合振動軌跡（橢圓方程）（橢圓方程）1 1） 或或2012xAAy12)cos(11tAx)cos(22tAyyx1A2Ao 討論討論9yx1A2Ao2 2）12xAAy123 3）2121222212AyAxtAxcos1)2cos(2tAy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxxy1A2Ao10用用旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矢矢量量描描繪繪振振動動合合成成圖圖114）當(dāng)（）當(dāng)（ ）等于其它值時(shí)，合振動的軌跡一般是）等于其它值時(shí)，合振動的軌跡一般是橢圓，其具體形狀
6、（長短軸的方向與大?。┖瓦\(yùn)動的方橢圓，其具體形狀（長短軸的方向與大?。┖瓦\(yùn)動的方向由分振動的振幅的大小和相差決定。向由分振動的振幅的大小和相差決定。1212簡簡諧諧振振動動的的合合成成圖圖兩兩相相互互垂垂直直同同頻頻率率不不同同相相位位差差13)cos(111tAx)cos(222tAynm212,83,4,8,0201測量振動頻率測量振動頻率和相位的方法和相位的方法李李 薩薩 如如 圖圖14 系統(tǒng)在振動過程中受到粘性阻力作用后振幅不斷減小，這系統(tǒng)在振動過程中受到粘性阻力作用后振幅不斷減小，這種振動稱為阻尼振動種振動稱為阻尼振動, ,也稱為減幅振動。也稱為減幅振動。當(dāng)物體低速運(yùn)動時(shí)，當(dāng)物體低速
7、運(yùn)動時(shí)，系統(tǒng)受的粘性阻力與速率成正比系統(tǒng)受的粘性阻力與速率成正比 比例系數(shù)比例系數(shù) ，叫阻力系數(shù)。叫阻力系數(shù)。 彈簧、單擺振動過程，受到的阻力與速度正比反向。彈簧、單擺振動過程，受到的阻力與速度正比反向。vfr關(guān)系式為關(guān)系式為: :比例系數(shù)比例系數(shù) （阻力系數(shù)）為正，它的大小由物體的形狀、大小、阻力系數(shù)）為正，它的大小由物體的形狀、大小、表面狀況以及介質(zhì)的性質(zhì)決定。表面狀況以及介質(zhì)的性質(zhì)決定。15以彈簧振子為例以彈簧振子為例xkmxo彈性F阻力f阻彈fFF22txmtxkxdddd由牛頓第二定律有由牛頓第二定律有022txmxmktxdddd整理得整理得mk20系統(tǒng)固有頻率系統(tǒng)固有頻率式中式中
8、022022xtxtxdddd阻尼振動方程為阻尼振動方程為m2令令稱阻尼因子（或用稱阻尼因子（或用 表示）表示）16角頻率角頻率振幅振幅)cos(0teAxt在阻尼作用較小時(shí)在阻尼作用較小時(shí), ,方程的解為方程的解為: :22022T220其中其中:txotAe阻尼振動位移時(shí)間曲線阻尼振動位移時(shí)間曲線(1)這種阻尼作用較小的情況稱這種阻尼作用較小的情況稱為欠阻尼。為欠阻尼。 170如單擺放在粘滯的油筒中擺到平衡位置須很長時(shí)間。如單擺放在粘滯的油筒中擺到平衡位置須很長時(shí)間。otx0臨界阻尼時(shí)，系統(tǒng)一次性地回到臨界阻尼時(shí)，系統(tǒng)一次性地回到平衡狀態(tài)，但所用的時(shí)間比過阻平衡狀態(tài)，但所用的時(shí)間比過阻尼狀
9、態(tài)要短。達(dá)到平衡位置的時(shí)尼狀態(tài)要短。達(dá)到平衡位置的時(shí)間最短，但仍不能超過平衡位置。間最短，但仍不能超過平衡位置。衰減函數(shù)衰減函數(shù)otxm218otx三種阻尼的比較三種阻尼的比較220 b b）過阻尼過阻尼220 a a）欠阻尼欠阻尼220 c c）臨界阻尼臨界阻尼abcm219在阻尼振動中，要維持振動，外界需加一在阻尼振動中，要維持振動，外界需加一個(gè)周期的個(gè)周期的驅(qū)動力驅(qū)動力，在驅(qū)動力作用下的振動叫，在驅(qū)動力作用下的振動叫受迫振動受迫振動。tHFcos驅(qū)設(shè)驅(qū)動力按余弦規(guī)律變化設(shè)驅(qū)動力按余弦規(guī)律變化，即，即由牛頓第二定律有：由牛頓第二定律有：amF策阻彈FFFtHvkxtxmcosdd22tmH
10、xmktxmtxcosdddd2220thxtxtxcosdd2dd2022mHh,20mk固有頻率；固有頻率；令令,2m阻尼因子；阻尼因子；則有則有:tmHxmktxmtxcosdddd22tHFcos驅(qū)21通解通解)cos()cos(0tAteAxt第一項(xiàng)為阻尼振動項(xiàng)，當(dāng)時(shí)間較長時(shí)衰減為第一項(xiàng)為阻尼振動項(xiàng)，當(dāng)時(shí)間較長時(shí)衰減為0。第二項(xiàng)為驅(qū)動力產(chǎn)生的周期振動。第二項(xiàng)為驅(qū)動力產(chǎn)生的周期振動。可以看成是兩個(gè)振動合成的?？梢钥闯墒莾蓚€(gè)振動合成的。第一項(xiàng)表示一個(gè)減幅振動。經(jīng)過一段時(shí)間后，就減弱第一項(xiàng)表示一個(gè)減幅振動。經(jīng)過一段時(shí)間后，就減弱到可以忽略不計(jì)了。到可以忽略不計(jì)了。后一項(xiàng)表示振幅不變的振動，
11、這就是達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)后一項(xiàng)表示振幅不變的振動，這就是達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的等幅振動。的等幅振動。因此，受迫振動的穩(wěn)定狀態(tài)就由下式表示因此，受迫振動的穩(wěn)定狀態(tài)就由下式表示)cos(tAx22用旋矢法可求出上式的用旋矢法可求出上式的A和和 )cos(tAx2202arctg式中的頻率為驅(qū)動力的頻率式中的頻率為驅(qū)動力的頻率212222204hA這些都與初始條件這些都與初始條件無關(guān)無關(guān)。受迫振動的振幅與驅(qū)動力的頻率有關(guān)。當(dāng)驅(qū)動力頻受迫振動的振幅與驅(qū)動力的頻率有關(guān)。當(dāng)驅(qū)動力頻率為某一值時(shí)，振幅達(dá)到極大值。率為某一值時(shí)，振幅達(dá)到極大值。23振幅振幅A是是的函數(shù)的函數(shù)0大阻尼0阻尼小阻尼pA1 1）受迫振動是由阻
12、尼振動及由驅(qū)動力產(chǎn)生的振動的合成）受迫振動是由阻尼振動及由驅(qū)動力產(chǎn)生的振動的合成2 2）振動開始較復(fù)雜，爾后呈現(xiàn)穩(wěn)定狀態(tài)，其穩(wěn)定解為）振動開始較復(fù)雜，爾后呈現(xiàn)穩(wěn)定狀態(tài)，其穩(wěn)定解為)cos(tAx驅(qū)動力提供的能量與驅(qū)動力提供的能量與克服阻力消耗的能量克服阻力消耗的能量相等相等結(jié)論：結(jié)論：242222204)(hA對于一定的振動系統(tǒng)，由于對于一定的振動系統(tǒng)，由于A是是的函數(shù)，當(dāng)驅(qū)動力頻率為某的函數(shù)，當(dāng)驅(qū)動力頻率為某一值時(shí)，振幅會達(dá)到最大值。把這種振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象一值時(shí)，振幅會達(dá)到最大值。把這種振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象叫共振。叫共振。0ddA因?yàn)橐驗(yàn)?dd22A有極大值。有極大值?？捎们髽O值的方法得
13、到使振幅可用求極值的方法得到使振幅A達(dá)到最大達(dá)到最大時(shí)的時(shí)的25當(dāng)當(dāng)2202時(shí)時(shí) A 最大。最大。2202hAr2202tanr當(dāng)阻尼很小，策動力頻率等于固有頻率時(shí)振幅最大當(dāng)阻尼很小，策動力頻率等于固有頻率時(shí)振幅最大-共振共振。 共振現(xiàn)象在實(shí)際中的應(yīng)用共振現(xiàn)象在實(shí)際中的應(yīng)用樂器、收音機(jī)樂器、收音機(jī)無線電中利用諧振電路選擇信號無線電中利用諧振電路選擇信號CM次聲武器次聲武器呀！受不呀！受不了啦！了啦！317HZ西游記，琵琶精西游記，琵琶精28華盛頓的華盛頓的Tocama懸索橋，懸索橋，1940 年年7月月1日日 因共振而坍塌因共振而坍塌塔卡瑪橋塔卡瑪橋由于設(shè)計(jì)時(shí)未考慮時(shí)速由于設(shè)計(jì)時(shí)未考慮時(shí)速40英里的持續(xù)性強(qiáng)風(fēng)，風(fēng)的壓力引發(fā)大英里的持續(xù)性強(qiáng)風(fēng)，風(fēng)的壓力引發(fā)大規(guī)模振蕩，還有大得離譜的扭曲擺動，啟用后規(guī)模振蕩，還有大得離譜的扭曲擺動，啟用后4個(gè)月這座橋就個(gè)月這座橋就坍塌了。塔卡瑪橋是未考慮風(fēng)力的典型不良設(shè)計(jì)，風(fēng)力攻擊平坍塌了。塔卡瑪橋是未考慮風(fēng)力的典型不良設(shè)計(jì)，風(fēng)力攻擊平鈍的橋側(cè)表面，就象水流經(jīng)過橋墩造成漩渦一樣，引起振蕩，鈍的橋側(cè)表面，就象水流經(jīng)過橋墩造成漩渦一樣，引起振蕩，導(dǎo)致橋身共振，最終坍塌。導(dǎo)致橋身共振，最終坍塌。 29
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