高考數(shù)學三輪講練測核心熱點總動員新課標版 專題20 以橢圓和拋物線為背景的解析幾何大題 Word版含解析

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1、 【名師精講指南篇】 【高考真題再現(xiàn)】 1.【2013新課標全國】已知圓M：(x＋1)2＋y2=1，圓N：(x－1)2＋y2=9，動圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線 C （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當圓P的半徑最長時，求|AB|. 若直線l不垂直于x軸，設(shè)l與x軸的交點為Q，則，解得，故直線l：；有l(wèi)與圓M相切得，解得；當時，直線，聯(lián)立直線與橢圓的方程解得；同理，當時，. 2. 【2014高考全國1理】已知點A,橢圓E:的離心率為；F是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點 （I）求E的方程；

2、 （II）設(shè)過點A的動直線與E 相交于P,Q兩點.當?shù)拿娣e最大時，求的直線方程. 【解析】（I）設(shè)右焦點，由條件知，，得． 又，所以，．故橢圓的方程為． 3.【2015全國I理20】在直角坐標系中，曲線與直線 交于，兩點. （1）當時，分別求在點和處的切線方程； （2）軸上是否存在點，使得當變動時，總有？說明理由. 解析 （1）由題意知，時，聯(lián)立，解得，． 又，在點處，切線方程為，即， 在點處，，切線方程為，即． 故所求切線方程為和． （2）存在符合題意的點，證明如下： 設(shè)點為符合題意的點，，，直線，的斜率分別為，．聯(lián)立方程，得，故，， 從而． 當時，有，則

3、直線與直線的傾斜角互補， 故，所以點符合題意． 4.【2015全國II理20】已知橢圓，直線不過原點且不平行 于坐標軸，與有兩個交點，線段的中點為. （1）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值； （2） 若過點,延長線段與交于點，四邊形能否平行四邊行？若能，求此時的斜率，若不能，說明理由. （2）不妨設(shè)四邊形能為平行四邊形． 因為直線過點，所以不過原點且與有兩個交點的充要條件是，且． 由(1)得的方程為．設(shè)點的橫坐標為．由 【熱點深度剖析】 1.圓錐曲線的解答題新課標的要求理科一般以橢圓或拋物線為背景，而文科一般以橢圓為背景進行綜合考查，由于雙曲線的弱化，故以雙曲線為背

4、景的解析幾何解答題不在考慮.在2012年高考文理同一道題，以拋物線與圓結(jié)合進行考查，主要考查拋物線、圓的標準方程的求法以及直線與拋物線、圓的位置關(guān)系，突出解析幾何的基本思想和方法的考查：如數(shù)形結(jié)合思想、坐標化方法等. 2013年高考文理同一道題，以橢圓與圓結(jié)合進行考查，主要考查橢圓的定義、弦長公式、直線的方程，考查學生的運算能力、化簡能力以及數(shù)形結(jié)合的能力. 在2014年文科考查了圓的方程，理科高考試題考查了橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，弦長公式，函數(shù)的最值，直線的方程，基本不等式等，考查學生的運算能力、化簡能力以及數(shù)形結(jié)合的能力.2015年考查了定點定植問題。從近幾年高考來看，圓錐曲線的解答

5、題中主要是以橢圓，拋物線為基本依托，考查橢圓，拋物線方程的求解、考查直線與曲線的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想等數(shù)學思想方法，這道解答題往往是試卷的壓軸題之一．從近幾年高考來看，計算量都不是太大，說明文理難度都在降低，特別是計算量不大，但要求的邏輯思維能力，數(shù)形結(jié)合的能力與往年差不多，體現(xiàn)高考重能力，輕運算．由于圓錐曲線與方程是傳統(tǒng)的高中數(shù)學主干知識，在高考命題上已經(jīng)比較成熟，考查的形式和試題的難度、類型已經(jīng)較為穩(wěn)定，預(yù)測2016年高考很有可能以橢圓，拋物線為背景，考查探索性命題及最值問題，文科也有可能以圓為背景命題，也有可能繼續(xù)保持題型不變，考查細節(jié)

6、上有所變化. 2.從近幾年高考來看，求曲線的軌跡方程是高考的?？碱}型，主要以解答題的形式出現(xiàn)，考查軌跡方程的求法以及利用曲線的軌跡方程研究曲線的幾何性質(zhì)，一般用直接法、待定系數(shù)法、相關(guān)點代入法等求曲線的軌跡方程，其關(guān)鍵是找到與任意點有關(guān)的等量關(guān)系．軌跡問題的考查往往與函數(shù)、方程、向量、平面幾何等知識相融合，著重考查分析問題、解決問題的能力，對邏輯思維能力、運算能力也有一定的要求．預(yù)測2015年高考仍將以求曲線的方程為主要考點，考查學生的運算能力與邏輯推理能力． 【重點知識整合】 1.橢圓的第一定義：平面內(nèi)到兩個定點的距離之和等于定長（）的點的軌跡. 注意：橢圓中，與兩個定點F，F(xiàn)的距離

7、的和等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要大于，當常數(shù)等于時，軌跡是線段FF，當常數(shù)小于時，無軌跡. 2．直線和橢圓的位置關(guān)系 （1）位置關(guān)系判斷： 直線與橢圓方程聯(lián)立方程組，消掉y，得到的形式（這里的系數(shù)A一定不為0），設(shè)其判別式為， （1）相交：直線與橢圓相交； （2）相切：直線與橢圓相切； （3）相離：直線與橢圓相離； (2弦長公式： （1）若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則＝，若分別為A、B的縱坐標，則＝，若弦AB所在直線方程設(shè)為，則＝. （2）焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用

8、第二定義求解.橢圓左焦點弦,右焦點弦.其中最短的為通徑：,最長為； （3）橢圓的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解.在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率. 3.與焦點三角形相關(guān)的結(jié)論 橢圓上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角，通常叫做焦點三角形.一般與焦點三角形的相關(guān)問題常利用橢圓的第一定義和正弦、余弦定理求解.設(shè)橢圓上的一點到兩焦點的距離分別為，焦點的面積為，設(shè),則在橢圓中，有以下結(jié)論： (1)＝，且當即為短軸端點時，最大為＝； （2）；焦點三角形的周長為； (3)，當即為短軸端點時，的最大值為； 4.直線和拋物線的位置關(guān)系 （1）位置關(guān)系判斷：直線與雙曲線

9、方程聯(lián)立方程組，消掉y，得到 的形式，當，直線和拋物線相交，且與拋物線的對稱軸并行，此時與拋物線只有一個交點，當設(shè)其判別式為， ①相交：直線與拋物線有兩個交點；②相切：直線與拋物線有一個交點； ③相離：直線與拋物線沒有交點. 注意：過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線. （2）焦點弦：若拋物線的焦點弦為AB,，則有,. （3） 在拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率. （4）若OA、OB是過拋物線頂點O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經(jīng)過定點,反之亦成立. 5.求曲線(圖形)方程的方法及其具體步驟如下： 步 驟 含

10、 義 說 明 1、“建”：建立坐標系；“設(shè)”：設(shè)動點坐標. 建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担?x,y)表示曲線上任意一點M的坐標. (1) 所研究的問題已給出坐標系，即可直接設(shè)點. (2) 沒有給出坐標系，首先要選取適當?shù)淖鴺讼? 2、現(xiàn)(限)：由限制條件，列出幾何等式. 寫出適合條件P的點M的集合P={M|P(M)} 這是求曲線方程的重要一步，應(yīng)仔細分析題意，使寫出的條件簡明正確. 3、“代”：代換 用坐標法表示條件P(M)，列出方程f(x,y)=0 常常用到一些公式. 4、“化”：化簡 化方程f(x,y)=0為最簡形式. 要注意同解變形. 5、證明

11、證明化簡以后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點. 化簡的過程若是方程的同解變形，可以不要證明，變形過程中產(chǎn)生不增根或失根，應(yīng)在所得方程中刪去或補上(即要注意方程變量的取值范圍). 注意：這五個步驟(不包括證明)可濃縮為五字“口訣”：建設(shè)現(xiàn)(限)代化. 【應(yīng)試技巧點撥】 1.直線與橢圓的位置關(guān)系 在直線與橢圓的位置關(guān)系問題中，一類是直線和橢圓關(guān)系的判斷，利用判別式法.另一類常與“弦”相關(guān)：“平行弦”問題的關(guān)鍵是“斜率”、“中點弦”問題關(guān)鍵是“韋達定理”或“小小直角三角形”或“點差法”、“長度（弦長）”問題關(guān)鍵是長度（弦長）公式.在求解弦長問題中，要注意直線是否過焦點，如果過焦點，一般可

12、采用焦半徑公式求解；如果不過，就用一般方法求解.要注意利用橢圓自身的范圍來確定自變量的范圍，涉及二次方程時一定要注意判別式的限制條件. 2.如何利用拋物線的定義解題 （1）求軌跡問題：主要抓住到定點的距離和到定直線距離的幾何特征，并驗證其滿足拋物線的定義，然后直接利用定義便可確定拋物線的方程； （2）求最值問題：主要把握兩個轉(zhuǎn)化：一是把拋物線上的點到焦點的距離可以轉(zhuǎn)化為到準線的距離；二是把點到拋物線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點的距離.在解題時要準確把握題設(shè)的條件，進行有效的轉(zhuǎn)化，探求最值問題. 3.求曲線方程的常見方法： (1)直接法：直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標化，列出

13、等式化簡即得動點軌跡方程 (2)定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求 (3)相關(guān)點法：即利用動點是定曲線上的動點，另一動點依賴于它，那么可尋求它們坐標之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進行求解根據(jù)相關(guān)點所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動點的軌跡方程 (4)參數(shù)法：若動點的坐標()中的分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程.根據(jù)題中給定的軌跡條件，用一個參數(shù)來分別動點的坐標，間接地把坐標聯(lián)系起來，得到用參數(shù)表示的方程.如果消去參數(shù)，就可以得到軌跡的普通方程. 注意：(1)求曲線的軌跡與求曲線

14、的軌跡方程的區(qū)別：求曲線的軌跡是在求出曲線軌跡方程后，再進一步說明軌跡是什么樣的曲線.(2)求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念. 4.解析幾何解題的基本方法 解決圓錐曲線綜合題，關(guān)鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標準方程、圖形與幾何性質(zhì)，注意挖掘知識的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律，通過對知識的重新組合，以達到鞏固知識、提高能力的目的.綜合題中常常離不開直線與圓錐曲線的位置，因此，要樹立將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，應(yīng)用判別式、韋達定理的意識.解析幾何應(yīng)用問題的解題關(guān)鍵是建立適當?shù)淖鴺讼担侠斫⑶€模型，然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問題作出定量或定性的分

15、析與判斷.常用的方法：數(shù)形結(jié)合法，以形助數(shù)，用數(shù)定形. 在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合(如角平分線的雙重身份――對稱性、利用到角公式)、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等. 5.避免繁復運算的基本方法 可以概括為：回避，選擇，尋求.所謂回避，就是根據(jù)題設(shè)的幾何特征，靈活運用曲線的有關(guān)定義、性質(zhì)等，從而避免化簡方程、求交點、解方程等繁復的運算.所謂選擇，就是選擇合適的公式，合適的參變量，合適的坐標系等，一般以直接性和間接性為基本原則.因為對普通方程運算復雜的問題，用參數(shù)方程可

16、能會簡單；在某一直角坐標系下運算復雜的問題，通過移軸可能會簡單；在直角坐標系下運算復雜的問題，在極坐標系下可能會簡單“所謂尋求”. 6. 解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容： （1）給出直線的方向向量或； （2）給出與相交,等于已知過的中點; （3）給出,等于已知是的中點; （4）給出,等于已知與的中點三點共線; （5） 給出以下情形之一：①；②存在實數(shù)；③若存在實數(shù),等于已知三點共線； （6） 給出，等于已知是的定比分點，為定比，即； （7） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角； （8）給出,等于已知是的平分線； （9）在平行四邊形

17、中，給出，等于已知是菱形; （10）在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形; （11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）； （12）在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）； （13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）； （14）在中，給出等于已知通過的內(nèi)心； （15）在中，給出等于已知是的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點）； （16）在中，給出,等于已知是中邊的中線. 7.定點、定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用

18、變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個點、一個值，就是要求的定點、定值．化解這類問題難點的關(guān)鍵就是引進變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量． 8．解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標函數(shù)和建立不等關(guān)系，根據(jù)目標函數(shù)和不等式求最值、范圍，因此這類問題的難點，就是如何建立目標函數(shù)和不等關(guān)系．建立目標函數(shù)或不等關(guān)系的關(guān)鍵是選用一個合適變量，其原則是這個變量能夠表達要解決的問題，這個變量可以是直線的斜率、直線的截距、點的坐標等，要根據(jù)問題的實際情況靈活處理. 【考場經(jīng)驗

19、分享】 １．判斷兩種標準方程的方法為比較標準形式中與的分母大小，若的分母比的分母大，則焦點在x軸上，若的分母比的分母小，則焦點在y軸上． ２．注意橢圓的范圍，在設(shè)橢圓上點的坐標時，則，這往往在求與點有關(guān)的最值問題中特別有用，也是容易忽略導致求最值錯誤的原因． ３．注意橢圓上點的坐標范圍，特別是把橢圓上某一點坐標視為某一函數(shù)問題求解，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最值有重要意義． 4．直線和拋物線若有一個公共點，并不能說明直線和拋物線相切，還有可能直線與拋物線的對稱軸平行． 5．在求得軌跡方程之后，要深入地思考一下：(1)是否還遺漏了一些點？是否還有另一個滿足條件的軌跡方程存在？(2)在所求得的

20、軌跡方程中，x，y的取值范圍是否有什么限制？確保軌跡上的點“不多不少”． 6.作為解答題的倒數(shù)第二個，試題的難度較大，也體現(xiàn)在計算量上尤為明顯，學生在解題時往往會思路，但計算往往不對，對此，建議如下：第一問保證準確，如軌跡方程，曲線方程，或者幾何性質(zhì)等，因為第二問往往以第一問為基礎(chǔ)，故第一問要舍得花時間去驗證一下；對于第二問，往往就是曲線與直線聯(lián)立，建立方程組，利用判別式，韋達定理等這些都已經(jīng)成立的模式，建立關(guān)系式，即使思路無法進行，也要準確的放在卷面上，一般它們都要占到部分分數(shù)；如果涉及到直線方程的探索，特別注意斜率不存在的情況，有時一些定值定點問題，可以通過這種特殊情況直接得到. 【名

21、題精選練兵篇】 1．【2016屆陜西省西北工大附中高三第四次適應(yīng)性考試】已知、分別是橢圓的左、右焦點． （1）若是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，，求點的坐標； （2）設(shè)過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍． 2．【2016屆河南省洛陽市一中高三下學期第二次模擬】已知兩動圓和，把它們的公共點的軌跡記為曲線，若曲線與軸的正半軸的交點為，且曲線上的相異兩點滿足：． （1）求曲線的方程；（2）證明直線恒經(jīng)過一定點，并求此定點的坐標； （3）求面積的最大值． 【解析】（1）設(shè)兩動圓的公共點為Q，則有．由橢圓的定義可知的軌跡為橢圓，．所以曲

22、線的方程是：． （2）證法一：由題意可知：，設(shè)，， 當?shù)男甭什淮嬖跁r，易知滿足條件的直線為：過定點 當?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)直線：，聯(lián)立方程組： ，把②代入①有： ③，④， 證法二：（先猜后證）由題意可知：，設(shè)，， 如果直線恒經(jīng)過一定點，由橢圓的對稱性可猜測此定點在軸上，設(shè)為； 取特殊直線，則直線的方程為， 解方程組得點，同理得點， 此時直線恒經(jīng)過軸上的點 下邊證明點滿足條件 當?shù)男甭什淮嬖跁r，直線方程為：， 點的坐標為，滿足條件； 當?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)直線：，聯(lián)立方程組： ，把②代入①得： ③，④， 所以 （3）面積＝＝ 由第（2）小題的③④代入，整理得

23、： 因在橢圓內(nèi)部，所以，可設(shè)， ，（時取到最大值）．所以面積的最大值為． 3．【2016屆湖北省沙市中學高三下第三次半月考】已知拋物線上點處的切線方程為． （Ⅰ）求拋物線的方程； （Ⅱ）設(shè)和為拋物線上的兩個動點，其中且，線段的垂直平分線與軸交于點，求面積的最大值． 得， ， 設(shè)到的距離， ， 當且僅當，即時取等號，的最大值為8. 4．【2016屆河北省邯鄲一中高三下第一次模擬】已知兩點，直線、相交于點，且這兩條直線的斜率之積為． （1）求點的軌跡方程； （2）記點的軌跡為曲線，曲線上在第一象限的點的橫坐標為1，直線、與圓相切于點、，又、與曲線的另一交點分別為

24、，，求的面積的最大值（其中點為坐標原點）． 故直線的斜率為 把直線的方程代入橢圓方程，消去整理得，所以 原點到直線的距離為 5．【2016屆江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)研】在平面直角坐標系中，已知橢圓：的左，右焦點分別是，，右頂點、上頂點分別為，，原點到直線的距離等于﹒ （1）若橢圓的離心率等于，求橢圓的方程； （2）若過點的直線與橢圓有且只有一個公共點，且在第二象限，直線交軸于點﹒試判斷以為直徑的圓與點的位置關(guān)系，并說明理由﹒ （2）點在以為直徑的圓上﹒ 由題設(shè)，直線與橢圓相切且的斜率存在，設(shè)直線的方程為：， 由，得，（*） 則， 化簡，得，所以

25、， ， ∵點在第二象限，∴﹒ 把代入方程（*） ，得， 解得，從而，所以 6．【2016屆陜西省西安一中等八校高三下聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，、是橢圓的左、右焦點，過作直線交橢圓于、兩點，若的周長為8. （1）求橢圓方程； （2）若直線的斜率不為0，且它的中垂線與軸交于，求的縱坐標的范圍； （3）是否在軸上存在點，使得軸平分?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由. 【解析】（1）依題意得，解得，所以方程為. （3）存在. 假設(shè)存在，由軸平分可得， 即， 有 將式代入有，解得. 7．【2016屆遼寧省沈陽東北育才學校高三上二模】已知A為橢圓上的一個動點，

26、弦AB、AC分別過焦點F1、F2，當AC垂直于x軸時，恰好有. （Ⅰ）求橢圓離心率； （Ⅱ）設(shè),試判斷是否為定值？若是定值，求出該定值并證明；若不是定值，請說明理由. 【解析】（Ⅰ）當AC垂直于x軸時，，，∴ ∴，∴，∴，故. 8．【2016屆四川省成都市七中高三考試】已知橢圓的兩個焦點分別為，，以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過點. （1）求橢圓的方程； （2）過點的直線與橢圓相交于兩點，設(shè)點，記直線的斜率分別為，問：是否為定值？并證明你的結(jié)論. ②當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為. 將代入整理化簡，得. 依題意，直線與橢圓必相交于兩點，設(shè)， 則，，又， 所以

27、 綜上得為定值2. 9. 【江西省九江市2015年第一次高考模擬】已知橢圓的中心在坐標原點，右焦點為，、是橢圓的左、右頂點，是橢圓上異于、的動點，且面積的最大值為． （1）求橢圓的方程； （2）是否存在一定點（），使得當過點的直線與曲線相交于，兩點時，為定值？若存在，求出定點和定值；若不存在，請說明理由. 【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為()，由已知可得①，∵為橢圓右焦點，∴②，……2分 由①②可得，， 橢圓的方程為； 10. 【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2015屆高三教學情況調(diào)研（一）】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：的離心率為，且過點，過橢圓的左頂點A作直線軸，點M為直線上的動點，

28、點B為橢圓右頂點，直線BM交橢圓C于P． （1）求橢圓C的方程； （2）求證：； （3）試問是否為定值？若是定值，請求出該定值；若不是定值，請說明理由． 11. 【湖北省黃岡市2015屆高三上學期元月調(diào)考】已知拋物線的焦點為，點關(guān)于坐標原點對稱，以為焦點的橢圓，過點 （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）設(shè)，過點作直線與橢圓交于兩點，且，若，求的最小值. 【解析】（Ⅰ）易知，橢圓方程為； （Ⅱ）由題意可設(shè)，由，設(shè)，將得，由得，，，，，，令，的最小值是. 12．【廣東省廣州市2015屆高三1月模擬】已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．圓. （1）求橢圓的方程； （2）若直線與橢

29、圓C有且只有一個公共點，且與圓相交于兩點， 問是否成立？請說明理由． 而,化簡得．① ，.∴ 點的坐標為. 由于，結(jié)合①式知，∴. ∴ 與不垂直. ∴ 點不是線段的中點. ∴不成立. 13 ．【廣東省潮州市2014-2015學年第一學期高三期末】已知橢圓（）經(jīng)過點，離心率為，動點（）． 求橢圓的標準方程； 求以（為坐標原點）為直徑且被直線截得的弦長為的圓的方程； 設(shè)是橢圓的右焦點，過點作的垂線與以為直徑的圓交于點，證明線段的長為定值，并求出這個定值． 【解析】（1）由題意得 ①， 因為橢圓經(jīng)過點，所以 ②， 又 ③

30、， 由①②③解得，．所以橢圓的方程為． （3）方法一：過點作的垂線，垂足設(shè)為．直線的方程為，直線的方程為．由，解得，故．；．又.．所以線段的長為定值． 方法二：設(shè)，則，，，． ，． ．又，． ．為定值． 14．【珠海市2014-2015學年度第一學期期末】已知拋物線，圓． (1)在拋物線上取點，的圓周上取一點，求的最小值； (2)設(shè)為拋物線上的動點，過作圓的兩條切線，交拋物線于、點，求中點的橫坐標的取值范圍． (2)． 由題設(shè)知，切線與軸不垂直， ，設(shè)切線，設(shè)，中點，則，將與的方程聯(lián)立消得，即得（舍）或，設(shè)二切線的斜率為，則，，，又到的距離為1，有，兩邊平方得 ，則是的

31、二根，則，則，，在上為增函數(shù)， ，的范圍是. 15. 【2015年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）】已知橢圓的中心在坐標原點，兩焦點分別為雙曲線的頂點，直線與橢圓交于，兩點，且點的坐標為，點是橢圓上異于點,的任意一點，點滿足，，且，，三點不共線. （1）求橢圓的方程； （2）求點的軌跡方程； （3）求面積的最大值及此時點的坐標. （2）解法1：設(shè)點，點，由及橢圓關(guān)于原點對稱可得，∴，，，.由 , 得，即. ①；同理, 由, 得 . ② ；①②得 . ③； 由于點在橢圓上, 則，得,代入③式得 . 當時，有，當，則點或,此時點對應(yīng)的坐標分別為或 ，其坐標也滿

32、足方程. 當點與點重合時，即點，由②得 ，解方程組 得點的坐標為或.同理, 當點與點重合時，可得點的坐標為或.∴點的軌跡方程為 , 除去四個點,, ,. (3) 解法１：點到直線的距離為.△的面積為， . 而（當且僅當時等號成立），∴.當且僅當時, 等號成立.由解得或 ∴△的面積最大值為, 此時,點的坐標為或. 16. 【山東省青島市2015屆高三上學期期末】已知拋物線上一點到其焦點F的距離為4；橢圓的離心率，且過拋物線的焦點F. （I）求拋物線和橢圓的標準方程； （II）過點F的直線交拋物線于A、B兩不同點，交軸于點N，已知，求證：為定值. （III）直線交橢

33、圓于P，Q兩不同點，P，Q在x軸的射影分別為，， ，若點S滿足：，證明：點S在橢圓上. 【解析】（Ⅰ）拋物線上一點到其焦點的距離為；拋物線的準線為，拋物線上點到其焦點的距離等于到準線的距離，所以,所以，拋物線的方程為，橢圓的離心率,且過拋物線的焦點，所以，,解得，所以橢圓的標準方程為； (Ⅲ)設(shè)，所以,則，由得(1) ,(2) (3) (1)+(2)+(3)得: ，即滿足橢圓的方程命題得證 【名師原創(chuàng)測試篇】 1．已知圓： 及點，為圓上一動點，在同一坐標平面內(nèi)的動點Ｍ滿足：． （Ⅰ）求動點的軌跡 的方程； （Ⅱ）設(shè)過定點的直線與橢圓交于不同的兩

34、點，且為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍． （Ⅲ）設(shè)是它的兩個頂點，直線與相交于點，與橢圓相交于兩點．求四邊形面積的最大值 【解析】（Ⅰ）又已知，圓，則半徑為4，由，則 三點共線，且，則 ，故動點的軌跡是以為左、右焦點的橢圓，且，所以，動點的軌跡方程為. （Ⅲ）解法一：根據(jù)點到直線的距離公式和①式知，點到的距離分別為，． 又，所以四邊形的面積為=， 當，即當時，上式取等號．所以的最大值為． 解法二：由題設(shè)，，．設(shè)，，由①得，， 故四邊形的面積為，當時，上式取等號．所以的最大值為． 2. 已知拋物線的頂點為坐標原點，焦點為，直線與拋物線相交于兩點，且線段的中點為． （I

35、）求拋物線的和直線的方程； （II）若過且互相垂直的直線分別與拋物線交于求四邊形面積的最小值． （II）設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立消去，整理得 由弦長公式得，同理可得，，所以四邊形面積 當且僅當，即時，四邊形面積取最小值． 3. 已知橢圓:,經(jīng)過點且離心率為. (1)求橢圓的方程; (2)不經(jīng)過原點的直線與橢圓交于不同的兩點,若直線的斜率依次成等比數(shù)列,求直線的斜率. 【解析】(1)因為橢圓的離心率為,所以,又因為橢圓經(jīng)過點,所以,則,故橢圓的方程為； 4. 橢圓（）過點，且離心率． （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）設(shè)動直線與橢圓相切于點且交直線于點，求橢圓的兩焦點、到

36、切線的距離之積； （Ⅲ）在（II）的條件下，求證：以為直徑的圓恒過點． 【解析】（I）由題意得，解得：，橢圓的標準方程為； （II）由，消去，得：， 即，動直線與橢圓相切于點，，即，焦點 到直線的距離分別為 ，， (III) 設(shè)直線與橢圓E相切于點P，則，∴ =-，∴ ，又聯(lián)立與，得到，,，，∴，∴以PN為直徑的圓恒過點. 5. 如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，A，B 是圓 O：與 x 軸的兩個交點（點 B 在點 A 右側(cè)），點 Q(-2，0)， x 軸上方的動點 P 使直線 PA，PQ，PB 的斜率存在且依次成等差數(shù)列． (I) 求證：動點 P 的橫坐標為定值； （II）設(shè)直線 PA，PB 與圓 O 的另一個交點分別為 S，T，求證：點 Q，S，T 三點共線． 因為，所以直線 QS 和直線 QT 的斜率相等，故點 S，T，Q 共線． 6. 已知中心在原點，對稱軸為坐標軸的橢圓的一個焦點在拋物線的準線上，且橢圓過點，直線與橢圓交于兩個不同點. （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）若直線的斜率為，且不過點，設(shè)直線，的斜率分別為，求證：為定值； （Ⅲ）若直線過點，為橢圓的另一個焦點，求面積的最大值． （Ⅲ）由（Ⅰ）知，.設(shè)，，過點的直線方程為.由