《高等教育自學(xué)考試》《線性代數(shù)》(試題及答案)08.04

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1、全國(guó)2008年4月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試 題答案 課程代碼：04184 、單項(xiàng)選擇題 （本大題共 10小題， 每小題2分，共20 分） al1 al2 al3 a〔1 5a〔1 +2a〔2 a〔3 1.設(shè)行列式D = 321 322 323 =3, D1= 321 53?1 + 2 322 323 ，則D1 331 332 333 331 5331 +2332 333 的值為（C ) A . -15 B . -6 C . 6 D . 15 D1= 3n 5a〔1 313 311

2、 2312 313 321 5321 3 23 + 321 2322 323 = 0+2D =6 . 331 5331 333 331 2332 333 2?設(shè)矩陣 f；b：〕=（Ca3b），則（C ） A . a=3,b - -1,c=1,d =3 B . a - -1,b=3,c=1,d =3 C . a=3,b = -1,c=0,d =3 D . a=-1,b=3,c = 0,d=3 a，b=2,a-b=4,c=0,d =3= a=3,b--1,c=0,d=3 . 3.設(shè)3階方陣A的秩為2,則與A等價(jià)的矩陣為

3、（B ） q 1 1、 1 1、 1 「 1 1、 A . 0 0 0 B . 0 1 1 C . 2 2 2 D . 2 2 2 ?00』 p 0 0』 衛(wèi) 0 0』 ^3 3 3 ; 4. 設(shè)A為n階方陣，n —2 ,則|-5A|= ( A ) A . (-5)n|A| B . -5|A| C. 5|A| D . 5n |A| 5. 設(shè) A=f3 2〕，則 |A乍(B ) 2 4丿 B . -2 A . -4 |A%A|n 冷 A^= 1 2 3 4 =—2 . 6 ?向量組 宀,〉2,…，：

4、s ( S 2 )線性無關(guān)的充分必要條件是 (D ) A . ：-1^-2^'，：s均不為零向量 B . dr,…宀中任意兩個(gè)向量不成比例 C. a 1,並，…8中任意s—1個(gè)向量線性無關(guān) D .冷，〉2,…宀中任意一個(gè)向量均不能由其余 S—1個(gè)向量線性表 示 7.設(shè)3元線性方程組Ax=b , A的秩為2, i, 2, 3為方程組的 解，1 ? 2 =(2,0,4)t ,「3 =(1,-2,1)丁 ,則對(duì)任意常數(shù) k,方程組 Ax 二b 的通解為(D ) A . (1,0,2)T +k(1,—2,1)t B . (1,—2,1)T +k(2,0,4)T C. (2,0,4)t

5、 k(1,-2,1)T D . (1,0,2)t k(1,2,3)T 取 Ax=b 的特解： J ( 1 ? 2)u(1,0,2)T ； 2 Ax =0的基礎(chǔ)解系含一個(gè)解向量： 2 - 3 =( 1 ? 2)-( 1 ? 3)=(1,2,3)T . &設(shè)3階方陣A的特征值為i,t,2，則下列矩陣中為可逆矩 陣的是(D ) A . E -A B. -E -A C. 2E-A  D . -2E -A -2不是A的特征值，所以|2E_A卜0 , -2E—A可逆. 9.設(shè)=2是可逆矩陣 A的一個(gè)特征值，則矩陣（A2）-1必有一 個(gè)特征值等于（A ） A . 1 B. 1 C

6、. 2 D . 4 4 2 ■ =2是A的特征值，則（?）二」是（A2）」的特征值. 4 10 .二次型 f （Xi,X2,X3,X4）=xj ? X； xf x2 2X3X4 的秩為（ C ） 打 0 0 e 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 b 0 1 0 0 0 0 1 0 、填空題（本大題共 0 0 1 匕 10小題，每小題2分，共20 分） ,秩為3. 行成比例值為零. 12.設(shè)矩陣A= 3 2] p=；1〕'則 APT = ■3 2、 f. q 4丿 T 1 2 訕 0、 AP

7、= J = ? 4丿d 1丿 '3 2 i. 7 4丿 13.設(shè)矩陣A= 0 0 r 0 1 1 1 1 b *0 -1 1 ' ，貝y a^ = -1 1 0 j 0 0> a3b3 a〔 b〔 a 1 b? 11.行列式 azd a2b2 a3b1 a3b2 a1b3 a2b3 ■0 0 1 1 0 0^ '1 1 1 0 0 P '1 1 0 -1 0 P q 0 0 0 —1「 0 110 10 T 0 110 10 T 0 10-110 T 0 10-1 1 0 1 110 0 1

8、 .001100 .0 0 1 1 0 0 .0011 0 0 < J 1 J 1 J 1 2 t 4 2 3 5」 14.設(shè)矩陣A= 2 ,若齊次線性方程組 Ax=0有非零解， 則數(shù)t= 2 |A| = 1 2 2 0 t-4 -1 0 -2 -1 t -4 -1 -2 -1 15 .已知向量組 “ 「1 1 -2 「1 -2 J ■t 1 Q 的秩為2，則數(shù) t= -2 ‘1 1 '1 1 t 、 Z1 1 t ) 1 -2 1 T 0

9、 -3 1 —t T 0 -3 1 —t 匕2 1 1丿 ? 3 2t +1 丿 <0 0 t+2丿 ,秩為2,則t 一2 16 .已知向量〉=(2,1,0,3)t ,1 =(1,-2,1,k)T，：?與］的內(nèi)積為 2,則 數(shù) k=2. G', ■) =2，即 2 -2 0 3k =2 , k =2/3 . 17.設(shè)向量 ―亡,逅，石J為單位向量，則數(shù) b=_0_. I ：十 b2 1 1 = b2 1 =1 , b =0 . \ 2 2 *0 -2 -2 " 18.已知九=0為矩陣A= 2 2

10、-2 1-2 -2 2丿 的2重特征值，則A的另 一特征值為 4 ‘ 1 = ‘ 2 = 0 , / 3 =0 2 2，所以’3=4 . 特征值的和等于矩陣 A主對(duì)角元素的和.特征值的積等于行 列式|A|的值. 19 .二 次 型 f (Xi, X2,X3)=xf 2x2 -5x3 —4XiX2 2x2X3 的 矩 陣 為 廣 1 -2 0 A -2 2 1 . 1° 1 一5」 20.已知二次型 f (X1，X2，X3)=(k ? 1)x； (k - 1)x； (k - 2)x3 正定，則數(shù) k 的取值范圍為k 2 . k 1 0 k -1

11、」k -1 a0 , >1 , k a2 . k —2 >0 k >2 三、計(jì)算題(本大題共 6小題，每小題9分，共54分) 21 . 計(jì)算行列式 D = 1111 1 1 解: 12 0 0 0 1 1 0 3 0 _ 0 -1 10 0 4 0 -1 1 22. 已知矩陣A= 1 (1)求A的逆矩陣 解 ： 1 1 1 1 1 2 0 0 的值 ? 1 0 3 0 1 0 0 4 1 1 1 1 1 1

12、 -1 -1 0 1 -1 -1 2 -1 0 0 1 -2 -1 3 0 0 -2 2 0 1 ' § 0 1 ' -1 0 B= 1 1 0 1 2丿 1 4丿 A^ ； (2)解矩陣方程 ( 1111 01-1-1 0 0 1-2 0 0 0 -2 AX =B . 1 )  1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0、 0 1 1 0 0、 1 -1

13、 0 0 1 0 T 0 -1 -1 -1 1 0 T 0 -1 -1 -1 1 0 .0 \、一 1 2 0 0 b .0 \、 1 2 0 0 b .0 \、 0 1 -1 1 b 1 0 0 2 -1 —1) fl 0 0 2 -1 -1、 廣2 -1 -V T 0 -1 0 -2 2 1 T 0 1 0 2 -2 -1 ，A- 1 = 2 -2 -1 0 1 -1 1 1」 0 1 -1 1

14、1 > L1 1 1」 廣2 -1 一 1、 ‘3 0 1、 廣5 -2 —2、 （2） X =A aB = 2 -2 -1 1 1 0 = 4 -3 -2 -1 1 1 J <0 1 4」 C2 2 3丿 （1）矩陣 23.設(shè)向量 A2 . 解：（1） 「1、 r-1 1 1 -r -1 ：1 -1 -1 i 1 一1 (-1,1,1,-1)= 1 -1 -1 i l1丿 C1

15、 1 1 j」 (2) a2 = J i i -i \ ■-i i i -i\ '^4 -4 -4 4、 i -i -i i :i -i -i i = -4 4 4 -4 i -i -i i i -i -i i -4 4 4 -4 -1 1 i -1丿 -1 i i -1丿 I4 -4 -4 4丿 T =(031,2) ：'3 冷=(1,一1,2,4)丁 = (3,0,7,14)t， 24.設(shè)向量組 >4 =(1,-1,2,0)丁， 求向量組的秩和一個(gè)極大線性無關(guān)組， 并將

16、其余向量用該極 大線性無關(guān)組線性表示. 解: '1 0 3 1 ' 1 0 3 1 " ■‘10 3 1 " ‘1 0 3 1 " -13 0 -1 0 3 3 0 0 3 3 0 0 110 T T T 2 17 2 0 110 0 0 0 0 0 0 0 1 (4 2 14 0」 Q 2 2 -4丿 <0 0 0 —4」 (0 0 0 0」 :'1 〉2,>4 是 向量組的秩為3， 個(gè)極大線性無關(guān)組， = 3 冷亠-：：2 0： 4 . 25 .已知線性方程組丿

17、 x1 +2x3 = -1 _X1+X2—3X3=2 , ( 1)求當(dāng)a為何值時(shí)， 2Xr —x2 +5x3 =a 方程組無解、有解; （2）當(dāng)方程組有解時(shí)，求出其全部解（要求用其一個(gè)特解 和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示） 5 0 2 -1 \ 1 0 2 -1 \ 1 0 2 -1 ' 解: A = -1 1 -3 2 T 0 1 -1 1 T 0 1 -1 1 、、2 -1 5 a J 1° -1 1 a+2」 1° 0 0 a + 3』 （1） a = ￡時(shí)，方程組無解，a-3時(shí)，

18、方程組有解; 10 2-1 X1 = —1 — 2x3 (2 ) a =￡ 時(shí)，At 0 1-11 ,」 X2 = 1 + X3 ,全部解為 p 0 0 0』 <3 = X3 s s 1 + k 1 」 26 .設(shè)矩陣 2 7 ［，（ 1）求矩陣A的特征值與對(duì)應(yīng)的全部 'J 2 / 特征向量； （2）判定A是否可以與對(duì)角陣相似，若可以，求可逆陣 P 和對(duì)角陣上，使得P^AP =一'… 解: I 'E -A| = ■ -8 -1 -7 -2 -'2 _ 10沐：：；'9 = (，_ 1)( ' - 9) ,

19、，特彳征彳值 ‘1=1，‘ 2=9 . 對(duì)于'1 =1,解齊次線性方程組（'E - A）x = 0 : ■E -A 二 r-7 1一1 一1丿 -7) (1 1、 IT 衛(wèi)。丿，〔:二:，基礎(chǔ)解系為 1 = 11，對(duì) 應(yīng)的全部特征向量為kr 1 （ k1是任意非零常數(shù)）； 對(duì)于‘2=9，解齊次線性方程組（‘E—A）x=O : (1 —7 ) -7、 ^=7X2 !T r1 7丿 °丿 X2 = X2 ■E —A = 基礎(chǔ)解系為 〔7〕，對(duì) 應(yīng)的全部特征向量為k2〉2 （ k2是任意非零常數(shù)）. ;0〕’則P是可逆矩陣，使得 P’APF . 可逆，且 四、證明題（本題 6分） 27 .設(shè)n階矩陣A滿足A2 =A ,證明E —2A (E -2A) ° =E -2A . 證：由 A2 =A，得(E -2A)(E -2A)二 E - 4A 4A2 二 E - 4A 4A 二 E，所以 E-2A 可逆，且(E-2A)4=E-2A .