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1、全國2008年7月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試
題答案
課程代碼：04184
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20 分）
1.設(shè)3階方陣A=［〉i,： 2,： 3］，其中:i （ i =123）為A的列向量， 且 |A| = 2，則 |B冃［：1 3：2，： 2，： 3】U （ C ）
a . -2 B. 0 C. 2 D . 6
an
a12
a13
an
*3a〔2
a12
a13
|A匸
a21
a22
a23
,IB匸
a21
+3a?2
a22
a23
斗 A| = 2 .
a31
a32
a33
2、
a31
+ 3屯2
a32
a33
2.若方程組4 +X2 =o有非零解，則k= ( a )
kXr _x2 =0
A . -1 B. 0 C. 1 D . 2
1 1
f -1 ，—
3 .設(shè) A , B為同階可逆方陣，則下列等式中錯(cuò)誤的是
(C )
A . |AB|=|A||B| B . (AB)，二 B4A‘
C. (a B)^ =a4 b^ D. (ab)t=btat
反例：a =
■1 0、
e 1丿
，B =
1 0 ; <0
4.設(shè)a為三階矩陣，且|A「2，則|（A）^ ^ （ a ）
A - 1 B - 1 C 2
l(A )」
3、卜
1 1
|A 廣 |A|
|A|2 ~4
5 .已知向量組A : 〉1,〉2,〉3,〉4中>2, >3, >4線性相關(guān)，那么
A .〉1，〉2，〉3，〉4 線性無關(guān) B . ：-1^-2-'3-'4 線性相關(guān)
C . 1可由〉2,〉3,〉4線性表示 D .〉3,〉4線性無關(guān)
部分相關(guān)二?全體相關(guān).
6 .向量組的秩為r，且r :：: s，則（C ）
A .〉1,〉2,…,:s線性無關(guān)
B . Ws，…,％中任意r個(gè)向量線性無關(guān)
C .馬,唸…,企中任意r+1個(gè)向量線性相關(guān)
D . %爐2,…,兀中任意r-1個(gè)向量線性無關(guān) 7.若A與B相似，則（D ）
4、B . A,B有相同的
A . A,B都和同一對(duì)角矩陣相似
特征向量
D . |A|=|B|
8 .設(shè):'1, :'2 是 Ax 二b 的解，
是對(duì)應(yīng)齊次方程組
Ax =0的解，則
A . - -1是Ax =0的解
B . - Cl -： 2)是 Ax=0 的解
C . A-，E=B-，E
C. r *2是Ax =b的解 D . >1八2是Ax =b的解
A[： ?-.-(、冷-「2)] = A - A& —■ A、￡2 =0 …b —=0 .
9.下列向量中與:=（1,1^1）正交的向量是（ D ）
D . .4 = (0,1,1)
10?設(shè) T
-2
,則
5、二次型 f（X1,X2）=XT Ax 是（B
A .正定
B .負(fù)定
C.半正定
A . 5 =(1,1,1) B . ct2 =(_1,1,1) C. a3 =(1,_1,1)
D .不定
= ；1，對(duì)應(yīng)的 ，2 =
1
-1
-1
2
=1 0 , - A正定，A負(fù)
定.
、填空題（本大題共 10小題，每小題2分，共20 分）
11 .設(shè)A為三階方陣且|A|=3，則|2A|=__24
|2A|=23|A|=8 3=24 .
12 .已知□ =(1,2,3),貝廿 |gto(|=__0
￡
1 2 3'
1 2 3
6、aTa =
2 (1,2,3) =
2 4 6
, |（/丁口 |=
2 4 6
=0 .
<3 6 9；
3 6 9
1 2
13.設(shè) A= 0 3 p 0
Ol
0
2
6-4 0
則 A*= 0 2 0
J0 0 3一
Aii
=6
2 0
=—4
0 2
0 0
A— o 2 =°，
0 3
Al3= 0 0 ，
1 0
A23 —-
A33 口
14.設(shè)A為4X 5的矩陣，且秩(A)=2，則齊次方程組ax"的
基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)是 __3__.
基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)是 n —r =5一2 =3
7、 .
15 .設(shè)有向量：1=(1,0,-2), ： 2 =(3,0,7), ： 3 =(2,0,6),則〉1,〉2,〉3 的秩
1 0 -2'
?1 0 -2、
'1 0 -2、
'1 0 -2、
3 0 7
T
0 0 13
T
0 0 1
0 0 1
，秩是2.
Q 0 6丿
? 0 10 j
1° 0 1 丿
e 0 °丿
16 .方程組洛 X2-X3=1 的通解是(1,0,0)丁 * &(-1,1,0)丁 k2(1,0,1)T .
■V
V
0
卄1
1
+ k2
0
8、
,通解是
I廣
X1 =1 —X2 +X3 』X2 = X2
X3 = X3
17 .設(shè) A 滿足 3E A-A2 =0，則 A，J(A_E).
3
± 2 1 J 1
3E A-A2=0, (A-E)A=E , A (A-E).
3 3
18. 設(shè)三階方陣 A的三個(gè)特征值為1,2,3，則|A E^__24__.
A的特征值為1,2,3，則A E的特征值為2,3,4 , |A E^ 2 3 4 =24 .
19. 設(shè)〉與］的內(nèi)積 d ,1=2，則內(nèi)積(2一：： ' ■■-\-'-)=__-8__
(2 二 嘰,一 J =(2： ,-J ( ［一 J
9、- -2(：「)一|「『--2 2 -22 - -8 .
3 -1 1
20
-1
所對(duì)應(yīng)的
2 2
f (x1,x2, x3) =3x-i 2x3 -2x1 x2 2x1x3 4x2x3.
三、計(jì)算題（本大題共
6小題，每小題9分，共54 分）
21.計(jì)算
6階行列式
解:
按第2行展開
-3
22.已知a
J0 31
按第4行展開
按第1行展開-6
B」
4
-3，
c=2
5
31
X =A4(C -B) = 31
_T
0
0
0
1
0
0
0
1
3
0
2
0
0
二 一6 (1 -4) = 1
10、8 .
>0
-1
，CT：
_5 I 1 _1 「2 -8 I
2 j l! 1 J ：1 3 J.
X 滿足 AX ? B = C
-1 1
fl
23 .求向量組 >1=(121,3), : 2 =(4,-1,斗6) , : 3 =(1,-3,-4,-7)的秩和其
一個(gè)極大線性無關(guān)組.
<1
2
1
3、
2
1
3、
1
2 1
3、
11、<1
2
1
3、
? ?
解
4
-1
-5
-6
T
0
—9
-9
—18
T
0
1
1
2
T
0
1
1
2
I1
-3
-4
-7」
-5
-5
-10>
1
1
2」
1°
0
0
°」
秩為2，「1，「2是一個(gè)極大線性無關(guān)組.
24.當(dāng)a,b為何值時(shí)，
方程組
X1 X2
X?—
有無窮多解?
+3x2 +(a +2)x3 =b + 3
并求出其通解.
解:
1
1
1
1
1
1
1
1 、
1
1
1
1、
A =
12、
0
1
-1
1
T
0
1
-1
1
T
0
1
-1
1
.2
3
a +2
b +3」
2
1
a
b+1」
,0
0
a +1
b」
a = —1, b = 0
時(shí)，有無窮多解.
*11 1 1 "
*1 0 2 0"
此時(shí)At
0 1-11
T
0 1-11
2 0 0 0』
9000』
X1 二-2x3
? x2 =1 + x3
?3 = X3
通解為
5
1
+k
1
J >
25.已知A’* ；；［求其特征
13、值與特征向量.
解:
"E —A|=?_3 1 =&2 —14九+40=(九—4)(丸一10)，特征值 人=4 ,
-7 &一11
對(duì)于’1=4，解齊次線性方程組（'E-A）x=0 :
■E -A 二
(1 i )
It
I—7 -7 丿
『1
<°
X1 "X2，基礎(chǔ)解系為
X2
1 = 11，對(duì)
應(yīng)的全部特征向量為
kr 1 （ k是任意非零常數(shù)）
對(duì)于‘2=10，解齊次線性方程組（，E—A）x=0 :
：'2
■E —A 二
7
It
(_7 -1 丿
1、『7 1、
IT
1° 0丿
'Z1 1I7、\
0」
1
Xi X?
14、
7 ,
x2 = x2
基礎(chǔ)解系為
=：17 ,對(duì)應(yīng)的全部特征向量為
k^ 2 （ k?是任意非零常數(shù)）.
26 .設(shè) 21 21，求
An .
解：ME—A= 丫二2 "一4九①仇一呱一3），特征值“1，2 =3 .
對(duì)于.1=1,解齊次線性方程組（? E 一 A）x = 0 :
, '-1
AE — A =
舄，｛::二:，基礎(chǔ)解系為
對(duì)于‘2=3，解齊次線性方程組 CE-A）x=0 :
1 1)
1_、
<
T
a 1丿
<0 0丿'、
■ E - A =
--X2
=X2
基礎(chǔ)解系為:-2
-1
1
1
15、
則 p"= 2
<_2
2 =1
1 2
2丿
廣1
廠1
P^AP =D ,
A =PDP 4 ,
An =(PDPj(PDP 冷 (PDP_) =PDnpJ
1
1 _1、
1 0
1
(1 1、i
1
1 _3“
(11^1
1 ._
'1 +3n 1—3八
2
a 1丿
I-1 1 廠2
Q 3n」
V1 1廠 2
Q —3n 1 +3n ;
四、證明題（本大題 6分）
27.設(shè):?為Ax=O的非零解，［為Ax=b （ b"）的解，證明〉與］ 線性無關(guān).
證：設(shè) 心匚：咔2 亠0，貝y A（ki：" k2j=0， kiA： kzA'O， &0 k2b=0， 由此可得k2 =0，從而k「=0，又,可得ki =0，所以'與［線 性無關(guān).
《高等教育自學(xué)考試》《線性代數(shù)》08.07
