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1、
全國2007年7月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試 題答案
課程代碼：04184
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
1 .設(shè)A是3階方陣，且|A|=冷，則|A-1|=( A )
A . -2 B. 一1 C. - D . 2
2 2
2 .設(shè)A為n階方陣，，為實(shí)數(shù)，則I ( C )
A . ■ I A| B . I ■ ||A| C. 'n | A| D . I ? |n|A|
3 .設(shè)A為n階方陣，令方陣 B=A+At，則必有( A )
A . Bt=B B . B=2A C . b^-b
D . B=0
bt =(A at)t =a
2、t (at)t =at a = a at 二b .
4.矩陣A=
f-1
J
-1
i
-1
11的伴隨矩陣A*=（
B .
)
1
I
1
1
-1
1
i
-1
F列矩陣中，
1 0] e oj
勺 1 -1x
，Z1 0 0x
巾1 0
-1 0 1
C .
0 1 0
D .
0 0 3
3 0 1」
J 0 h
J 0 °」
是初等矩陣的為（
)
C
B .
則
= (1,t 1,0) , ：-2 =(1,2,0),
)
B . 1
：3 =（0,0,t2 1）線性相關(guān)，
6.
3、若向量組 實(shí)數(shù)t= （ B
A . 0
1 t +1 0
1 2 0
0 0 t2 +1
=(t2 +1) 1 t J =(t2 +i)(i _t) =0 = t =1 .
7.設(shè)A是4X 5矩陣，秩(A)=3，則(D )
A . A中的4階子式都不為0 B . A中存在不為 0
的4階子式
C. A中的3階子式都不為0 D . A中存在不為 0
的3階子式
&設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為「「2=0 , ■ 3=2，則秩(A)= (B )
A . 0 B . 1 C. 2 D. 3
? 0 0'
A相似于 D = 0 0 0，秩(A)=秩(D)=1
4、.
I。0 2」
9.設(shè)A為n階正交矩陣，則行列式|A2|= ( C )
A . -2 B . -1 C . 1 D . 2
A 為正交矩陣，則 ATA二E, |A2 冃 A|2=|At||A冃 AtA|=1.
10 .二次型f(x,y,z)=x2 -y2的正慣性指數(shù)p為(B )
A . 0 B . 1 C . 2 D . 3
二、填空題(本大題共 10小題，每小題2分，共20分)
11 ?設(shè)矩陣a=； 1，則行列式IaatH__1
|AAT 円 A||AT 円 A|2 =
1 2
=(-1)2=1 .
1 1
1 1 1
12 .行列式2 3 4中
5、(3,2)元素的代數(shù)余子式A32= -2
4 9 16
1
=-2 .
4
13.設(shè)矩陣 A=?], B= 1 j,則 atb=__5__
g(1,2)f}.
€丿
14.已知 8 —5口2 +2。3 = P，其中 8 =(3,4,—1) , a2 =(1,0,3) , P =(02—5),
5 =丄[(0,2，巧)—(3,4,—1)+5(1,0,3)]=丄(2,4,11)= 1,—1,11 |
2 2 i 2丿
15.矩陣A=
-1 0、
1 3的行向量組的秩=2 .
/ 6丿
-1 0) [-1 0
1 3 t 0 3
J 6丿 3 6
6、,
、卜 1 0、 t 0 3，秩=2.
丿＜0 0丿
16 .已知向量組：1 =(1,1,1) , ： 2 =(1,2,0) , ： 3 =(3,0,0)是 R3 的一組基，
則向量1 =(8,7,3)在這組基下的坐標(biāo)是(3,2,1).
設(shè)]=X1：1 X2：2 X3：3，即(8,7,3) =X1 (1,1,1) X2 (1,2,0) X3(3,0,0),得
4x1 x2 3x3 =8 Xx1 =3
* +2x2 =7，解得 彳 x2 =2 .
I
X1 =3 -X3 =1
17.已知方程組/
：12；爲(wèi)0=0存在非零解，則常數(shù)t= 2 .
1 -1
-2 t
7、 亠2"，心2 .
18 .已知3維向量
19.已知矩陣A=
口=(1,3,-
廣1 0 1 '
0 1 0
I1 0 X」
-1)T , P =(-1,2,4)t，則內(nèi)積(a,B)= 1 .
的一個(gè)特征值為0,則X= 1 .
|0E —A|=0，所以 | A|=0，即
1 0 1
0 1 0
1 0 X
1 1
二 1 x ^亠0，x".
20 .二次型 f (Xi ,X2,X3)=2x； 3x2 - 5x3 2XiX2 - 2XiX3 - 8X2X3 的 矩 陣是
■z2 1 -1
1 3 4
1—1 4 5
三、計(jì)算題（本大題共
6小題，每小題
8、9分，共54 分）
21.計(jì)算行列式
D=
的值.
解:
2 1 0
0 -3 -2
-3 -2
1 2 1
=
1 2 1
=—
1 2
0 1 2
0 1 2
--6 ■ 2) = 4 .
22.設(shè)矩陣
A=
■2
B=
求矩陣方程XA=B的解X.
解: (A, E)二
'2
1
1
0）
，Z2
1
1
0、
[T
3
0
1丿
3
6
0
2丿乂
1
1 _5 2廠? 1 -5
2 0 6 -2
2
G
9、 0 3—1
?1—52
XuBA」』3丫 3
a 0 人—5
—1、〔—12
1 =
2丿< 6
5
I
-2
23.設(shè)矩陣
q 2 -1 3A
A= 4 8 _4 12
i,3 6 -3 a』
問a為何值時(shí)，
(1)秩(A)=1 ；
(2)秩(A)=2.
? ?
解
廣1
2
-1
3、
廣1
2
-1
3、
q
2
-1
3 '
4
8
-4
12
T
0
0
0
0
T
0
0
0
a —9
6
-3
a>
0
0
a -9』
0
0
0 >
10、
(1) a =9 時(shí)，秩(A)=1 ； ( 2) a=9 時(shí)，秩(A)=2 .
■v
'6^
卜2〕
24 .求向量組?1 =
1
，口 2 =
3
,a 3 =
2
，“ 4= 4的秩與一個(gè)
J丿
I5丿
極大線性無關(guān)組.
解:
「―1 1
6
-2
-1
1
6
-2
-1
1
6
-2
■-1
1
6
-2
1 3
2
4
T
0
4
8
2
T
0
2
4
1
T
0
2
4
1
1 5
6
5」
0
6
12
3」
11、0
2
4
1」
0
0
0
0」
解:
1
2
4
3'
1
2
4
3 '
1
2
4
3 '
1
0
2
0、
A =
0
2
2
3
T
0
2
2
3
T
0
2
2
3
T
0
2
2
3
,2
2
6
3」
,0
-2
-2
—3 j
2
0
0
0 ‘
0
0
0」
X1 = — 2X3
1 0 2 0
t 0 1 1 3/2
? 0 0 0
『0、
3/2
+ k
-1
<0
12、」
<1」
秩為2, ：-1,：-2是一個(gè)極大線性無關(guān)組.
」X| 2x2 4x3 =3
25.求線性方程組< 2X2 +2X3 =3的通解.
玄禺 +2x2 +6x3 =3
X2 -X3 ,通解為
2
X3 二 X3
九+4
10
0
九+4 10
-1
Z-3
0
=仏-1)
-1 九一3
-3
-6
人—1
=(■ 2)( ■ -1)
=‘3 =1
解: I 'E —A| =
26.設(shè)矩陣a二
-4
1
-10
3
,求可逆矩陣P及對(duì)角矩陣
對(duì)于.^-2，解齊次線性方
13、程組
5
對(duì)于
二1，
解齊次線性方程組
(E -A)x=0 :
*5 10 0"
*12 0"
q 20"
[
疋_A =
-1 -2 0
T
1 2 0
T
0 0 0
\ — 3 —6 0 ；
d 2 °」
? 0 0』
—_2 X2
Xi
X2
-2
0
X3
=X2
基礎(chǔ)解
X3
系為
：2
'-5/3
-2
0X
■'-2
0
0X
1/3
1
0
,D =
0
1
0
I 1
0
1」
<0
0
1」
1
P =
<0丿
：3
14、，則
是可逆矩陣，使
‘2
10
0 '
1
5
0
1
5
0"
15
0、
0
5a
AE — A =
-1
—5
0
T
1
5
0
T
0
0
0
T
0
-3
1
T
0
-3
1
<_3
-6
一3」
2
b
?
-3
b
1°
0
0丿
1°
0
°」
(，E -A)x =0 :
0
5/3 '
3
— 5/3)
T
0
1
—1/3
X2 =1乂3 ,基礎(chǔ)解系為 ％ =
X3 =X3
1/3 ；
e
0
0丿
< 1丿
Xi
X3
PaAP =d .
四、證明題（本大題 6分）
設(shè) ki '-1 - k2 - =0
27 .設(shè)向量組:.!, ： 2線性無關(guān)，證明向量組. =2 , 1 2 =宀 _ ] 2 也線性無關(guān).
kiC 1 匕2） k2（： 1 - ： 2）二0
(k〔 k?)、；i (ki -k2)、r〔2 二0 .
由冷，〉2線性無關(guān)，得
k1 k2 =0
k1 -k2 =0
因?yàn)? ： ，方程組
只有零解，所以.遼線性無關(guān).
《高等教育自學(xué)考試》《線性代數(shù)》07.07
