《高等教育自學考試》《線性代數(shù)》08.01

《《高等教育自學考試》《線性代數(shù)》08.01》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《高等教育自學考試》《線性代數(shù)》08.01（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、全國2008年1月高等教育自學考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試 題答案 課程代碼：04184 一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分） 1 .設A為三階方陣且|A|=—2則|3ATA|= （ D ） C. 12 A . -108 C . | A B|=|A| |B| D . (A B)t =At Bt 4 .設A為四階矩陣，且 | A|=2，則 | A上( A . 2 B . 4 C . 8 D . 12 D. 108 T 3 2 2 |3A A|=3 | A| =27 漢(一2) =108 . 3x1 + kx2 —x3 =0

2、 2.如果方程組| 4x2 —x3 =0有非零解，則k= （ B ) I 4x2 +kx3 =0 A . -2 B. -1 C. 1 D . 2 3 k -1 0 4—1 0 4k 4 -1 =3 =12(k+1)=0 , k = —1 . 4 k 3.設A、B為同階方陣，下列等式中恒正確的是 （D ） A . AB 二 BA B . (A B)' B， | A | = |A|nJ1 彳 A|3 =23 =8 . 5 .設［可由向量>1 =（1,o,o）, >2 =（o,o,1）線性表示，則下列向量中 ［只能是(B ) A . (2,1,1

3、) B. (-3,0,2) C. (1,1,0) D. (0,-1,0) =kvr-1 ' k2、^2 = (k1,0,k2). 6 .向量組r,〉2,i,〉s的秩不為s ( s_2 )的充分必要條件是 (C ) A . >1, >2,…,:s全是非零向量 B . r,〉2,…宀全是零向量 C.冷,>2,…宀中至少有一個向量可由其它向量線性表出 D . a—,…,亠中至少有一個零向量 〉1,〉2「「?s的秩不為 SU >1, >2,…，〉s線性相關(guān). 7.設A為m n矩陣，方程AX=0僅有零解的充分必要條件是 (C ) A . A的行向量組線性無關(guān) B.A的行向量組線

4、 性相關(guān) C . A的列向量組線性無關(guān) D. A的列向量組線 性相關(guān) AX=0僅有零解=r(A) =n= A的列向量組線性無關(guān). &設A與B是兩個相似n階矩陣，則下列說法錯誤 的是 ? ? B .秩(A)=秩(B) A ? |A|=|B| C.存在可逆陣P , 9.與矩陣a= _1 0 01 0 2 相似的是 刁0 01 [ 1 1 0〕 - 1 0 0〕 [ 「10 1] 0 2 0 B. 0 1 0 C. 1 1 0 D . 0 2 0 0 1 一 1 1 0 0 2 0 0 2 0 0 1 有

5、相同特征值的同階 對稱矩陣一定(正交)相似. 10 .設有二次型 f (Xi,X2,X3)/ —X； xf，則 f(Xi,X2,X3)( C ) A .正定 B .負定 C.不定 D .半正定 當 x1 =1,x2 =0, x3 =0 時，f 0 ；當 x1 =0, x2 =1,x3 =0 時 f ：：：0 .總之，f 有 正有負. 二、填空題(本大題共 10小題，每小題2分，共20分) 11?若:；=。，則 k=2. k 1 1 1 2 "仁°，k 石. 3 2] 12 .設 A= 0 1 J 4 一 ，叫 00］，則 AB= 3 2 6] 0 1 0

6、1 4 2 一  AB = 3 2] 0 1 1 4 ? 0 2〕= 0 1 0 _ 乜2 6[ 0 1 0 J 4 2- 2 0 0] 13 .設 A= 0 1 0 0 2 2 1/2 0 0 [ ，貝y a~* = 0 1 0 0 -1 1/2 pooioo] 2 0 0 1 0 1 0 0 1 0 T 0 1 0 0 0 1 -2 0] _1 0 T 0 0 0 1/2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 -1 1/2 14 .設A為3 3矩陣，且方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系含有兩個解 向量，則秩（A

7、）= _1_ . 秩（A）= n —r =3 -2 =1 . 15 .已知 A有一個特征值-2，則B=A2?2E必有一個特征值 __6__. ，-2是A的特征值，則2十2)2?2 = 6是^A2 2E的特征值. 16.方程組 X1 X2 —X3 =0 的通解是 k1(—1,1,0)T k2(1,0,1)T . 何=_X2 +X3 C-V

8、■q 0 0、 1 1 0 T 0 1 0 1-5 2 0丿 0 0丿 ,秩是2.  2 0 01 18.矩陣A= 0 2 0的全部特征向量是 ￡ 0 2_| ki（1,0,0）T +k2（0,1,0）T +k3（0,0,1）T（ ki,k2,k3不全為零）. t 0 0 兇=x1 3 = 2吃=打=2 , XE — A = 0 0 0 ,\ X2 = X2 ,基礎(chǔ)解系為 0 1 e 0 0.丿 壓= X3 1°丿 0、 0 19 .設三階方陣A的特征值分別為-2,1,1，

9、且B與A相似，則 |2B|=__辺6 -2 0 0 |2B|=23 0 1 0 =8漢（—2） =—16 . 0 0 1 "1 2 1] 20 . 矩陣 A= 2 -1 0所對應的二次型是 1 0 3_ f （X1，X2，X3）- X； 3xf 4X1X2 2X1X3 . 三、計算題（本大題共 6小題，每小題 54分） 21.計算四階行列式 1 0 0 2 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 的值. 解: 1 0 0 2 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0

10、 2 1 1 0 0 0 2 1 0 _ 4 0 2 1 0 0 0 2 1 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 8 0 0 2 1 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 -15  3 2 1^ 22.設 A= 1 1 1，求 a」. J 0 U 解: 3 2 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 t 1 1 1 1 0 10 0 1 3 2 1 1] _1 0 T 0 1 0 0 0 -2 1 0 1 1 -1 0

11、-3 "-1 1 23 .設 A= 0 0 0 0 0] _1 1 解：由（e_b」a）tbtx 二E，得[B(E —B'A)]TX =E， =E， (B -A)TX =E，X ' =(B - A)T "2 0 0] T - 2 0 01 1/2 0 0] 0 2 0 = 0 2 0 ,x = 0 1/2 0 衛(wèi)0 1一 i 0 0 1一 1 .0 0 1 j 即(BE — BB，A)TX ：3 24 .求向量組：1 =(1, -1,2,4)， ：2 =(0,3,1,2) = (3,0,7,14)，： 4 =(2,1,5

12、,6)， _1 0 1 0 0 1 1 2 0 2 0 0 2 1 _2 0 0 1 -2 1〕 0 1 0 0 1 -1 T 0 1 0 0 1 -1 -> 0 1 0 0 1 -1 0 -2 1 -2 一1- y 0 -2 1 -2 -1 1 0 0 -2 1 -2 -1 _1 0 0 1/2 -1 1/2[ "1/2 -1 1/2〕 0 1 0 0 1 -1 ,A七 =0 1 -1 0 1 —1/2 1 1/2 -1

13、/2 1 1/2 01 2，且 A , B,X 滿足(E —B』A)TBTX =E , 3 ：5 =（1,-1,2,0） 的一個極大線性無關(guān)組. q -1 2 4、 G -1 2 4、 G -1 2 4、 廣1 -1 2 4 ? ? 解 0 3 1 2 0 3 1 2 0 3 1 2 0 3 1 2 3 0 7 14 T 0 3 1 2 T 0 0 0 0 T 0 0 0 0 2 1 5 6 0 3 1 -2 0

14、 0 0 -4 0 0 0 -4 J -1 2 °」 <0 0 0 一4」 <0 0 0 -4> <0 0 0 0 〉1,〉2，二4是一個極大線性無關(guān)組. x1 x2 x3 x4 x5 =7 25.求非齊次方程組 3x1 ' 2x2 x3 x4 - 3x5 = -2 的通角軍 1 x2 + 2x3 +2x4 +6x5 =23 J 5Xi ' 4x? - 3X3 ' 3X4 1X5 —12 解: j 1 1 1 1 7 一 ■1 1 1 1 1 7 -3 2 1 1 -3 -2

15、 0 -1 -2 -2 -6 -23 A = —> 0 1 2 2 6 23 0 1 2 2 6 23 4 -3 3 -1 12 衛(wèi) -1 —8 -2 -6 -23 _2 -2 26 .設 A= 2 1 0 _ 2 ■1 1 1 1 1 7 ■1 1 1 1 1 7 一 0 -1 -2 -2 -6 -23 0 -1 -2 -2 -6 -23 T 0 0 0 0

16、0 0 0 0 -6 0 0 0 衛(wèi) 0 -6 0 0 0 _ 0 0 0 0 0 一 - 1 1 1 1 1 7 一 [ 1 1 0 1 1 7 一 [ 1 0 0 -1 -5 -16_ 0 1 2 2 6 23 0 1 0 2 6 23 0 1 0 2 6 23 T 0 0 1 0 0 0 T 0 0 1 0 0 0 T 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 _ 1 | 0 0

17、0 0 0 0 _ 1 | 0 0 0 0 0 0 一 r X1 =—16 +x4 + 5X5 '^-16 " 廣1、 廣5、 x2 = 23—2x4 一 6x5 23 -2 -6 妝3 =0 ，通解為 0 * 0 卄2 0 X4 = X4 0 1 0 ix5 — X5 < 0 J < 0 J U丿 0 1 -2，求P使P’AP為對角矩陣. 0 解: |'E—A|二 -2 2 0 2 0 -1 2 2 仝'(' -1)(' -2) —

18、4(. —2) —4； ： 乂3 —3, -6， 8 八3 =(' 2 8) —3( 2)=(， 2)(，—2， 4) —3( 2) =(? 2)( ‘2 -5‘ 4) = (‘ 2)( ‘ 一1)( ‘ 一4), 特征值 X =一2， J =1， '3 =4 . =2，解齊次線性方程組 4 2 0、 -1 0、 '2 -1 0、 *2 -1 0、 AE _A = 2 -3 2 T 2 -3 2 T 0 -2 2 T 0 -2 2 3 2 一2」 1° 2 一2」 1° 2 一

19、2」 1° 0 °」 c E - A)x =0 : xi 對于'1 ■‘2 -1 0、 ‘2 0 -P <1 0 -1/2、 T 0 1 -1 T 0 1 -1 T 0 1 -1 <0 0 °」 <° 0 °」 <° 0 °」 1 X3 2 3 —X3 =X3 ,基礎(chǔ)解系為 1/2 1 J」 解齊次線性方程組 '-1 2 0 ' *-1 2 0" ■-1 2 0 *-1 2 0" *-1 0 -r AE — A = 2

20、 0 2 T :1 0 1 T 0 2 1 T 0 2 1 T 0 2 1 <° 2 b <° 2 b <° 2 b <° 0 °」 <° 0 °」 「E -A)x =0 : Xi = 對于'2 =1 1 0 1、 T 0 1 1/2，彳 2 0 0丿 對于‘3 =4 -X3 1 2X3 X3 基礎(chǔ)解系為 ：'2 '-1 =-1/2 ； L 1丿 解齊次線性方程組 CE-A）X=O :

21、 x1 X2 X3 々2 0、 '12 2 0' '12 2 0^ *1 1 0 入 q 0 -2' 2 3 2 T 0 1 2 T 0 1 2 T 0 1 2 T 0 1 2 0 2 4 ,0 2 4 0 0 0 0 0 0 ,0 0 0 V / 1 7 < J (2 、 -2 ■E —A = >3 ,基礎(chǔ)解系為

22、 1/2 -1 2 f-2 0 0、 令P = 1 -1/2 -2 ，則P是可逆矩陣，使P」AP = 0 1 0 U 1 1」 3 0 4」 二 2x3 —_2x3 二 X3 四、證明題 (本大題 6分) 設s：2〉3是齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系， -1 , >1 *2, >1 *2 *3也是AX =0的基礎(chǔ)解系. 證： (1) Ax=0的基礎(chǔ)解系由3個線性無關(guān)的解向量組成. (2) ?1, ：-2^'3 是 AX = 0 的解向量，貝U m〉2,：「〉2*3也是 Ax=0的解向量. (3) 設匕冷? kzC,叱2)■ ksCj叱2叱3)=0，則 (k1 k2 k3)二1 ■ (k2 ' k3 y~：J2 ' k3-：：3 = 0 , k1 +k2 +k3 =0 1 1 1 由口 1^2^3線性無關(guān)，得」 k2性=0 ,系數(shù)行列式 0 1 1 十0 , i k3 =0 0 0 1 只有零解k^k2 =k3 =0，所以＞1,〉1 *2 , ＞1 *2 *3線性無關(guān). 由(1) (2) (3)可知，＞1,〉1 *2「1 二2 *3也是 Ax =0 的基 礎(chǔ)解系.