高中數(shù)學(xué)北師大版必修三教學(xué)案：第一章 章末小結(jié)與測評 Word版含答案

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1、2019年北師大版精品數(shù)學(xué)資料 1．抽樣方法 (1)用隨機(jī)數(shù)表法抽樣時，對個體所編號碼位數(shù)要相等，當(dāng)問題所給位數(shù)不等時，以位數(shù)較多的為準(zhǔn)，在位數(shù)較少的數(shù)前面添“0”，湊齊位數(shù)． (2)用系統(tǒng)抽樣法時，如果總體容量N能被樣本容量n整除，抽樣間隔為k＝；如果總體容量N不能被樣本容量n整除，先用簡單隨機(jī)抽樣剔除多余個體，抽樣間隔為k＝. (3)應(yīng)用三種抽樣方法時需要搞清楚它們的使用原則． ①當(dāng)總體容量較小，樣本容量也較小時，可采用抽簽法． ②當(dāng)總體容量較大，樣本容量較小時，可用隨機(jī)數(shù)表法． ③當(dāng)總體容量較大，樣本容量也較大時，可用系統(tǒng)抽樣法． ④當(dāng)總體由差異明顯的幾部分組

2、成時，常用分層抽樣． 2．用樣本估計總體 (1)用樣本頻率分布估計總體頻率分布時，通常要對給定的一組數(shù)據(jù)進(jìn)行列表、作圖處理，作頻率分布表與頻率分布直方圖時要注意其方法步驟． (2)莖葉圖刻畫數(shù)據(jù)有兩個優(yōu)點(diǎn)：一是所有信息都可以從圖中得到，二是便于記錄和表示.但數(shù)據(jù)較多時不方便． (3)平均數(shù)反映了樣本數(shù)據(jù)的平均水平，而標(biāo)準(zhǔn)差反映了樣本數(shù)據(jù)相對平均數(shù)的波動程度． 3．變量間的相關(guān)關(guān)系 除了函數(shù)關(guān)系這種確定性的關(guān)系外，還大量存在因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個變量之間的關(guān)系——相關(guān)關(guān)系，對于一元線性相關(guān)關(guān)系，通過建立線性回歸方程就可以根據(jù)其部分觀測值，獲得對這兩個變量之間的整體關(guān)系的了解

3、，主要是作出散點(diǎn)圖、寫出線性回歸方程． [典例1] 某工廠有1 003名工人，從中抽取10人參加體檢，試采用簡單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣進(jìn)行具體實施． [解]　(1)簡單隨機(jī)抽樣：①將每一個人編一個號由0001至1003. ②制作大小相同的號簽，并寫上號碼． ③放入一個大容器內(nèi)，均勻攪拌． ④依次抽取10個號簽． 具有這十個編號的人組成一個樣本． (2)系統(tǒng)抽樣： ①將每個人編一個號由0001至1003. ②利用隨機(jī)數(shù)表抽取3個號，將這3個人剔除． ③重新編號0001至1000. ④分段＝100，所以0001至0100為第一段． ⑤在第一段內(nèi)由簡單隨機(jī)抽樣方法抽得一

4、個號l. ⑥按編號將l,100＋l，…，900＋l，共10個號選出，這10個號所對應(yīng)的人組成樣本． [借題發(fā)揮]　1.當(dāng)總體容量N能被樣本容量n整除時，分段間隔k＝，利用系統(tǒng)抽樣的方法抽樣． 2．當(dāng)總體容量不能被樣本容量整除時，可先從總體中隨機(jī)剔除n個個體． 3．要注意三種抽樣方法的使用條件． [對點(diǎn)訓(xùn)練] 1．將參加夏令營的600名學(xué)生編號為：001,002，…，600.采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機(jī)抽得的號碼為003.這600名學(xué)生分住在三個營區(qū)，從001到300在第Ⅰ營區(qū)，從301到495在第Ⅱ營區(qū)，從496到600在第Ⅲ營區(qū)，三個營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為(　

5、　) A．26,16,8　　B．25,17,8 C．25,16,9 D．24,17,9 解析：選B 由題意知間隔為＝12，故抽到的號碼為12k＋3(k＝0,1，…，49)，列出不等式可解得：第Ⅰ營區(qū)抽25人，第Ⅱ營區(qū)抽17人，第Ⅲ營區(qū)抽8人． [典例2]　有一容量為200的樣本，數(shù)據(jù)的分組以及各組的頻數(shù)如下： [－20，－15)，7；[－15，－10)，11；[－10，－5)，15；[－5,0)，40； [0,5)，49；[5,10)，41；[10,15)，20；[15,20]，17. (1)列出樣本的頻率分布表； (2)畫出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖； (3

6、)求樣本數(shù)據(jù)不足0的頻率． [解]　(1)頻率分布表如下： 分組 頻數(shù) 頻率 [－20，－15) 7 0.035 [－15，－10) 11 0.055 [－10，－5) 15 0.075 [－5,0) 40 0.2 [0,5) 49 0.245 [5,10) 41 0.205 [10,15) 20 0.1 [15,20] 17 0.085 合計 200 1.00 (2)如圖是頻率分布直方圖和頻率分布折線圖： (3)樣本數(shù)據(jù)不足0的頻率為： 0．035＋0.055＋0.075＋0.2＝0.365. [借題發(fā)揮]　1.頻率分

7、布直方圖的繪制方法與步驟 (1)先制作頻率分布表，然后作直角坐標(biāo)系，橫軸表示總體，縱軸表示. (2)把橫軸分成若干段，每一段對應(yīng)一個組．以每個組距為底，以各頻率除以組距的商為高，分別畫成矩形．這樣得到的直方圖就是頻率分布直方圖． 2．頻率分布折線圖反映的是數(shù)據(jù)的變化趨勢，可用來對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計和預(yù)測． [對點(diǎn)訓(xùn)練] 2．從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高(單位：厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖所示)．由圖中數(shù)據(jù)可知a＝________.若要從身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在[1

8、40,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為________． 解析：∵0.005×10＋0.035×10＋a×10＋0.020×10＋0.010×10＝1，∴a＝0.030. 設(shè)身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三組的學(xué)生各有x，y，z人， 則＝0.030×10，解得x＝30.同理，y＝20，z＝10. 故從[140,150]中抽取的學(xué)生人數(shù)為×18＝3. 答案：0.030　3 3．某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽測了100根棉花纖維的長度(棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指

9、標(biāo))．所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[5,40]中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的100根中，有________根棉花纖維的長度小于20 mm. 解析：(0.04×5＋0.01×5＋0.01×5)×100＝30. 答案：30 [借題發(fā)揮]　在實際問題中，僅靠平均數(shù)不能完全反映問題，還要研究數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的離散程度(即方差或標(biāo)準(zhǔn)差)．標(biāo)準(zhǔn)差越大，說明數(shù)據(jù)的離散性越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，說明數(shù)據(jù)的離散性越小或數(shù)據(jù)越集中、穩(wěn)定． [對點(diǎn)訓(xùn)練] 4．甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，在培訓(xùn)期間他們參加5項預(yù)賽，成績記錄如下： 甲：78　76　74　

10、90　82 乙：90　70　75　85　80 (1)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)； (2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，從統(tǒng)計學(xué)的角度考慮，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適？說明理由． 解：(1)用莖葉圖表示如下： (2)甲＝80，乙＝80， 而s＝×[(78－80)2＋(76－80)2＋(74－80)2＋(90－80)2＋(82－80)2]＝32， s＝×[(90－80)2＋(70－80)2＋(75－80)2＋(85－80)2＋(80－80)2]＝50. ∵甲＝乙，s<s， ∴從統(tǒng)計學(xué)的角度考慮，選甲參加更合適. [典例4]　某個體服裝店經(jīng)營某種服裝

11、在某周內(nèi)獲純利y(元)與該周每天銷售這種服裝件數(shù)x之間有如下一組數(shù)據(jù)： x 3 4 5 6 7 8 9 y 66 69 73 81 89 90 91 已知：＝280，＝45 309，＝3 487. (1)求，； (2)求純利y與每天銷售件數(shù)x之間的線性回歸方程； (3)估計每天銷售10件這種服裝時純利潤為多少元？ [解]　(1)由已知得＝(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6， ＝(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)≈79.86. (2)設(shè)線性回歸方程為y＝bx＋a，則 b＝＝≈4.75， a＝－b ＝79.86－4.75×6

12、≈51.36. ∴所求線性回歸方程為y＝4.75x＋51.36. (3)當(dāng)x＝10時，y＝98.86，估計每天銷售這種服裝10件可獲純利98.86元． [借題發(fā)揮]　要對y與x進(jìn)行線性相關(guān)檢驗，只要畫出散點(diǎn)圖，看各數(shù)據(jù)是否集中在某一條直線附近即可，采用數(shù)形結(jié)合思想，若線性相關(guān)，則根據(jù)公式求出回歸方程． [對點(diǎn)訓(xùn)練] 5．煉鋼是一個氧化降碳的過程，鋼水含碳量的多少直接影響冶煉時間的長短，必須掌握鋼水含碳量和冶煉時間的關(guān)系．如果已測得爐料熔化完畢時，鋼水的含碳量x與冶煉時間y(從爐料熔化完畢到出鋼的時間)的一列數(shù)據(jù)如下表所示： x(0.01%) 104 180 190 177

13、 147 134 150 191 204 121 y(min) 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125 (1)作出散點(diǎn)圖，你能從中發(fā)現(xiàn)含碳量與冶煉時間的一般規(guī)律嗎？ (2)求回歸方程； (3)預(yù)測當(dāng)鋼水含碳量為160時，應(yīng)冶煉多少分鐘． 解：(1)用x表示含碳量，y表示冶煉時間，可作散點(diǎn)圖如下圖所示． 從上圖中可以看出，各點(diǎn)散布在一條直線附近，即它們線性相關(guān)． (2)列出下表，并用科學(xué)計算器進(jìn)行計算： i 1 2 3 4 5 xi 104 180 190 177 147 yi 1

14、00 200 210 185 155 xiyi 10 400 36 000 39 900 32 745 22 785 i 6 7 8 9 10 xi 134 150 191 204 121 yi 135 170 205 235 125 xiyi 18 090 25 500 39 155 47 940 15 125 ＝159.8，＝172；x＝265 448，xiyi＝287 640 設(shè)所求回歸方程為y＝bx＋a. b＝≈1.267， a＝－b≈－30.47. 即所求的回歸方程為y＝1.267x－30.47. (

15、3)當(dāng)x＝160時， y＝1.267×160－30.47≈172(min)， 即大約冶煉172 min. (時間：90分鐘　滿分：120分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．為了了解1 200名學(xué)生對學(xué)校某項教改試驗的意見，打算從中抽取一個容量為40的樣本，考慮用系統(tǒng)抽樣，則分段的間隔k為(　　) A．40　　　B．30 C．20 D．12 解析：選B 系統(tǒng)抽樣也叫間隔抽樣，抽多少個就分成多少組，總數(shù)÷組數(shù)＝間隔數(shù)，即k＝＝30. 2．某學(xué)校為了調(diào)查高一年級的20

16、0名學(xué)生完成課后作業(yè)所需時間，采取了兩種抽樣調(diào)查的方式：第一種由學(xué)生會的同學(xué)隨機(jī)抽取20名同學(xué)進(jìn)行抽查；第二種由教務(wù)處對該年級的學(xué)生進(jìn)行編號，從001到200，抽取學(xué)號最后一位為2的同學(xué)進(jìn)行調(diào)查．則這兩種抽樣的方法依次是(　　) A．分層抽樣，簡單隨機(jī)抽樣 B．簡單隨機(jī)抽樣，分層抽樣 C．分層抽樣，系統(tǒng)抽樣 D．簡單隨機(jī)抽樣，系統(tǒng)抽樣 解析：選D 由抽樣方法的概念知選D. 3．一個容量為80的樣本中數(shù)據(jù)的最大值是140，最小值是51，組距是10，則應(yīng)將樣本數(shù)據(jù)分為(　　) A．10組 B．9組 C．8組 D．7組 解析：選B 根據(jù)列頻率分布表的步驟，＝＝8.9

17、，所以分9組． 4．(陜西高考)某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1,2，…，840隨機(jī)編號，則抽取的42人中，編號落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 解析：選B 依據(jù)系統(tǒng)抽樣為等距抽樣的特點(diǎn)，分42組，每組20人，區(qū)間[481,720]包含25組到36組，每組抽1人，則抽到的人數(shù)為12. 5．某大學(xué)數(shù)學(xué)系共有本科生5 000人，其中一、二、三、四年級的人數(shù)比為4∶3∶2∶1，要用分層抽樣的方法從所有本科生中抽取一個容量為200的樣本，則應(yīng)抽取三年級的學(xué)生人數(shù)為(　　) A．80

18、 B．40 C．60 D．20 解析：：選B 應(yīng)抽取三年級的學(xué)生人數(shù)為200×＝40. 6．已知200輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如圖所示，時速在[60,70)的汽車輛數(shù)為(　　) A．8 B．80 C．65 D．70 解析：選B 時速在[60,70)的汽車頻率為0.04×10＝0.4，時速在[60,70)的汽車大約有200×0.4＝80(輛)． 7．已知回歸直線斜率的估計值為1.23，樣本點(diǎn)的中心為(4,5)，則回歸方程為(　　) A．y＝1.23x＋4 B．y＝1.23x＋5 C．y＝1.23

19、x＋0.08 D．y＝0.08x＋1.23 解析：選C 回歸直線的斜率就是b，則回歸方程為y＝1.23x＋a，將(4,5)代入方程得a＝0.08. 8．某班的數(shù)學(xué)考試成績的平均分為70分，方差為s2.后來發(fā)現(xiàn)成績記錄有誤，同學(xué)甲得80分卻誤記為50分，同學(xué)乙得70分卻誤記為100分，更正后計算得方差為s，則s2與s的大小關(guān)系是(　　) A．s2>s B．s2＝s C．s2<s D．無法判斷 解析：選 A 根據(jù)方差的計算公式，s2的算式中含有(50－70)2＋(100－70)2，s的算式中含有(80－70)2＋(70－70)2，而兩算式的其他部分完全相同

20、，故易知s2>s. 　9.甲、乙兩名同學(xué)在5次體育測試中的成績統(tǒng)計如圖的莖葉圖所示，若甲、乙兩人的平均成績分別是X甲，X乙，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．X甲<X乙；乙比甲成績穩(wěn)定 B．X甲>X乙；甲比乙成績穩(wěn)定 C．X甲>X乙；乙比甲成績穩(wěn)定 D．X甲<X乙；甲比乙成績穩(wěn)定 解析：選A ∵甲同學(xué)的成績?yōu)?8,77,72,86,92，乙同學(xué)的成績?yōu)?8,82,88,91,95， ∴X甲＝＝81， X乙＝＝86.8， ∴X甲<X乙． 從莖葉圖中數(shù)據(jù)的分布情況看，乙同學(xué)的成績更集中于平均數(shù)附近，這說明乙比甲成績穩(wěn)定． 10．在發(fā)生某

21、公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時間沒有發(fā)生規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”．根據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是(　　) A．甲地：總體平均值為3，中位數(shù)為4 B．乙地：總體平均值為1，總體方差大于0 C．丙地：中位數(shù)為2，眾數(shù)為3 D．丁地：總體平均值為2，總體方差為3 解析：選D 根據(jù)信息可知，連續(xù)10天內(nèi)，每天的新增疑似病例不能有超過7的數(shù)，選項A中，中位數(shù)為4，可能存在大于7的數(shù)；同理，在選項C中也有可能；選項B中的總體方差大于0，敘述不明確，如果數(shù)目太大，也有可能存在大于7的數(shù)；選項D中，根據(jù)方差

22、公式，如果有大于7的數(shù)存在，那么方差不會為3. 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填寫在題中的橫線上) 11．某社區(qū)對居民進(jìn)行2017天津全運(yùn)會知曉情況的分層抽樣調(diào)查．已知該社區(qū)的青年人、中年人和老年人分別有800人、1 600人、1 400人．若在老年人中的抽樣人數(shù)是70，則在中年人中的抽樣人數(shù)應(yīng)該是________． 解析：抽取的比例為k＝＝，故在中年人中應(yīng)該抽取的人數(shù)為1 600×＝80. 答案：80 12．對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x和Y，測得一組數(shù)據(jù)如下： x 2 4 5 6 8 Y 30 40 60 50 70 若已

23、求得它們的回歸方程的斜率為6.5，則這條直線的回歸方程為________． 解析：設(shè)回歸方程為y＝6.5x＋a. 由已知，＝×(2＋4＋5＋6＋8)＝5. ＝×(30＋40＋60＋50＋70)＝50. ∴a＝－6.5＝50－6.5×5＝17.5. ∴y＝6.5x＋17.5. 答案：y＝6.5x＋17.5 13．從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50至350度之間，頻率分布直方圖如圖所示． (1)直方圖中x的值為________； (2)在這些用戶中，用電量落在區(qū)間[100,250)內(nèi)的戶數(shù)為________． 解析：

24、(1)根據(jù)頻率和為1，得(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得x＝0.004 4； (2)(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50×100＝70. 答案：（1）0.004 4?。?）70 　14.甲、乙兩位同學(xué)某學(xué)科連續(xù)五次考試成績用莖葉圖表示，如圖所示，則平均數(shù)較高的是______，成績較為穩(wěn)定的是________． 解析：甲的平均分為＝＝70，乙的平均分為＝＝68；甲的方差為：s＝ ＝2，同理乙的方差為s＝7.2，故甲的平均分高于乙，甲的成績比乙穩(wěn)定． 答案：甲　甲

25、 三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(12分)某車間有189名職工，現(xiàn)要按1∶21的比例選質(zhì)量檢查員，采用系統(tǒng)抽樣的方式進(jìn)行，寫出抽樣過程． 解：以隨機(jī)方式對189名職工編號(比如可直接采用工資表上號碼編號)，設(shè)其分別為1,2,3…，189， 由已知樣本容量是總體個數(shù)的，故樣本容量為189×＝9(個)，將1,2,3，…，189編9段，每段21個號．如1～21為第一段，22～42為第二段，…，169～189為第九段，在第一段1～21個號碼中隨機(jī)抽樣產(chǎn)生一個號碼，如設(shè)為l，則l，l＋21，l＋42，…，l＋168就是所產(chǎn)生

26、的9個樣本號碼，對應(yīng)的就是質(zhì)量檢查員． 16．(12分)農(nóng)科院的專家為了了解新培育的甲、乙兩種麥苗的長勢情況，從甲、乙兩種麥苗的試驗田中各抽取6株麥苗測量麥苗的株高，數(shù)據(jù)如下：(單位：cm) 甲：9,10,11,12,10,20 乙：8,14,13,10,12,21. (1)繪出所抽取的甲、乙兩種麥苗株高的莖葉圖； (2)分別計算所抽取的甲、乙兩種麥苗株高的平均數(shù)與方差，并由此判斷甲、乙兩種麥苗的長勢情況． 解：(1)莖葉圖如圖所示： (2)甲＝＝12，乙＝＝13， s≈13.67，s≈16.67.因為甲<乙，所以乙種麥苗平均株高較高，又因為s<s，所以甲種麥苗

27、長的較為整齊． 17．(12分)為了了解中學(xué)生的身體發(fā)育情況，對某一中學(xué)同年齡的50名男生的身高進(jìn)行了測量，結(jié)果如下： [157,161)3人； [161,165)4人； [165,169)12人； [169,173)13人；[173,177)12人；[177,181]6人． (1)列出頻率分布表； (2)畫出頻率分布直方圖； (3)估計總體在[165,177)間的比例． 解：(1)列出頻率分布表： 分組 頻數(shù) 頻率 [157,161) 3 0.06 0.015 [161,165) 4 0.08 0.02 [165,169) 12 0.24 0.

28、06 [169,173) 13 0.26 0.065 [173,177) 12 0.24 0.06 [177,181] 6 0.12 0.03 合計 50 1.00 (2)畫出頻率分布直方圖如圖： (3)因0.24＋0.26＋0.24＝0.74， 所以總體在[165,177)間的比例為74%. 18．(14分)某學(xué)校高一(3)班甲、乙兩名同學(xué)的最近5次數(shù)學(xué)測驗成績(單位：分)統(tǒng)計如下： 甲 65 98 94 98 95 乙 62 98 99 100 71 (1)分別寫出甲、乙成績的平均數(shù)和中位數(shù)； (2)分別用平均數(shù)和中

29、位數(shù)分析甲、乙兩位同學(xué)中，哪位同學(xué)成績較好； (3)又知同班同學(xué)丙的最近5次數(shù)學(xué)測驗成績(單位：分)如下： 丙 80 90 86 99 95 分別從平均數(shù)、中位數(shù)和方差等方面分析甲與丙的成績誰好誰壞，并說明理由． 解：(1)平均分：甲＝×(65＋98＋94＋98＋95)＝90， 乙＝×(62＋98＋99＋100＋71)＝86. 甲的中位數(shù)是95，乙的中位數(shù)是98. (2)從平均分看，甲的平均分高，甲的成績較好；從中位數(shù)看，乙的中位數(shù)大，乙的成績較好． (3)丙＝×(80＋90＋86＋99＋95)＝90，丙的中位數(shù)為90. s＝×[(80－90)2＋(90－90)2＋(86－90)2＋(99－90)2＋(95－90)2]＝44.4； s＝×[(65－90)2＋(98－90)2＋(94－90)2＋(98－90)2＋(95－90)2]＝158.8. 由于兩人的平均分相同，所以從平均分看，甲、丙成績同樣好；從中位數(shù)看，甲的中位數(shù)高，甲的成績好；從方差看，丙的方差小，丙的成績較穩(wěn)定，所以丙的成績好．