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1、全國(guó)2009年1月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）試
題答案
課程代碼：04184
、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，
每小題2分，共20 分）
x + y + z = 0
1 .線性方程組」2x_5y_3z=10的解為（ A ）
4x +8y +2z=4
A . x=2,y=0, z = _2 B . x = _2, y = 2,z=0
x =1, y =0, z = —1
C. x=0,y=2,z = -2
2.設(shè)矩陣A =
，則矩陣A的伴隨矩陣A二（D ）
『3 -2]
.—4 1 丿
C.
'3 4 ]
I2 J
'3 -4 '
I r
2、2 1丿
3.設(shè)A為5 4矩陣，
若秩（A） =4，則秩（5AT）為（
A . 2 B . 3
C. 4
?1
1
1
0、
?1
0
0
2、
2
-5
-3
10 T
0
1
0
0
€
8
2
4丿
e
0
1
-2」
4 .設(shè)A,B分別為m n和m k矩陣，向量組（I）是由A的列向 量構(gòu)成的向量組，向量組（H）是由 （A,B）的列向量構(gòu)成的向
量組，則必有（C ）
A .若（I ）線性無(wú)關(guān)，則（H）線性無(wú)關(guān) B .若（I ）線
性無(wú)關(guān)，則（H）線性相關(guān)
C.若（H）線性無(wú)關(guān)，則（I）線性無(wú)關(guān) D .若（H）
線性無(wú)
3、關(guān)，則（I ）線性相關(guān)
（I）是（H）的部分組，整體無(wú)關(guān)=部分無(wú)關(guān).
5. 設(shè)A為5階方陣，若秩（a） =3，則齊次線性方程組 Ax"
的基礎(chǔ)解系中包含的解向量的個(gè)數(shù)是（ A ）
A . 2 B . 3 C. 4 D. 5
未知量個(gè)數(shù)n =5 , A的秩r =3，基礎(chǔ)解系包含n —r=2個(gè)解向量.
6. 設(shè)m n矩陣A的秩為n—1 ,且\, 2是齊次線性方程組 Ax=O的 兩個(gè)不同的解，則Ax=O的通解為（ ）
A . k i , k R B . k 2 , k R C . k「2 , k R
D . k（ i - 2） , k R
Ax =0的基礎(chǔ)解系包含1個(gè)解向量.
4、1, 2是不同的解，1-'2是非零解，可以作為基礎(chǔ)解系，通解
丿為 k（1 - 2）, k 二 R .
7 .對(duì)非齊次線性方程組AmnX=b ,設(shè)秩（A ） =r ,則（ ）
A . r=m時(shí)，方程組Ax=b有解 B . r=n時(shí)，方程組
Ax =b有唯一解
C. m=n時(shí)，方程組Ax =b有唯一解 D. r
5、
0
0
-2
0
0
-2>
<0
0
0
°」
—A =
,基礎(chǔ)解系含
r = m 時(shí)，r(A,b) =r(A)二m , Ax 二b 有解
1 1
1 1、
8.
設(shè)矩陣
A =
0 2
0 0
1 1
3 1
，則A的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)
e 0
0 3 ’
是
(C
)
A .
1
B.
2
C. 3
D. 4
1個(gè)解向量;
對(duì)于'2 =2 ,
■E
1
-1
-1
-r
-1
-1
-r
0
0
6、-1
-1
T
0
0
-1
-1
0
0
-1
-1
0
0
0
-1
e
0
0
一1」
e
0
0
0丿
-A =
,基礎(chǔ)解系含1
個(gè)解向量;
'2
0
0
<0
-1
1
0
0
-1
-1
0
0
-1
-1
-1
0
基礎(chǔ)解系含1個(gè)解向量.
9.設(shè)向量G=（4,-12-2）,則下列向量是單位向量的是 （B ）
1：
C.
1 —a
II：卜5 ,
1 1
II ： II 5
10.二次型 f（Xi,X2）=5x2 .3x2 的規(guī)
7、范形是（ D ）
2
y1
B . - y2 -yl C. - y2 yl
D . yl yl
、填空題（本大題共
10小題，每小題2分，共20 分）
11. 3階行列式
3 1 3
1 0 0
2 2 5
3 1 3
I 2 5 = =1 .
1 3
12 .設(shè) A =(3,1,0),
,z2 1 \
B= _4 0，貝U AB =(2,3).
1—3 5 丿
13 .設(shè) A為 3 階方陣，若 IAti = 2，則 H3A^__-54_
3 T
I -3A| = (-3)3| A|= -27| AT |二-27 2 = -5
8、4 .
14 .已知 向量〉=(3,5,7,9) , 1 =(-1,5,2,0),如果：■■■ = '■,則
十,0,-5,-9).
-■ -(-1,5,2,0) -(3,5,7,9)=(以,0,-5,-9).
a〔1 a〔2 a〔3
15 .設(shè)A=an an a23為3階非奇異矩陣，則齊次線性方程組 爐 31 a32 a33 丿
a 11 X[ a〔2 X2 813X3 — 0
￡21咅 +a22x2 +a23x3 =0 的解為 捲=X2 =X3 =0 .
?31X1 +332X2 +333X3 =0
|AZ , Ax"只有零解.
16.設(shè)非齊次線性方程組
q o o
9、2 : r
Ax = b的增廣矩陣為 0 10—1^2
,0 0 2 4 : 6;
則該方程組的通解為(1,2,3,0)t k(_2,1,_2,1)T .
廣 1
0
0
2
:1、
(A,b)T
0
1
0
-1
9
:2
2
0
1
2
-3丿
Xi = 1—2x4
x2 = 2 + x4
X3 =3 -2x4
X4 = x4
通解為 (123,0)T k(-2,1,-2,1)T .
17 .已知3階方陣A的特征值為1,-3,9，則__-1
3
新卜即心士*?9—1.
18 .已知向量。=(1,2,_1)
10、與向量0 -(0,1, y)正交，則y=__2
C , ：) =0 , 2 -y =0 , y =2 .
19.二次型 f (X1,X2,X3,X4)3x； 2x| -x4 的正慣性指數(shù)為 3
20 .若 f (x1, x2, x3 x-|2 4x| 4xf 2 ■ x1 x^ -2x1 x3 4x2 x3 為正定二次型，
則■的取值應(yīng)滿足-2 ：：： 一：1 .
1
k
-1、
4
2
D1
=1 >0
；D2
-1
2
4丿
1
&
-1
1
-1
4
2
=
0
. n 2
4
九+2
-1
11、
2
4
0
九+2
3
1
A =
('2)( 2 -，)
D3
=4 - 2
--C 2)( -2) 0 ,
"2
"2
3
= -4（九+2）（人 一1） >0 , <
'（九+2）（人 _2） v0 工九+2）（人一1） <0
R*2 2^1.
廠2 “v1
三、
計(jì)算題（本大題共
6小題，
每小題
9分，共
54分）
解:
22.
計(jì)算行列式
5
3
3
3
3
5
3
3
3
3
5
3
3
3
3
5
5
3
3
3
3
5
3
3
3
3
5
3
3
12、
3
3
5
11
11
11
11
3
5
3
3
3
3
5
3
3
3
3
5
1
0
0
0
3
2
0
0
3
0
2
0
3
0
0
2
=11 8=88
1
1
0 “
1
2、
0
-1
1
,B =
0
1
e
0
1/2』
I1
°」
AX
求矩陣
1
1
0
1
0
0"
q
1
0
1
0
0"
1
0
1
0
0 '
0
-1
1
0
1
0
T
0
-1
1
13、
0
1
0
T
0
-1
0
0
1
-2
1°
0
1/2
0
0
b
0
1
0
0
2>
1°
0
1
0
0
2 J
（A.E）
0
0
1
1
-2、
廣 1
0
0
1
1
-2、
廣1
1
-2、
T
0
-1
0
0
1
-2
T
0
1
0
0
-1
2
,=
0
-1
2
e
0
1
0
0
2 >
e
0
1
0
0
2>
1°
0
2」
-2
2
2
21
2
14、23.設(shè)矩陣
3 5 8 "
'1 0 2 1"
2 4 0
,B =
0 2 5 9
2 0 1>
2 0 3 0」
0
A =
,求矩陣
AB的秩.
解：|A|二
= 2=0 , A可逆，而B(niǎo)的秩為3,所以AB的
秩為3.
24.求向量組
=(1,4,3,-2),
= (2,5,4, -1),
=(3,9,7,-3)的秩.
解:
-2
-1
一3」
廣1
0
4
-3
-3
3
-2
-2
-2
3
3 >
4
-3
0
3
-2
0
-2
3
°」
的秩為2.
x1
15、25.求齊次線性方程組
=0
x1 2x2 ' 4x3 - 4x4 =0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.
2x1 3x2 5x3 5x4 = 0
x2
X3 X4
解：A
1
1
1
1、
1
1
1
1、
1
1
1
1、
1
0
-2
—2、
1
2
4
4
T
0
1
3
3
T
0
1
3
3
T
0
1
3
3
3
5
5丿
e
1
3
3」
<0
0
0
0」
<0
0
0
0」
Xr = 2x3 +2x4
A '
(2
嚴(yán)_ 3x3 3x4，
16、基礎(chǔ)解系為冷=
-3
> 」2
-3
X3 = X3
1
0
卜4 = X4
<0丿
J丿
26 .設(shè)矩陣a =
,求可逆矩陣
使P^AP為對(duì)角矩陣.
解：A的特征多項(xiàng)式為
I 'E -A|二
■ -1
0
0
乂一 1)
-2
-1
—1
-2
2 .
=C -1) (' -3),
特征值為’1 = '2 =1 , *3 .
17、
對(duì)于’1二'2=1，解齊次方程組（'E—A）x=O :
0 0 0
■‘0 11、
X =X1
￡
廣0、
入E — A =
0 -1 -1
T
0 0 0
,」
X2 = -X3，取 P1 =
0
,p2 =
-1
e -1 -b
1° 0 °」
= X3
0
J」
對(duì)于‘3=3，解齊次方程組（?E_A）x=O :
◎ 0
0
■'10 0
Xi = 0
九E _A
=:
0 1 -1
T
0 1 -1
,
18、
e 0 0」
兇=X3
1
0 0 %
0 0"
令P =
0
-1 1
,
則p是可逆矩陣，使pjlap =
0
1 0
e
1 b
0
0 3 J
四、證明題（本大題共 1小題，6分）
27.設(shè)向量組〉1，〉2, >3 線性無(wú)關(guān)，U「1 *2，- 2 “2 *3，- 3「3 *1， 證明：向量組\「2「3線性無(wú)關(guān).
證：設(shè) k1 k2 :2 - k3 ：3 =0，即
k1(：1 ? ： 2) k2(： 2 叱3) k3 (： 3 ' 4 ) = 0 ,
(k1 k3)、5 * (k1 k2)、；-2 (k2 ' k3)-￡3 =0 ,
因?yàn)椤?，〉2，〉3線性無(wú)關(guān)，
必有
k1
k1 k2
k2
k3
=0
=0 ,
=0
1 0 1
1 0 1
1 -1
1 1 0
—
0 1 -1
—
1 1
0 1 1
0 1 1
k3
|A| =
= 2=0 ,
方程組只有零解：ki*二k3=0，所以'-1, ：2, -3線性無(wú)關(guān).
《高等教育自學(xué)考試》《線性代數(shù)》09.01
