高中數(shù)學(xué)人教A版必修四教學(xué)案：第二章 章末小結(jié)與測(cè)評(píng) 含答案

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1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料 1平面向量的線性運(yùn)算及運(yùn)算律 (1)向量加法是由三角形法則定義的,要點(diǎn)是“首尾相連”,即 向量加法的平行四邊形法則：將兩向量移至共起點(diǎn),分別為鄰邊作平行四邊形,則同起點(diǎn)對(duì)角線的向量即為向量的和 加法滿足交換律、結(jié)合律 (2)向量減法實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算,是相反向量的作用 幾何意義有兩個(gè)：一是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn),被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量；二是加法的平行四邊形法則的另外一條對(duì)角線的向量注意兩向量要移至共起點(diǎn) (3)數(shù)乘運(yùn)算即通過(guò)實(shí)數(shù)與向量的乘積,實(shí)現(xiàn)同向或反向上向量長(zhǎng)度的伸縮變換 2向量共線及平面向量基本定理 (1)共線向量定理：向量 a(a0)與 b 共線,

2、當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù) ,使得 ba. 共線向量定理是證明平行的主要依據(jù),也是解決三點(diǎn)共線問(wèn)題的重要方法 特別地,平面內(nèi)一點(diǎn) P 位于直線 AB 上的條件是存在實(shí)數(shù) x,使,或?qū)χ本€外任意一點(diǎn) O,有 (2)平面向量基本定理：如果向量 e1,e2不共線,那么對(duì)于平面內(nèi)的任一向量 a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 1,2,使 a1e12e2.其中 e1,e2是平面的一組基底,e1,e2分別稱為基向量 由定理可知,平面內(nèi)任一向量都可以用兩個(gè)不共線的向量表示出來(lái),而且任意兩個(gè)不共線的非零向量都可以作為基底 典例 1 如圖,梯形 ABCD 中,ABCD,點(diǎn) M、 N 分別是 DA、 BC 的中點(diǎn),且DCABk,設(shè)

3、e1,e2,以 e1、e2為基底表示向量、 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (3)確定點(diǎn) P 在邊 BC 上的位置 所以113，121，解得45，35. 所以mn51，m2n5，解得m23，n53. 即BPPC2,P 是邊 BC 上靠近 C 的三等分點(diǎn). 若 a(a1,a2),b(b1,b2),則 ab(a1b1,a2b2)； ab(a1b1,a2b2)； a(a1,a2)； a ba1b1a2b2； aba1b1,a2b2(R),或a1b1a2b2(b10,b20)； aba1b1a2b20； |a| a a a21a22； 若為 a 與 b 的夾角,則 cos a b|a|b|a1b1a2b2a21a22b21

4、b22 . 典例 2 (1)已知點(diǎn) A(1,3),B(4,1),則與向量同方向的單位向量為( ) A.35，45 B.45，35 C.35，45 D.45，35 (2)已知向量 a(1,m),b(m,2), 若 ab, 則實(shí)數(shù) m 等于( ) A 2 B. 2 C 2或 2 D0 (3)已知點(diǎn) A(1,1)、 B(1,2)、 C(2,1)、 D(3,4),則向量在方向上的投影為( ) A.3 22 B.3 152 C3 22 D3 152 解析：(1)由已知,得(3,4), 所以|5, 因此與同方向的單位向量是1535，45. (2)ab 的充要條件的坐標(biāo)表示為 12m20,m 2,選 C.

5、(3) (2,1),(5,5),向量(2,1)在(5,5)上的投影為|cos,| 答案：(1)A (2)C (3)A 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 2(1)若 A(3,6),B(5,2),C(6,y)三點(diǎn)共線,則 y( ) A13 B13 C9 D9 (2)已知向量 a(1,2),b(2,4),|c| 5,若(cb) a152,則 a 與 c 的夾角為( ) A30 B60 C120 D150 解析：(1) (8,8),(3,y6) ,8(y6)240.y9. (2)a b10, 則(cb) ac ab ac a10152, 所以 c a52, 設(shè) a 與 c 的夾角為 , 則 cos a c|a| |c|525

6、 512,又 0,180, 所以 120. 答案：(1)D (2)C 1兩向量的數(shù)量積及其運(yùn)算律 兩個(gè)向量的數(shù)量積是 a b|a|b|cos ,為 a 與 b 的夾角,數(shù)量積滿足運(yùn)算律： 與數(shù)乘的結(jié)合律,即(a) b(a b)； 交換律,即 a bb a； 分配律,即(ab) ca cb c. 2平面向量的數(shù)量積是向量的核心內(nèi)容,向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置關(guān)系,而向量的夾角、長(zhǎng)度是向量的數(shù)量特征 3利用向量的數(shù)量積可以證明兩向量垂直、平行,求兩向量的夾角,計(jì)算向量的長(zhǎng)度等 典例3 已知cmanb,c(2 3,2),ac,b與c的夾角為23,b c4,|a|2 2,求實(shí)數(shù) m,

7、n 的值及 a 與 b 的夾角 . 解：c(2 3,2),|c|4. ac,a c0. b c|b|c|cos 23|b|4124, |b|2. cmanb,c2ma cnb c. 16n(4)n4. 在 cmanb 兩邊同乘以 a, 得 08m4a b. 在 cmanb 兩邊同乘以 b,得 ma b12. 由,得 m 6. a b 2 6.cos 2 62 2232. 6或56. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 3.如圖,在ABC中,O為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若AM2,則的最小值是_ 答案：2 (時(shí)間：120 分鐘 滿分：150 分) 一、選擇題(本大題共 12 小題,每小題 5 分,共 60 分,在每小題給出的

8、四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1在五邊形 ABCDE 中(如圖),( ) 解析：選 B . 2已知平面向量 a(1,2),b(2,m),且 ab,則 2a3b( ) A(5,10) B(4,8) C(3,6) D(2,4) 解析：選 B ab,21m2,m4, b(2,4), 2a3b2(1,2)3(2,4)(4,8) 3已知平面向量 a(1,3),b(4,2),若 ab 與 a 垂直,則 的值是( ) A1 B1 C2 D2 解析：選 A 由題意可知(ab) aa2b a0. |a| 10,a b14(3)(2)10, 10100,1. 4若|a| 2,|b|2,且(ab)a,則

9、a 與 b 的夾角是( ) A.6 B.4 C.3 D.2 解析：選 B 由于(ab)a,所以(ab) a0,即|a|2a b0,所以 a b|a|22,所以 cosa,ba b|a|b|22 222,即 a 與 b 的夾角是4. A.12 B12 C.32 D32 6已知向量滿足：|a|2,|b|3,|ab|4,則|ab|( ) A. 6 B. 7 C. 10 D. 11 解析：選 C 由題意|ab|2a2b22a b16, a b32. |ab|2a2b22a b10, |ab| 10. A內(nèi)心 B外心 C垂心 D重心 P 是ABC 的垂心 8平面向量 a(x,3),b(2,1),c(1,

10、y),若 a(bc),b(ac),則 b 與 c 的夾角為( ) A0 B.4 C.2 D.34 解析：選 C 由題意知 bc(3,1y),ac(x1,y3), 依題意得3x3（1y）0，x12（y3）0， 解得x1，y2，c(1,2), 而 b c21120, bc. 9 已知 AD,BE 分別為ABC 的邊 BC,AC 上的中線,設(shè)a,b,則等于( ) A.43a23b B.23a43b C.23a43b D23a43b A.0，3 B.3，56 C.2，23 D.23，56 11已知 a(1, 3),ab,ab,若AOB 是以 O 為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,則AOB 的面積是( ) A

11、. 3 B2 C2 2 D4 解析：選 D 由題意|且, 所以(ab)2(ab)2且(ab) (ab)0, 所以 a b0,且 a2b2, 所以|a|b|2, 所以 SAOB12| |12（ab）2（ab）212 （a2b2）24. 12已知向量 m(a,b),n(c,d),p(x,y),定義新運(yùn)算 mn(acbd,adbc),其中等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算如果對(duì)于任意向量 m 都有 mpm 成立,則向量 p 為( ) A(1,0) B(1,0) C(0,1) D(0,1) 解析：選 A 因?yàn)?mpm, 即(a,b)(x,y)(axby,aybx)(a,b), 所以axbya，aybxb，

12、 即a（x1）by0，ayb（x1）0. 由于對(duì)任意 m(a,b), 都有(a,b)(x,y)(a,b)成立 所以x10，y0，解得x1，y0. 所以 p(1,0)故選 A. 二、填空題(本大題共 4 小題,每小題 5 分,共 20 分) 13已知向量 a(2x3,2x),b(3x,2x)(xR)則|ab|的取值范圍為_(kāi) 解析：因?yàn)?ab(x,x2), 所以|ab|x2（x2）2 2x24x4 2（x1）22 2, 所以|ab| 2,) 答案： 2,) 14設(shè) e1,e2為兩個(gè)不共線的向量,若 ae1e2與 b(2e13e2)共線,則實(shí)數(shù) 等于_ 解析：因?yàn)?a,b 共線, 所以由向量共線定理

13、知,存在實(shí)數(shù) k,使得 akb, 即 e1e2k(2e13e2)2ke13ke2 又因?yàn)?e1,e2不共線, 所以12k，3k，解得 32. 答案：32 15 在邊長(zhǎng)為 2 的菱形 ABCD 中,BAD60 ,E 為 CD 的中點(diǎn),則_ 解析：以 A 為原點(diǎn),AB 所在的直線為 x 軸,過(guò) A 且垂直于 AB 的直線為 y 軸建立平面直角坐標(biāo)系 則由 A(0,0),B(2,0),E(2, 3),D(1, 3,可得1. 答案：1 答案：1,4 三、解答題(本大題共 6 小題,共 70 分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟) 17(10 分)已知平面向量 a(1,x),b(2x3,x),xR

14、. (1)若 ab,求 x 的值； (2)若 ab,求|ab|. 解：(1)若 ab,則 a b(1,x) (2x3,x) 1(2x3)x(x)0. 整理得 x22x30,解得 x1 或 x3. (2)若 ab,則有 1(x)x(2x3)0, 即 x(2x4)0,解得 x0 或 x2. 當(dāng) x0 時(shí),a(1,0),b(3,0), ab(2,0),|ab|2； 當(dāng) x2 時(shí),a(1,2),b(1,2), ab(2,4),|ab| 4162 5. 綜上所述,|ab|為 2 或 2 5. 18(12 分)設(shè)向量 a(cos ,sin )(02),b12，32,且 a 與 b 不共線 (1)求證：(a

15、b)(ab)； (2)若向量 3ab 與 a 3b 的模相等,求角 . 解：(1)證明：由題意,得 abcos 12，sin 32, abcos 12，sin 32, 因?yàn)?ab) (ab)cos214sin234110,所以(ab)(ab) (2)因?yàn)橄蛄?3ab 與 a 3b 的模相等, 所以( 3ab)2(a 3b)2, 所以|a|2|b|22 3a b0,因?yàn)閨a|1,|b|1223221, 所以|a|2|b|2,所以 a b0, 所以12cos 32sin 0, 所以 tan 33, 又因?yàn)?02, 所以 6或 76. 19 (12 分)如圖,平行四邊形 ABCD 中,a,b,H,M

16、 是 AD,DC 的中點(diǎn),BF13BC, (1)以 a,b 為基底表示向量 (2)若|a|3,|b|4,a 與 b 的夾角為 120,求 解：(1)M 為 DC 的中點(diǎn), (2)由已知得 a b34cos 1206, 12a21112a b16b2 12321112(6)1642 113. 20(12 分)在邊長(zhǎng)為 1 的正ABC 中,AD 與 BE 相交于點(diǎn) F. 解：(1)由題意,D 為 BC 邊的中點(diǎn),而ABC 是正三角形,所以 ADBC, 12(ab)23ba 13b212a216a b 131216111214. 根據(jù)平面向量的基本定理有22（1），2（1）23， 解得4. 21(1

17、2 分)在平面直角坐標(biāo)系中,O 為坐標(biāo)原點(diǎn),已知向量 a(1,2),又點(diǎn)A(8,0),B(n,t),C(ksin ,t)02. t2ksin 16. tsin (2ksin 16)sin 2ksin 4k232k, k4,14k0, 當(dāng) sin 4k時(shí),tsin 取最大值為32k. 由32k4,得 k8,此時(shí) 6,(4,8), (8,0) (4,8)32. 22 (12分 ) 已 知e1,e2是 平 面 內(nèi) 兩 個(gè) 不 共 線 的 非 零 向量,且 A,E,C 三點(diǎn)共線 (1)求實(shí)數(shù) 的值； (2)若 e1(2,1),e2(2,2),求的坐標(biāo)； (3)已知D(3,5),在(2)的條件下,若A,B,C,D四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形,求點(diǎn)A的坐標(biāo) 解：(1) (2e1e2)(e1e2)e1(1)e2. A,E,C 三點(diǎn)共線, 存在實(shí)數(shù)k,使得,即e1(1)e2k(2e1e2),得(12k)e1(k1)e2. e1,e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量, 12k0，k1，解得 k12,32. (2) 3e112e2(6,3)(1,1)(7,2) (3)A,B,C,D 四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形, 即點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(10,7)