高中數(shù)學(xué)數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入復(fù)數(shù)的幾何意義 蘇教選修PPT課件

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1、1.了解復(fù)數(shù)的兩種幾何意義，掌握復(fù)數(shù)zabi與復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)和平面向量 之間的關(guān)系.2.掌握復(fù)數(shù)模的概念，能夠進行有關(guān)復(fù)數(shù)模的簡單計算和模的大小比較.3.了解復(fù)數(shù)加減的幾何意義，通過對復(fù)數(shù)的幾何意義的學(xué)習(xí)，進一步體驗數(shù)形結(jié)合的魅力.學(xué)習(xí)目標(biāo)第1頁/共38頁欄目索引知識梳理 自主學(xué)習(xí)題型探究 重點突破當(dāng)堂檢測 自查自糾第2頁/共38頁 知識梳理 自主學(xué)習(xí)知識點一復(fù)數(shù)的兩種幾何意義1.復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)在直角坐標(biāo)系中，我們把x軸叫做實軸(實軸上的點都表示實數(shù))，y軸叫做虛軸(虛軸上的點，除原點外，都表示純虛數(shù))，這樣我們就建立了復(fù)數(shù)的平面復(fù)平面.在復(fù)平面內(nèi)的任意一點Z(a，b)與復(fù)數(shù)集C中的

2、復(fù)數(shù)zabi(a，bR)就建立起了一一對應(yīng)的關(guān)系.第3頁/共38頁2.復(fù)數(shù)與向量的對應(yīng)因為復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)與以原點為起點，Z(a，b)為終點的向量 一一對應(yīng)(實數(shù)0與零向量對應(yīng))，所以復(fù)數(shù)zabi也可以用向量 來表示.復(fù)數(shù)zabi、復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)和平面向量 之間的關(guān)系可用下圖來表示.因此，我們又常把復(fù)數(shù)zabi說成點Z或向量 ，并且規(guī)定相等的向量表示同一個復(fù)數(shù).第4頁/共38頁思考(1)虛軸上的點都對應(yīng)著唯一的純虛數(shù)嗎？答案不是.(2)象限內(nèi)的點與復(fù)數(shù)有何對應(yīng)關(guān)系？答案第一象限的復(fù)數(shù)特點：實部為正，且虛部為正；第二象限的復(fù)數(shù)特點：實部為負(fù)，且虛部為正；第三象限的復(fù)數(shù)特點：實部

3、為負(fù)，且虛部為負(fù)；第四象限的復(fù)數(shù)特點：實部為正，且虛部為負(fù).答案第5頁/共38頁知識點二復(fù)數(shù)的模1.如圖所示，向量 的模叫做復(fù)數(shù)zabi(a，bR)的模(或絕對值)，記作|z|或|abi|.如果b0，那么zabi就是實數(shù)a，它的模等于|a|(即實數(shù)a的絕對值).由模的定義可知：|z|abi| .答案第6頁/共38頁2.復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)，設(shè)z1，z2是任意兩個復(fù)數(shù)，則(3) |z1z2|z1|z2|，等號成立的條件是：當(dāng)|z1z2|z1|z2|時，即z1，z2所對應(yīng)的向量同向共線；當(dāng)|z1|z2|z1z2|時，即z1，z2所對應(yīng)的向量反向共線.(4)|z1|z2|z1z2|z1|z2|，等號成立的

4、條件是：當(dāng)|z1z2|z1|z2|時，即z1，z2所對應(yīng)的向量反向共線；當(dāng)|z1|z2|z1z2|時，即z1，z2所對應(yīng)的向量同向共錢.第7頁/共38頁思考復(fù)數(shù)的模的幾何意義是什么？答案復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z，復(fù)數(shù)z0在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z0，r表示一個大于0的常數(shù)，則：滿足條件|z|r的點Z的軌跡為以原點為圓心，r為半徑的圓，|z|r表示圓的內(nèi)部，|z|r表示圓的外部；滿足條件|zz0|r的點Z的軌跡為以Z0為圓心，r為半徑的圓，|zz0|r表示圓的內(nèi)部，|zz0|r表示圓的外部.答案第8頁/共38頁知識點三復(fù)數(shù)加減法的幾何意義1.復(fù)數(shù)加法的幾何意義第9頁/共38頁2.復(fù)數(shù)減法的幾何意

5、義返回第10頁/共38頁 題型探究 重點突破解析答案題型一復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點例1在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z(m22m8)(m23m10)i對應(yīng)的點：(1)在虛軸上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直線yx上，分別求實數(shù)m的取值范圍.反思與感悟第11頁/共38頁解復(fù)數(shù)z(m22m8)(m23m10)i的實部為m22m8，虛部為m23m10.(1)由題意得m22m80.解得m2或m4.(3)由題意，得(m22m8)(m23m10)0，2m4或5m0，得m5，所以當(dāng)m5時，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在x軸上方.(2)對應(yīng)的點在直線xy40上.解由(m25m6)(m22m15)40，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在直線

6、xy40上.第14頁/共38頁解析答案題型二復(fù)數(shù)的模的幾何意義例2設(shè)zC，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點Z，試說明滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形.(1)|z|2；解方法一|z|2說明復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z到原點的距離為2，這樣的點Z的集合是以原點O為圓心，2為半徑的圓.方法二設(shè)zabi，由|z|2，得a2b24.故點Z對應(yīng)的集合是以原點O為圓心，2為半徑的圓.第15頁/共38頁解析答案(2)1|z|2.不等式|z|2的解集是圓|z|2及該圓內(nèi)部所有點的集合.不等式|z|1的解集是圓|z|1及該圓外部所有點的集合.這兩個集合的交集，就是滿足條件1|z|2的點的集合.如圖中的陰影部分，所求點的集合是以O(shè)

7、為圓心，以1和2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)，并且包括圓環(huán)的邊界.反思與感悟第16頁/共38頁反思與感悟解決復(fù)數(shù)的模的幾何意義的問題，應(yīng)把握兩個關(guān)鍵點：一是|z|表示點Z到原點的距離，可依據(jù)|z|滿足的條件判斷點Z的集合表示的圖形；二是利用復(fù)數(shù)的模的概念，把模的問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決.第17頁/共38頁解析答案跟蹤訓(xùn)練2若復(fù)數(shù)z滿足|zi| (i為虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面所對應(yīng)的圖形的面積為_.解析設(shè)zxyi(x，yR)，則zixyiix(y1)i，所求圖形的面積為S2.故填2.2第18頁/共38頁解析答案題型三復(fù)數(shù)的模及其應(yīng)用例3已知復(fù)數(shù)z3ai，且|z|4，求實數(shù)a的取值范圍.解方法一z3ai

8、(aR)，方法二利用復(fù)數(shù)的幾何意義，由|z|4知，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在以原點為圓心，以4為半徑的圓內(nèi)(不包括邊界)，由z3ai知z對應(yīng)的點在直線x3上，線段AB(除去端點)為動點Z的集合.反思與感悟第19頁/共38頁反思與感悟利用模的定義將復(fù)數(shù)模的條件轉(zhuǎn)化為其實、虛部滿足的條件，是一種復(fù)數(shù)問題實數(shù)化思想；根據(jù)復(fù)數(shù)模的意義，結(jié)合圖形，也可利用平面幾何知識解答本題.第20頁/共38頁解析答案跟蹤訓(xùn)練3已知復(fù)數(shù)|z|1，求復(fù)數(shù)34iz的模的最大值及最小值.解令34iz，則z(34i).|z|1，|(34i)|1，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是以(3,4)為圓心，1為半徑的圓，如圖，容易看出，圓上的

9、點A所對應(yīng)的復(fù)數(shù)A的模最大，復(fù)數(shù)34iz的模的最大值和最小值分別為6和4.第21頁/共38頁解析答案題型四復(fù)數(shù)加、減法、幾何意義的綜合應(yīng)用例4已知|z1|z2|z1z2|1，求|z1z2|.反思與感悟第22頁/共38頁解析答案解方法一設(shè)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，|z1|z2|z1z2|1，a2b2c2d21，(ac)2(bd)21，由得2ac2bd1，反思與感悟第23頁/共38頁方法二設(shè)O為坐標(biāo)原點，z1，z2，z1z2對應(yīng)的點分別為A，B，C.|z1|z2|z1z2|1，OAB是邊長為1的正三角形，又以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，四邊形OACB是一個內(nèi)角為60，邊

10、長為1的菱形，且|z1z2|是菱形的較長的對角線OC的長，反思與感悟第24頁/共38頁反思與感悟(1)設(shè)出復(fù)數(shù)zxyi(x，yR)，利用復(fù)數(shù)相等或模的概念，可把條件轉(zhuǎn)化為x，y滿足的關(guān)系式，利用方程思想求解，這是本章“復(fù)數(shù)問題實數(shù)化”思想的應(yīng)用.(2)在復(fù)平面內(nèi)，z1，z2對應(yīng)的點為A，B，z1z2對應(yīng)的點為C，O為坐標(biāo)原點，四邊形OACB為平行四邊形；若|z1z2|z1z2|，則四邊形OACB為矩形；若|z1|z2|，則四邊形OACB為菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，則四邊形OACB為正方形.第25頁/共38頁解析答案第26頁/共38頁解析答案故A，B，C三點均在以原點為圓心

11、，1為半徑的圓上，如圖所示，由平行四邊形法則和余弦定理易得故AOC60，平行四邊形OACB為菱形，且BOC，COA都是等邊三角形，即AOB120.第27頁/共38頁解析答案第28頁/共38頁方法二由結(jié)論|z1z2|2|z1z2|22(|z1|2|z2|2)知，|z1z2|22|z1|22|z2|2|z1z2|23，第29頁/共38頁對于求復(fù)數(shù)的題目，一般的解題思路是：先設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，如zabi(a，bR)，利用題目給出的條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的相關(guān)概念和性質(zhì)，列出方程(或方程組)，求出a，b，最后將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式寫出來.例5已知f(z)|2z|z，且f(z)35i，求復(fù)數(shù)z.方法技巧復(fù)數(shù)與函數(shù)的

12、綜合應(yīng)用解析答案返回第30頁/共38頁分析題目中出現(xiàn)了f(z)與f(z)的關(guān)系式，可由f(z)得到f(z)的另一種關(guān)系式.要求復(fù)數(shù)z，只需設(shè)zabi(a，bR)，求出a，b即可.利用復(fù)數(shù)相等的充要條件即可列方程組求解.解設(shè)復(fù)數(shù)zabi(a，bR).f(z)|2z|z，f(z)|2z|z.又f(z)35i，|2z|z35i， |2(abi)|abi35i.復(fù)數(shù)z105i.返回第31頁/共38頁 當(dāng)堂檢測解析答案1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)zi2i2對應(yīng)的點位于第_象限.解析zi2i22i，實部小于0，虛部大于0，故復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于第二象限.二第32頁/共38頁解析答案2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)65i，23i

13、對應(yīng)的點分別為A，B.若C為線段AB的中點，則點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是_.解析由題意知點A的坐標(biāo)為(6,5)，點B的坐標(biāo)為(2,3).由中點坐標(biāo)公式，得線段AB的中點C的坐標(biāo)為(2,4)，故點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為24i.24i第33頁/共38頁3.復(fù)數(shù)z1a2i，z22i，如果|z1|z2|，那么實數(shù)a的取值范圍是_.解得1a1.(1,1)解析答案第34頁/共38頁解析答案4.在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z(m3)2 i的點在直線yx上，則實數(shù)m的值為_.9第35頁/共38頁解析答案5.已知z12(1i)，且|z|1，求|zz1|的最大值.解如圖所示，因為|z|1，所以z的軌跡可看作是半徑為1，圓心為(0,0)的圓，而z1對應(yīng)坐標(biāo)系中的點為Z1(2，2)，所以|zz1|的最大值可以看成點(2，2)到圓上的點的最大距離，則|zz1|max .第36頁/共38頁課堂小結(jié)返回1.復(fù)數(shù)的幾何意義有兩種：復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)，復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)以原點為起點的向量一一對應(yīng).2.研究復(fù)數(shù)的問題可利用復(fù)數(shù)問題實數(shù)化思想轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實、虛部的問題，也可以結(jié)合圖形利用幾何關(guān)系考慮.第37頁/共38頁