【人教A版】高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形章末過關(guān)檢測卷 新人教A版必修5

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1、 起 章末過關(guān)檢測卷(一) 第一章　解三角形 (測試時(shí)間：120分鐘　評價(jià)分值：150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．已知三角形的邊長分別為3、6、3，則它的最大內(nèi)角的度數(shù)是(　　) A．90　　　　　　　　B．120　　　　　　 C．135　　　　　　　　D．150 解析：由大邊對大角得： cos θ＝＝－?θ＝. 答案：C 2．(2014廣州綜合測試)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若C＝2B，則為(　　) A．2sin C B．2cos B C．2sin

2、B D．2cos C 解析：由于C＝2B，故sin C＝sin 2B＝2sin Bcos B， 所以＝2cos B，由正弦定理可得＝＝2cos B，故選B. 答案：B 3．在△ABC中，已知a＝，b＝2，B＝45，則角A＝(　　) A．30或150 B．60或120 C．60 D．30 解析：由正弦定理＝得，sin A＝sin B＝sin 45＝，又因?yàn)閎>a，故A＝30. 答案：D 4．(2014昆明一模)已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，則△ABC的面積等于(　　) A. B. C. D. 解析：由

3、正弦定理得sin B＝2sin Acos B，故tan B＝2sin A＝2sin ＝，又B∈(0，π)，所以B＝，則△ABC是正三角形，所以S△ABC＝bcsin A＝. 答案：B 5．在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對邊長，若<0，則△ABC(　　) A．一定是銳角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是鈍角三角形 D．是銳角或鈍角三角形 解析：由已知及余弦定理得cos C<0，C是鈍角，故選C. 答案：C 6．在200 m高的山頂上，測得山下一塔頂和塔底的俯角分別為45和60，則塔高為(　　) A. m B. m C. m D. m A

4、7．已知銳角三角形ABC的面積為3，BC＝4，CA＝3，則角C的大小為(　　) A．75 B．60 C．45 D．30 解析：由S△ABC＝BCCAsin∠ACB＝3，得sin∠ACB＝，而△ABC為銳角三角形， 所以∠ACB＝. 答案：B 8.某觀察站C與兩燈塔A、B的距離分別為300 m和500 m，測得燈塔A在觀察站C北偏東30，燈塔B在觀察站C南偏東30處，則兩燈塔A、B間的距離為(　　) A．400 m B．500 m C．700 m D．800 m C 9．在△ABC中，a＋b＋10c＝2(sin A＋sin B＋10sin C)，A＝60，則a＝(

5、　　) A. B．2 C．4 D．不確定 解析：由已知及正弦定理得＝2，a＝2sin A＝2sin 60＝，故選A. 答案：A 10．(2014新課標(biāo)全國卷Ⅱ)鈍角三角形ABC的面積是，AB＝1，BC＝，則AC＝(　　) A．5 B. C．2 D．1． 解析：由面積公式得：sin B＝，解得sin B＝，所以B＝45或B＝135，當(dāng)B＝45時(shí)，由余弦定理得：AC2＝1＋2－2cos 45＝1，所以AC＝1，又因?yàn)锳B＝1，BC＝，所以此時(shí)△ABC為等腰直角三角形，不合題意，舍去；所以B＝135，由余弦定理得：AC2＝1＋2－2cos 135＝5，所以AC＝，故選B.

6、答案：B 11．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A＝，B＝，a＝3，則c的值為(　　) A．3 B. C．3 D．6 A 12．在銳角△ABC中，AB＝3，AC＝4，其面積S△ABC＝3，則BC＝(　　) A．5 B.或 C. D. D 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上) 13．在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，則BC＝________． 解析：設(shè)BC＝x，則()2＝x2＋52－25xcos C＝x2－9x＋25，即x2－9x＋20＝0.∴x＝4或x＝5. 經(jīng)檢驗(yàn)x＝4或x＝5符

7、合題意．∴BC＝4或5. 答案：4或5 14.已知a、b、c是△ABC中角A、B、C所對的邊，S是△ABC的面積，若a＝4，b＝5，S＝5，則c的長度為________． 或 15．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a＝1，b＝，c＝，則B＝________． 解析：由余弦定理得： cos B＝＝ ＝－＝－，所以B＝. 答案： 16．(2014新課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，則△ABC面積的最大值為________． 解析：由a＝2，且(2＋

8、b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，故(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，又根據(jù)正弦定理，得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，化簡得，b2＋c2－a2＝bc，故cos A＝＝，所以A＝60， 又a2＝4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤4，故S△BAC＝bcsin A≤. 答案： 三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分12分)在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且cos A＝，若b＝2，△ABC的面積為3，求tan C. 解析：由cos A＝＞0，知

9、sin A＝， △ABC的面積為S＝bcsin A＝3，得c＝5， 由正弦定理得：＝， sin B＝sin (A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C， 所以5＝2sin C，得 2sin C＝－3cos C，所以tan C＝－. 18．(本小題滿分12分)在△ABC中，已知2a＝b＋c，sin2A＝sin Bsin C，試判斷△ABC的形狀．． 解析：由正弦定理得，a2＝bc，又2a＝b＋c， ∴4a2＝(b＋c)2， ∴4bc＝(b＋c)2，即(b－c)2＝0，∴b＝c， 又2a＝b＋c得2a＝2b，∴a＝b，即a＝b＝c. ∴△ABC為等邊三角形． 1

10、9.(本小題滿分12分)已知△ABC的面積為10 cm2，a＋b＝13，C為60，求這個(gè)三角形的各邊長． 解析：S＝absin C，∴10＝absin 60， 即ab＝40， ∵a＋b＝13，∴a＝5，b＝8或a＝8，b＝5， ∴c2＝a2＋b2－2abcos C＝49，∴c＝7. 故三角形三邊長為a＝5 cm，b＝8 cm，c＝7 cm或a＝8 cm，b＝5 cm，c＝7 cm. 20．(本小題滿分12分)如圖，甲船在A處、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B處，乙船以每小時(shí)10海里的速度向正北方向行駛，而甲船同時(shí)以每小時(shí)8海里的速度由A處向南偏西60方向行駛，問經(jīng)過多少小時(shí)后，

11、甲、乙兩船相距最近？ 解析：如圖，設(shè)經(jīng)過x小時(shí)后，甲船和乙船分別到達(dá)C、D兩點(diǎn)． 則AC＝8x，AD＝AB－BD＝20－10x ∴CD2＝AC2＋AD2－2ACADcos 60 ＝(8x)2＋(20－10x)2－16x(20－10x) ＝244x2－560x＋400 ＝244＋. ∵當(dāng)CD2取得最小值時(shí)，CD取得最小值． ∴當(dāng)x＝時(shí)，CD取得最小值． 因此經(jīng)過小時(shí)甲、乙兩船相距最近． 21.(本小題滿分12分)(2014北京卷)如圖，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，點(diǎn)D在BC邊上，且CD＝2，cos∠ADC＝. (1)求sin∠BAD； (2)求BD，AC的長．

12、 分析：(1)由條件，根據(jù)sin2α＋cos2α＝1，求sin∠ADC，再由兩個(gè)角的差的正弦公式求sin∠BAD； (2)根據(jù)正弦定理求出BD，再由余弦定理求AC. 解析：(1)在△ADC中，因?yàn)閏os∠ADC＝，所以sin∠ADC＝，所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcos∠B－cos∠ADCsin∠B＝－＝. (2)在△ABD中，由正弦定理得 BD＝＝＝3， 在△ABC中由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos B＝82＋52－285＝49， 所以AC＝7. 22．(本小題滿分10分)(2014湖南卷)如圖，在平面四邊形ABCD中，

13、AD＝1，CD＝2，AC＝. (1)cos∠CAD的值； (2)若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的長． 分析：(1)題目已知三角形ACD的三條邊，利用∠CAD的余弦定理即可得到該角的余弦值．(2)利用(1)問得到的∠CAD的余弦結(jié)合正余弦之間的關(guān)系即可求得該角的正弦值，再利用正余弦之間的關(guān)系即可得到∠BAD，而∠CAD與∠BAD之差即為∠BAC，則利用正弦的和差角公式即可得到角∠BAC的正弦值，再利用三角形ABC的正弦定理即可求的BC邊長． 解析：(1)由△DAC關(guān)于∠CAD的余弦定理可得 cos∠CAD＝＝＝，所以cos∠CAD＝. (2)因?yàn)椤螧AD為四邊形內(nèi)角，所以sin∠BAD＞0且sin∠CAD＞0，則由正余弦的關(guān)系可得 sin∠BAD＝＝， sin∠CAD＝＝， 再由正弦的和差角公式可得 sin∠BAC＝sin(∠BAD－∠CAD) ＝sin∠BADcos∠CAD－sin∠CADcos∠BAD ＝－ ＝＋＝， 再由△ABC的正弦定理可得 ＝?BC＝＝3.