與名師對話高三數(shù)學文一輪復習課時跟蹤訓練：第三章 導數(shù)及其應用 課時跟蹤訓練14 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 課時跟蹤訓練(十四) [基礎鞏固] 一、選擇題 1.(20xx·四川名校聯(lián)考一模)已知函數(shù)f(x)圖象如圖，f′(x)是f(x)的導函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是(　　) A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2) C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3) [解析]　如下

2、圖： f′(3)、f(3)－f(2)、f′(2)分別表示了直線n，m，l的斜率，故0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)，故選C. [答案]　C 2．(20xx·河南三門峽一模)若曲線y＝x4的一條切線l與直線x＋2y－8＝0平行，則l的方程為(　　) A．8x＋16y＋3＝0 B．8x－16y＋3＝0 C．16x＋8y＋3＝0 D．16x－8y＋3＝0 [解析]　由y＝x4，得y′＝4x3， 設切點坐標為(x0，y0)， 則y′|x＝x0＝4x， ∵切線l與直線x＋2y－8＝0平行， ∴4x＝－，解得x0＝－. ∴y0＝x＝，

3、∴直線l的方程為y－＝－，即8x＋16y＋3＝0.故選A. [答案]　A 3．在曲線y＝x2上切線傾斜角為的點是(　　) A．(0,0) B．(2,4) C. D． [解析]　∵y′＝2x，設切點為(a，a2)， ∴y′＝2a，即切線的斜率為2a，∴2a＝tan45°＝1. 解得a＝，∴在曲線y＝x2上切線傾斜角為的點是.故選D. [答案]　D 4．函數(shù)f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的導數(shù)為(　　) A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2) C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2) [解析]　f(x)＝(x＋2a)(x2－2ax＋a2)＝x3－3a2x

4、＋2a3，∴f′(x)＝3x2－3a2，選C. [答案]　C 5．(20xx·合肥模擬)已知直線y＝kx＋1與曲線y＝x3＋mx＋n相切于點A(1,3)，則n＝(　　) A．－1 B．1 C．3 D．4 [解析]　對于y＝x3＋mx＋n，y′＝3x2＋m，∴k＝3＋m，又k＋1＝3,1＋m＋n＝3，可解得n＝3. [答案]　C 6．已知f(x)＝ax4＋bcosx＋7x－2.若f′(20xx)＝6，則f′(－20xx)為(　　) A．－6 B．－8 C．6 D．8 [解析]　∵f′(x)＝4ax3－bsinx＋7. ∴f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x

5、)＋7 ＝－4ax3＋bsinx＋7. ∴f′(x)＋f′(－x)＝14. 又f′(20xx)＝6， ∴f′(－20xx)＝14－6＝8，故選D. [答案]　D 二、填空題 7．已知函數(shù)f(x)＝3x＋sin2x，則f′＝__________. [解析]　f(x)＝3x＋2sinxcosx， ∴f′(x)＝3＋2cos2x－2sin2x， ∴f′＝3. [答案]　3 8．若f(x)＝x2－2x－4lnx，則f′(x)>0的解集為________． [解析]　f(x)的定義域為(0，＋∞)， 又由f′(x)＝2x－2－＝>0， 解得x>2， 所以

6、f′(x)>0的解集為(2，＋∞)． [答案]　(2，＋∞) 9．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)圖象上任意一點處的切線的斜率都小于1，則實數(shù)a的取值范圍是________． [解析]　由題意得f′(x)＝－3x2＋2ax， 當x＝時，f′(x)取到最大值. ∴<1，解得－<a<. [答案]?。?lt;a< 三、解答題 10．設函數(shù)f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)證明：曲線f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形

7、面積為定值，并求此定值． [解]　(1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3. 當x＝2時，y＝.又f′(x)＝a＋， 于是解得故f(x)＝x－. (2)證明：設P(x0，y0)為曲線上任一點，由y′＝1＋知曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(x－x0)， 即y－＝(x－x0)． 令x＝0，得y＝－， 從而得切線與直線x＝0的交點坐標為. 令y＝x，得y＝x＝2x0， 從而得切線與直線y＝x的交點坐標為(2x0,2x0)． 所以點P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為S＝|2x0|＝6. 故曲線y＝f(x)上任一點的切線與直線

8、x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為定值，且此定值為6.  [能力提升] 11．(20xx·四川成都模擬)曲線y＝xsinx在點P(π，0)處的切線方程是(　　) A．y＝－πx＋π2 B．y＝πx＋π2 C．y＝－πx－π2 D．y＝πx－π2 [解析]　因為y＝f(x)＝xsinx，所以f′(x)＝sinx＋xcosx，在點P(π，0)處的切線斜率為k＝sinπ＋πcosπ＝－π，所以曲線y＝xsinx在點P(π，0)處的切線方程是y＝－π(x－π)＝－πx＋π2.故選A. [答案]　A 12．(20xx·河南開封模擬)函數(shù)f(x)＝lnx＋ax存在與

9、直線2x－y＝0平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，2) C．(2，＋∞) D．(0，＋∞) [解析]　直線2x－y＝0的斜率為2，且f′(x)＝＋a(x>0)，令＋a＝2得a＝2－.因為x>0，則>0，所以a<2，故選B. [答案]　B 13．(20xx·天津卷)已知a∈R，設函數(shù)f(x)＝ax－lnx的圖象在點(1，f(1))處的切線為l，則l在y軸上的截距為________． [解析]　因為f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，所以切線l的方程為y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，得

10、y＝1. [答案]　1 14．已知曲線f(x)＝x3＋ax＋在x＝0處的切線與曲線g(x)＝－lnx相切，則a的值為________． [解析]　由f(x)＝x3＋ax＋得， f′(x)＝3x2＋a，f′(0)＝a，f(0)＝， ∴曲線y＝f(x)在x＝0處的切線方程為y－＝ax. 設直線y－＝ax與曲線g(x)＝－lnx相切于點(x0，－lnx0)，g′(x)＝－， ∴ 將②代入①得lnx0＝，∴x0＝e，∴a＝－＝－e. [答案]?。璭 15．已知函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲線f(x)在點(2，f(2))處的切線方程； (2)求經(jīng)過點A(2，－

11、2)的曲線f(x)的切線方程． [解]　(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲線在點(2，f(2))處的切線方程為y＋2＝x－2，即x－y－4＝0. (2)設曲線與經(jīng)過點A(2，－2)的切線相切于點P(x0，x－4x＋5x0－4)， ∵f′(x0)＝3x－8x0＋5， ∴切線方程為y－(－2)＝(3x－8x0＋5)·(x－2)， 又切線過點P(x0，x－4x＋5x0－4)， ∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1， ∴經(jīng)過點A(2，－2)的曲線f(x)的切線

12、方程為x－y－4＝0，或y＋2＝0. 16．已知函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的圖象為曲線C. (1)求過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍； (2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標的取值范圍． [解]　(1)由題意得f′(x)＝x2－4x＋3， 則f′(x)＝(x－2)2－1≥－1， 即過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍是[－1，＋∞)． (2)設曲線C的其中一條切線的斜率為k，則由(2)中條件并結合(1)中結論可知， 解得－1≤k<0，或k≥1， 故由－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1，得x∈(－

13、∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)． [延伸拓展] 　(20xx·陜西西安一模)定義1：若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上可導，即f′(x)存在，且導函數(shù)f′(x)在區(qū)間D上也可導，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在二階導數(shù)，記作f″(x)＝[f′(x)]′. 定義2：若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的二階導數(shù)恒為正，即f″(x)>0恒成立，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上為凹函數(shù)．已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋1在區(qū)間D上為凹函數(shù)，則x的取值范圍是________． [解析]　∵f(x)＝x3－x2＋1，∴f′(x)＝3x2－3x，f″(x)＝6x－3，令f″(x)>0，解得：x>. [答案]