《《高等教育自學考試》《線性代數(shù)》09.04》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《《高等教育自學考試》《線性代數(shù)》09.04（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、全國2009年4月高等教育自學考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試
題答案
、單項選擇題
（本大題共
10小題，每小題2分，共20 分）
3階行列式
|aij 1 二
0
1
-1
-1
0
1
1
-1
0
中元素a21的代數(shù)余子式 A21
-2
B . -1
C. 1
-1 1
1 0
2.設矩陣A二a1
1
a21
a12
a22 '
a?1 " a〔1 a?2 " a〔2
a11 a12
q 0、
<1 1 丿,
則必有（
A . RF2A=B
B . P2RA 二 B C . ARP2 二 B D . AP2P1 =B
2、
0
1
0、
a11
rp2a =
ii
1
12 1=
0川
1丿
爐21
a22 .丿 <
1 a11 a12
0 a21 a22
a22 a12 i
22 12 =B .
a12
a21 a11
a11
3 .設n階可逆矩陣A、B、C滿足ABC二E，則B，二（ D ）
C . AC
D . CA
由 ABC =E，得 C 4B4A4^E , B—CA .
4.設3階矩陣a二
0
1
0>
,則A2的秩為（ B ）
C. 2
A2 =
巾1 °入
° ° 1 |
<° ° ° 丿
巾1
3、 ° '
° ° 1
<° ° ° 丿
■t ° 1
° ° °
芒° °,
,A2的秩為1 .
5.設是一個4維向量組，若已知：'4可以表為〉1,：2,〉3 的線性組合，且表示法惟一，貝y向量組 二2,二3,二4的秩為
（C ）
A . 1 B . 2 C. 3 D. 4
>1, >2, >3 是 >1, >3, >4 的極大無關組，：-1/-2/'3/-4 的秩為 3.
6 .設向量組〉1,〉2,〉3,〉4線性相關，則向量組中（ A ）
A .必有一個向量可以表為其余向量的線性組合
B .必有兩個向量可以表為其余向量的線性組合
C.必有三個向量可以表為其
4、余向量的線性組合
D .每一個向量都可以表為其余向量的線性組合
7 .設冷,〉2宀是齊次線性方程組 Ax=o的一個基礎解系，則下
列解向量組中，可以作為該方程組基礎解系的是 （B ）
A . m/'2, >1*2 B . >1 *2,〉2 ■〉3,〉3 ■ ：'1
C. 〉1,〉2,〉1 -〉2 D . 〉1 -〉2,〉2 - >3,〉3 - >1
只有>1 *2,〉2 *3」3 *1線性無關，可以作為基礎解系.
&若2階矩陣A相似于矩陣° , E為2階單位矩陣，
2 一3丿
則與矩陣E-A相似的矩陣是（ C ）
A . 1 °】 B .卜1叮 C.°】 D f °】
5、a 4 丿 u -4丿 i-2 4丿 <-2 -4丿
B與A相似，則E_B二
"2 ° ［與e—a相似.
V2 4丿
9.設實對稱矩陣A =
勺 ° ° x
0-4 2
0 2 -1
，則 3 兀二次型 f（X1,X2,X3）=XTAX 的
規(guī)范形為（
A. zj z2 z3
B . z2 z2 -z；
C. zj z2
D. z2 -zf
f(Xi, X2, X3) =2xi - 4x2 ' 4X2X3 - X3 =2xi - (4x2 _ 4x2 X3 X3) = 2xi - (2x? - X3) , ^規(guī)
范形為2 2
zi —Z2 .
6、10.若3階實對稱矩陣A=（aj）是正定矩陣，
則A的正慣性指數(shù)
為
(D
)
A .
°
B. 1
C. 2
D.
3
.二、
填空題
（本大題共
10小題，每小
、題
2分
共
? /、
20分)
an
2a12
3a13
11
. 已
知 3 階
行列式
2a21
4a22
6a23
=6 ,
3a31
6a32
9a33
ai1
a11
2a12
3a13
a11
2a12
3a13
a11
a12
a13
7、
2a21
4a22
6a23
= 2^3 汽
a21
2a22
3a23
=2沢3匯2沃3匯
a21
a22
a23
=6 ,
3a31
6a32
9a33
a31
2a32
3a33
a31
a32
a33
a21
a32
a23
a31
an
a12
a13
a21
a22
a 23
a31
a32
a33
1
6
12 .設3階行列式D3的第2列元素分別為1—3，對應的代數(shù)
余子式分別為
-3,2,1，貝y D3 =
D3 =a21A21 a22A22 a23A23
8、=1 (一3) (-2) 2 3 1 = 一4 .
13.設 A = [1 0]，則 A2-2A + E=
A2 -2A E =(A -E)2
(0 2 □ 2 (-2
1 =
l 一1人-j丿「
-2
1
-1
14 .設A為2階矩陣，將A的第2列的（-2 ）倍加到第1列
得到矩陣B .若B = C 4），則A=
將B的第2列的2倍加到第1列可得宀4〕.
15 .設3階矩陣a =
?01、
0 2 2
Q 3 3』
，則.
0
0
1
1
0
0、
■3
3
3
0
0
1?
'3
3
0
-3
9、
0「
(A,E)
=
0
2
2
0
1
0
0
2
2
0
1
0
T
0
2
0
-2
1 0
Q
3
3
0
0
1丿
e
0
1
1
0
0丿
0
1
1
0 0 /
'6
6
0
-6
0
2 '
'6
0
0
0
-3
2
卩
0
0
0
— 1/2
1/3"
T
0
2
0
-2
1
0
T
0
2
0
-2
1
0
T
0
1
0
-1
1/2
0
10、
2
0
1
1
0
0.丿
e
0
1
1
0
0丿
0
1
1
0
0丿
廣0 —1/2 1/3、
A = -1 1/2 0 ?
J ° °」
16 .設向量組 r=(a,1,1), ：2=(1,-2,1), ：3=(1,1,-2)線性相關，則數(shù)
a 1 1
1 -2 1
1 1 -2
a
1 -a
1 2a
1
-3
3
1 -a
一 1 +2a
3
二 6 "3a =0 , a 二 -2 ?
17.已知X1 =(1,0,-1)T , X2 =(3,4,5)T是3兀非齊次線性方程
11、組 Ax=b的
兩個解向量，則對應齊次線性方程組 Ax =0有一個非零解向量
”2 -X1 =(2,4,6)T (或它的非零倍數(shù)).
18 .設2階實對稱矩陣A的特征值為1,2，它們對應的特征向
量分別為％ =(1,1)T ,色之仆廠，則數(shù)k =
a
1 ,即
bY" ￡ ’a+b) I
j j= i, j=
d人1 .丿2+d.丿Q丿
，可得 a=1 _ b ,
d =1 _b ；
1 -b
b
b 1久
1-b k
■n _
也丿'也+(1 —b)k丿—i2k丿
「—b+bk】」2〕，可得 k—1.
12、
19 .已知3階矩陣A的特征值為0,-2,3，且矩陣B與A相似，則
I B +E|= .
B E 的特征值為 1,-1,4 , |B，E| = 1 (-1) 4一4 .
20 . 二次型 f區(qū)飛出）=（為—X2）2 ?（X2 — X3）2 的矩陣
A=
f (x1 ,x2,x3) =(xj _2x1x2 +x；) +(x； —2x2x3 +x[) =xj —2x1x2 +2x； —2x2x3 + xj ,
-1
0、
A =
-1
2
-1
<0
-1
1丿
三、計算題（本大題共 6小題，每小題9分，共54分）
21 .已知3
13、階行列式|aj | =
x
2
-1
中元素
a12的代數(shù)余子式
A12 =8 ,求丿元素
a21的代數(shù)余子式
A21
的值.
二-4x
=8 ,得 x = -2 ,
所以A21 =
-2
-1
--(-8 3) = 5 .
22.已知矩陣
解:
=(E - A) 二
23
-1
-1
，得
-1
0
(E -A)X =B ,
-1 1]_1‘1 1 丿(0 2 廠3「1
-1
1，矩陣X滿足
于是
1 -1
II
2 0
「1 ‘‘―1
l =—
2 .丿 3「
求向量組 ％ =(1,1,1,3)t , y =(T,-3
14、,5,1)t ,
AX B=X，求
3、’'—1/3「
3匚1/3 1」.
5=(32-1,4)t ,
〉4 =（-2,~6,10,2）T的一個極大無關組，并將向量組中的其余向量 用該極大無關組線性表出.
q
-1
3
-2、
「1
-1
3
-2^
「1
-1
0
_2、
0
-2
-1
-4
0
-2
1
-4
0
-2
0
-4
0
0
-7
0
-
0
0
1
0
T
0
0
1
0
電
0
0
0
)
?
0
0
0
15、」
<0
0
0
0丿
q
-1
0
-2
、
q
0
0
0、
0
1
0
2
0
1
0
2
0
0
1
0
T
0
0
1
0
?
0
0
0
J
?
0
0
°」
■■l/'2/'3
：4 = 0 ：r 2： 2 ? 0 ： 3 .
解:
1
-1
3
-2^
q
-1
3
—2、
q
-1
3
—2、
1
-3
2
—6
T
0
-2
16、
-1
-4
T
0
-2
-1
-4
1
5
-1
10
0
6
-4
12
0
0
-7
0
3
1
4
2」
1°
4
—5
8 >
?
0
-7
0」
是一個極大線性無關組，
ax1 x2 x3 = 0
24 .設3兀齊次線性方程組 xi ax2 x^0 ,
x1 x2 ax3 = 0
(1)確定當a為何值時，方程組有非零解;
解:
(1)
a
1
1
a +2
1
1
1
1
1
1
1
|A| =
1
a
1
=:
a +2
a
1
17、
=(a +2)
1
a
1
= (a+2)
0
a—1
1
1
a
a +2
1
a
1
1
a
0
0
1
0
a -1
(2)當方程組有非零解時，求出它的基礎解系和全部解.
2
= (a+2)(a-1) , a
=-2或a =1時，方程組有非零解；
,Z1 1
-2、
1 1 -乞
'1 0 -1 "
卜1 = x3
(2) a=-2 時，At
0 -3
3
0 1 -1
T
0 1 -1
，彳 x2 = x3 ,
0 0
0
丿
? 0 0」
18、
? 0 0 ；
[X3 = X3
V
V
基礎解系為
1
，全部解為k
1
k為任意實數(shù)；
Q丿
1丿
q 1 1A
% = _X2 - X3
C-r
a =1 時，At
0 0 0
,」
x2 = x2 ,基礎解系為
1
0
.0 0 0 v
\ J
X3 = X3
<0>
J丿
<-1、
J)
全部解為k1
1
+ k2
0
2」
I1 J
為任意實數(shù).
"2 0 P
19、
25.設矩陣B = 3 1 3
F 0 5」
（1）判定B是否可與對角矩陣相似，說明理由;
（2）若B可與對角矩陣相似，求對角矩陣
上和可逆矩陣
使P」BP巳‘…
解：(1 ) | 'E -B|二
丸-2
0
-1
-3
丸—1
-3
=仏-1)
-4
0
九一5
-2
-4
-1
■ -5
解齊次線性方程組（■ E 一 B）x = 0 :
=('-1)2(，-6)，特征值’1「2 "， '3 =6 .
「1
0
-P
卩
0
X1 =
一 X3
AE - B =
_3
0
20、
_3
T
0
0
0
，彳 X2 =X2
，基礎解系為
p1 =
1
C4
0
一4」
?
0
0丿
iX3 =
X3
?丿
=1
解齊次線性方程組（'E - B）x =0 :
『4
0
-1、
q
0
— 1/4、
AE _B =
-3
5
-3
T
0
1
-3/4
.-4
\、
0
1」
.0
0
0 >
?x2
3
4
X3
X3
基礎解系為
'1/4
P3 = 3/4
3階矩陣B有3個線性無關的特征向量，所以 B相似于對
角陣;
21、
（2）
*10 0"
令 A = 0 1 0
? 0 6」
Id
p= 1
?
-1 1/4
0 3/4，則P是可逆矩陣，使得
1 1」
26.設3元二次型
f（X1 ,X2，X3）=
2
X1
■ 2x1 - x； -2X1X2 -2X2X3，求正交變
換x =Py，將二次型化為標準形.
解：二次型的矩陣為
1
-1
0
-1
2
-1
0、
-1
1」
九—1
1
0
人 1
0
1
1
0
| 入E —A| =
1
九—2
1
=
九九一2
1
—A
1九—2
1
22、
0
1
人一1
人 1
人一1
1
1
九一1
特征值1 =0 ,
1
0
0
1 0
1
丸-3
1
=丸（丸一3）
1九-1
1
0
人一1
叫’-1）（，- 3）
2 =1
P2
P3
解齊次線性方程組
廣—1 1
0、
1
0
-p
j
乂 =X3
■zr
止_A =
1 -2
1
T
0
1
-1
,丿
X2 =X3 ，口 1 =
1
1° 1
-1」
e
0
°」
宀=X3
23、
對于?1 =0 ,
(，E _A)x =0 :
3 3 3
111
-
對于’2 =1
解齊次線性方程組
巾1 0^
*10 1、
X1 —乜3
cr
1 -1 1
T
0 1 0
,」
X2 =0 , 。2 —
0
<0 1 °」
<0 0 0」
X3 = x3
J >
(?E - A)x 二0 :
■E —A =
J1/JG
0
1 /罷
對于'3 =3,
解齊次線性方程組（'E —A）x =0 :
2 1 0'
1 0 -r
[
1 1 1
T
0 1 2
<0 1 2」
e 0 0』
24、
■E -A =
X1 = X3
x2 = _2x3
X3 二 X3
單位化為
單位化為
單位化為
*1叵
=-21 晶.
1 / J6
、、 J
1/週
令 p = 1/J3
-1/ .2
0
1/、2
1/V6 ' -2/76
1/V6 ,
是正交矩陣，使得
PT AP =
經(jīng)正交變換
x = Py 后，
原二次型化為標準形
f =o yi2 yl 3y3 .
四、證明題（本題 6分）
27 .已知A是n階矩陣，且滿足方程 A2 2^0，證明A的特征 值只能是0或-2 .
證：設，是A的特征值，則滿足方程 ?2?2.=0，只能是’=0或
《高等教育自學考試》《線性代數(shù)》09.04
