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1、
人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料
1.3.2 球的體積和表面積
【課時目標(biāo)】 1．了解球的體積和表面積公式．2．會用球的體積和表面積公式解決實(shí)際問題．3．培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和思維能力．
1．球的表面積
設(shè)球的半徑為R,則球的表面積S＝________,即球的表面積等于它的大圓面積的________倍．
2．球的體積
設(shè)球的半徑為R,則球的體積V＝________．
一、選擇題
1．一個正方體與一個球表面積相等,那么它們的體積比是( )
A． B．
C． D．
2．把球的表面
2、積擴(kuò)大到原來的2倍,那么體積擴(kuò)大到原來的( )
A．2倍 B．2倍
C．倍 D．倍
3．正方體的內(nèi)切球和外接球的體積之比為( )
A．1∶ B．1∶3
C．1∶3 D．1∶9
4．若三個球的表面積之比為1∶2∶3,則它們的體積之比為( )
A．1∶2∶3 B．1∶∶
C．1∶2∶3 D．1∶4∶7
5．長方體的一個頂點(diǎn)上的三條棱長分別為3,4,5,且它的8個頂點(diǎn)都在同一個球面上,則這個球的表面積為( )
A．2
3、5π B．50π
C．125π D．以上都不對
6．一個圓錐與一個球的體積相等,圓錐的底面半徑是球半徑的3倍,圓錐的高與球半徑之比為( )
A．4∶9 B．9∶4
C．4∶27 D．27∶4
二、填空題
7．毛澤東在《送瘟神》中寫到：“坐地日行八萬里”．又知地球的體積大約是火星的8倍,則火星的大圓周長約________萬里．
8．將一鋼球放入底面半徑為3 cm的圓柱形玻璃容器中,水面升高4 cm,則鋼球的半徑是________．
9．(1)表面積相等的正方體和
4、球中,體積較大的幾何體是________；
(2)體積相等的正方體和球中,表面積較小的幾何體是________．
三、解答題
10．如圖所示,一個圓錐形的空杯子上放著一個直徑為8 cm的半球形的冰淇淋,請你設(shè)計(jì)一種這樣的圓錐形杯子(杯口直徑等于半球形的冰淇淋的直徑,杯子壁厚忽略不計(jì)),使冰淇淋融化后不會溢出杯子,怎樣設(shè)計(jì)最省材料？
11．有一個倒圓錐形容器,它的軸截面是一個正三角形,在容器內(nèi)放一個半徑為r的鐵球,并注入水,使水面與球正好相切,然后將球取出,求這時容器中水的深度．
能力提升
12．
5、已知棱長都相等的正三棱錐內(nèi)接于一個球,某學(xué)生畫出了四個過球心的平面截球與三棱錐所得的圖形,如圖所示,則( )
A．以上四個圖形都是正確的
B．只有(2)(4)是正確的
C．只有(4)是錯誤的
D．只有(1)(2)是正確的
13．有三個球,第一個球內(nèi)切于正方體,第二個球與這個正方體各條棱相切,第三個球過這個正方體的各個頂點(diǎn),求這三個球的表面積之比．
1．利用球的半徑、球心到截面圓的距離、截面圓的半徑可構(gòu)成直角三角形,進(jìn)行相關(guān)計(jì)算．
2．解決球與其他幾何體的切接問題,通常作截面,將球與幾何體的各量體現(xiàn)在平面圖形
6、中,再進(jìn)行相關(guān)計(jì)算．
3．解答組合體問題要注意知識的橫向聯(lián)系,善于把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,運(yùn)用方程思想與函數(shù)思想解決,融計(jì)算、推理、想象于一體．
1．3．2 球的體積和表面積 答案
知識梳理
1．4πR2 4 2．πR3
作業(yè)設(shè)計(jì)
1．A [先由面積相等得到棱長a和半徑r的關(guān)系a＝r,再由體積公式求得體積比為．]
2．B [由面積擴(kuò)大的倍數(shù)可知半徑擴(kuò)大為原來的倍,則體積擴(kuò)大到原來的2倍．]
3．C [關(guān)鍵要清楚正方體內(nèi)切球的直徑等于棱長a,外接球的直徑等于a．]
4．C [由表面積之比得到半徑之比為r1∶r2∶r3＝1∶∶,從而得體積之比為V1∶V2∶
7、V3＝1∶2∶3．]
5．B [外接球的直徑2R＝長方體的體對角線＝(a、b、c分別是長、寬、高)．]
6．A [設(shè)球半徑為r,圓錐的高為h,則π(3r)2h＝πr3,可得h∶r＝4∶9．]
7．4
解析 地球和火星的體積比可知地球半徑為火星半徑的2倍,日行8萬里指地球大圓的周長,即2πR地球＝8,故R地球＝(萬里),所以火星的半徑為萬里,其大圓的周長為4萬里．
8．3 cm
解析 設(shè)球的半徑為r,則36π＝πr3,可得r＝3 cm．
9．(1)球 (2)球
解析 設(shè)正方體的棱長為a,球的半徑為r．
(1)當(dāng)6a2＝4πr2時,V球＝πr3＝a3>a3＝V正方體；
(2)當(dāng)
8、a3＝πr3時,S球＝4πr2＝6a2<6a2＝S正方體．
10．解 要使冰淇淋融化后不會溢出杯子,則必須
V圓錐≥V半球,V半球＝πr3＝π43,
V圓錐＝Sh＝πr2h＝π42h．
依題意：π42h≥π43,解得h≥8．
即當(dāng)圓錐形杯子杯口直徑為8 cm,高大于或等于8 cm時,冰淇淋融化后不會溢出杯子．
又因?yàn)镾圓錐側(cè)＝πrl＝πr,
當(dāng)圓錐高取最小值8時,S圓錐側(cè)最小,所以高為8 cm時,
制造的杯子最省材料．
11．解 由題意知,圓錐的軸截面為正三角形,如圖所示為圓錐的軸截面．
根據(jù)切線性質(zhì)知,當(dāng)球在容器內(nèi)時,水深為3r,水面的半徑為r,則容器內(nèi)水的體積為V＝
9、V圓錐－V球＝π(r)23r－πr3＝πr3,而將球取出后,設(shè)容器內(nèi)水的深度為h,則水面圓的半徑為h,從而容器內(nèi)水的體積是V′＝π(h)2h＝πh3,由V＝V′,得h＝r．
即容器中水的深度為r．
12．C [正四面體的任何一個面都不能外接于球的大圓(過球心的截面圓)．]
13．解 設(shè)正方體的棱長為a．如圖所示．
①正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心,切點(diǎn)是正方體六個面的中心,經(jīng)過四個切點(diǎn)及球心作截面,所以有2r1＝a,r1＝,所以S1＝4πr＝πa2．
②球與正方體的各棱的切點(diǎn)在每條棱的中點(diǎn),過球心作正方體的對角面得截面,2r2＝a,r2＝a,所以S2＝4πr＝2πa2．
③正方體的各個頂點(diǎn)在球面上,過球心作正方體的對角面得截面,所以有2r3＝a,
r3＝a,所以S3＝4πr＝3πa2．
綜上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3．
高中數(shù)學(xué)人教A版必修二第1章 1.3.2 課時作業(yè)含答案
