創(chuàng)新方案高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八篇 立體幾何空間幾何體的結(jié)構(gòu)三視圖和直觀圖 理 新人教版

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1、 第1講　空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖 【2013年高考會(huì)這樣考】 1．幾何體的展開(kāi)圖、幾何體的三視圖仍是高考的熱點(diǎn)． 2．三視圖和其他的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合在一起命題是新教材中考查學(xué)生三視圖及幾何量計(jì)算的趨勢(shì)． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 1．備考中，要重點(diǎn)掌握以三視圖為命題背景，研究空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的題型． 2．要熟悉一些典型的幾何體模型，如三棱柱、長(zhǎng)(正)方體、三棱錐等幾何體的三視圖． 基礎(chǔ)梳理 1．多面體的結(jié)構(gòu)特征 (1)棱柱的側(cè)棱都互相平行，上下底面是全等的多邊形． (2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形． (3)棱臺(tái)可由平行于底面的平面截棱錐得到

2、，其上下底面是相似多邊形． 2．旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 (1)圓柱可以由矩形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到． (2)圓錐可以由直角三角形繞一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到． (3)圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰所在直線旋轉(zhuǎn)一周或等腰梯形繞上下底面中心所在直線旋轉(zhuǎn)半周得到，也可由平行于底面的平面截圓錐得到． (4)球可以由半圓面繞直徑旋轉(zhuǎn)一周或圓面繞直徑旋轉(zhuǎn)半周得到． 3．空間幾何體的三視圖 空間幾何體的三視圖是用平行投影得到，這種投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子，與平面圖形的形狀和大小是全等和相等的，三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖． 4．空間幾何體的直觀圖 空間幾何體的直觀圖常用斜

3、二測(cè)畫(huà)法來(lái)畫(huà)，基本步驟是： (1)畫(huà)幾何體的底面 在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，且使∠x(chóng)′O′y′＝45°或135°，已知圖形中平行于x軸、y軸的線段，在直觀圖中平行于x′軸、y′軸．已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半． (2)畫(huà)幾何體的高 在已知圖形中過(guò)O點(diǎn)作z軸垂直于xOy平面，在直觀圖中對(duì)應(yīng)的z′軸，也垂直于x′O′y′平面，已知圖形中平行于z軸的線段，在直觀圖中仍平行于z′軸且長(zhǎng)度不變． 一個(gè)規(guī)律 三視圖的長(zhǎng)度特征：“長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平

4、齊”，即正視圖和側(cè)視圖一樣高，正視圖和俯視圖一樣長(zhǎng)，側(cè)視圖和俯視圖一樣寬．若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實(shí)、虛線的畫(huà)法． 兩個(gè)概念 (1)正棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形． (2)正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐．特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體．反過(guò)來(lái)，正棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心． 雙基自測(cè) 1．(人教A版教材習(xí)題改編)下列說(shuō)法正確的是(　　)． A．有兩個(gè)面

5、平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱 B．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱 C．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐 D．棱臺(tái)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn) 答案　D 2．(2012·杭州模擬)用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是(　　)． A．圓柱 B．圓錐 C．球體 D．圓柱、圓錐、球體的組合體 解析　當(dāng)用過(guò)高線的平面截圓柱和圓錐時(shí)，截面分別為矩形和三角形，只有球滿足任意截面都是圓面． 答案　C 3．(2011·陜西)某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是(　　)． A．8－B．8－ C．8－2π D.

6、 解析　圓錐的底面半徑為1，高為2，該幾何體體積為正方體體積減去圓錐體積，即V＝22×2－×π×12×2＝8－π，正確選項(xiàng)為A. 答案　A 4．(2011·浙江)若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是 (　　)． 解析　所給選項(xiàng)中，A、C選項(xiàng)的正視圖、俯視圖不符合，D選項(xiàng)的側(cè)視圖不符合，只有選項(xiàng)B符合． 答案　B 5．(2011·天津)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)則該幾何體的體積為_(kāi)_______m3. 解析　由三視圖可知該幾何體是組合體，下面是長(zhǎng)方體，長(zhǎng)、寬、高分別為3、2、1，上面是一個(gè)圓錐，底面圓半徑為1，高為3，所以該幾何體的體積為3

7、×2×1＋π×3＝6＋π(m3)． 答案　6＋π 考向一　空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 【例1】?(2012·天津質(zhì)檢)如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就稱它為“等腰四棱錐”，四條側(cè)棱稱為它的腰，以下4個(gè)命題中，假命題是(　　)． A．等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等 B．等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補(bǔ) C．等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓 D．等腰四棱錐的各頂點(diǎn)必在同一球面上 [審題視點(diǎn)] 可借助幾何圖形進(jìn)行判斷． 解析　如圖 ，等腰四棱錐的側(cè)棱均相等，其側(cè)棱在底面的射影也相等，則其腰與底面所成角相等，即A正確；底面四邊形必有一個(gè)外接圓，即C正確；在高線上

8、可以找到一個(gè)點(diǎn)O，使得該點(diǎn)到四棱錐各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，這個(gè)點(diǎn)即為外接球的球心，即D正確；但四棱錐的側(cè)面與底面所成角不一定相等或互補(bǔ)(若為正四棱錐則成立)．故僅命題B為假命題．選B. 答案　B 三棱柱、四棱柱、正方體、長(zhǎng)方體、三棱錐、四棱錐是常見(jiàn)的空間幾何體，也是重要的幾何模型，有些問(wèn)題可用上述幾何體舉特例解決． 【訓(xùn)練1】 以下命題： ①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐； ②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)； ③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓； ④一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)． 其中正確命題的個(gè)數(shù)為(　　)． A．0 B．1 C．2

9、 D．3 解析　命題①錯(cuò)，因?yàn)檫@條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐．命題②錯(cuò)，因這條腰必須是垂直于兩底的腰．命題③對(duì)．命題④錯(cuò)，必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才行． 答案　B 考向二　空間幾何體的三視圖 【例2】?(2011·全國(guó)新課標(biāo))在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為(　　)． [審題視點(diǎn)] 由正視圖和俯視圖想到三棱錐和圓錐． 解析　由幾何體的正視圖和俯視圖可知，該幾何體應(yīng)為一個(gè)半圓錐和一個(gè)有一側(cè)面(與半圓錐的軸截面為同一三角形)垂直于底面的三棱錐的組合體，故其側(cè)視圖應(yīng)為D. 答案　D (1)空間幾何體的三視圖是該幾何體在

10、三個(gè)兩兩垂直的平面上的正投影，并不是從三個(gè)方向看到的該幾何體的側(cè)面表示的圖形． (2)在畫(huà)三視圖時(shí)，重疊的線只畫(huà)一條，能看見(jiàn)的輪廓線和棱用實(shí)線表示，擋住的線要畫(huà)成虛線． 【訓(xùn)練2】 (2011·浙江)若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是(　　)． 解析　A中正視圖，俯視圖不對(duì)，故A錯(cuò)．B中正視圖，側(cè)視圖不對(duì)，故B錯(cuò)．C中側(cè)視圖，俯視圖不對(duì)，故C錯(cuò)，故選D. 答案　D 考向三　空間幾何體的直觀圖 【例3】?已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為(　　)． A.a2 B.a2C.a2D.a2 [審題視點(diǎn)] 畫(huà)出正三角形

11、△ABC的平面直觀圖△A′B′C′，求△A′B′C′的高即可． 解析　如圖①②所示的實(shí)際圖形和直觀圖． 由斜二測(cè)畫(huà)法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a， 在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′， 則C′D′＝O′C′＝a. ∴S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2. 答案　D 直接根據(jù)水平放置的平面圖形的直觀圖的斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則即可得到平面圖形的面積是其直觀圖面積的2倍，這是一個(gè)較常用的重要結(jié)論． 【訓(xùn)練3】 如圖， 矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，則原圖形是(　　)． A．正方形

12、 B．矩形 C．菱形 D．一般的平行四邊形 解析　 將直觀圖還原得?OABC，則 ∵O′D′＝O′C′＝2 (cm)， OD＝2O′D′＝4 (cm)， C′D′＝O′C′＝2 (cm)，∴CD＝2 (cm)， OC＝＝＝6 (cm)， OA＝O′A′＝6 (cm)＝OC， 故原圖形為菱形． 答案　C 閱卷報(bào)告9——忽視幾何體的放置對(duì)三視圖的影響致錯(cuò) 【問(wèn)題診斷】 空間幾何體的三視圖是該幾何體在兩兩垂直的三個(gè)平面上的正投影.同一幾何體擺放的角度不同，其三視圖可能不同，有的考生往往忽視這一點(diǎn). 【防范措施】 應(yīng)從多角度細(xì)心觀察. 【示例】?一個(gè)幾何體的正視

13、圖為一個(gè)三角形，則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的________(填入所有可能的幾何體前的編號(hào))． ①三棱錐；②四棱錐；③三棱柱；④四棱柱；⑤圓錐；⑥圓柱． 錯(cuò)因　忽視幾何體的不同放置對(duì)三視圖的影響，漏選③.實(shí)錄　①②⑤ 正解?、偃忮F的正視圖是三角形；②當(dāng)四棱錐的底面是四邊形放置時(shí)，其正視圖是三角形；③把三棱柱某一側(cè)面當(dāng)作底面放置，其底面正對(duì)著我們的視線時(shí)，它的正視圖是三角形；④對(duì)于四棱柱，不論怎樣放置，其正視圖都不可能是三角形； ⑤當(dāng)圓錐的底面水平放置時(shí)，其正視圖是三角形；⑥圓柱不論怎樣放置，其正視圖也不可能是三角形． 答案?、佗冖邰? 【試一試】 (2011·山東)右圖是 長(zhǎng)和寬分別相等的兩個(gè)矩形．給定下列三個(gè)命題：①存在三棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如右圖；②存在四棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如右圖；③存在圓柱，其正(主)視圖，俯視圖如右圖．其中真命題的個(gè)數(shù)是(　　)． A．3 B．2 C．1 D．0 [嘗試解答]　如圖①②③的正(主)視圖和俯視圖都與原題相同，故選A. 答案　A 內(nèi)容總結(jié)