高中數(shù)學(xué)人教A版必修四 第二章 平面向量 2．4.1 課時(shí)作業(yè)含答案

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1、 人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料 2.4　平面向量的數(shù)量積 2．4.1　平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義 課時(shí)目標(biāo)　1.通過物理中“功”等實(shí)例,理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握向量數(shù)量積的運(yùn)算律． 1．平面向量數(shù)量積 (1)定義：已知兩個(gè)非零向量a與b,我們把數(shù)量______________叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作ab,即ab＝|a||b|cos θ,其中θ是a與b的夾角． (2)規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為____． (3)投影：設(shè)兩個(gè)非零向量a、b的夾角為θ,則向量a在b方向的投影是_____

2、_______,向量b在a方向上的投影是______________． 2．?dāng)?shù)量積的幾何意義 ab的幾何意義是數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影________________的乘積． 3．向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)ab＝________(交換律)； (2)(λa)b＝________＝________(結(jié)合律)； (3)(a＋b)c＝______________________(分配律)． 一、選擇題 1．|a|＝2,|b|＝4,向量a與向量b的夾角為120,則向量a在向量b方向上的投影等于(　　) A．－3 B．－2 C

3、．2 D．－1 2．已知a⊥b,|a|＝2,|b|＝3,且3a＋2b與λa－b垂直,則λ等于(　　) A. B．－ C． D．1 3．已知向量a,b滿足ab＝0,|a|＝1,|b|＝2,則|2a－b|等于(　　) A．0 B．2 C．4 D．8 4．在邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC中,設(shè)＝a,＝b,＝c,則ab＋bc＋ca等于(　　) A．－ B．0 C. D．3 5．若非零向量a,b滿足|a|＝|b|,(2a＋b)b＝0,則a與b的夾角為(　　)

4、 A．30 B．60 C．120 D．150 6．若向量a與b的夾角為60,|b|＝4,(a＋2b)(a－3b)＝－72,則向量a的模為(　　) A．2 B．4 C．6 D．12 題　號(hào) 1 2 3 4 5 6 答　案 二、填空題 7．已知向量a與b的夾角為120,且|a|＝|b|＝4,那么b(2a＋b)的值為________． 8．給出下列結(jié)論： ①若a≠0,ab＝0,則b＝0；②若ab＝bc,則a＝c；③(ab)c＝a(bc)；④a[b(ac)－c(ab)

5、]＝0. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是________． 9．設(shè)非零向量a、b、c滿足|a|＝|b|＝|c|,a＋b＝c,則〈a,b〉＝________. 10．已知a是平面內(nèi)的單位向量,若向量b滿足b(a－b)＝0,則|b|的取值范圍是________． 三、解答題 11．已知|a|＝4,|b|＝3,當(dāng)(1)a∥b；(2)a⊥b； (3)a與b的夾角為60時(shí),分別求a與b的數(shù)量積． 12．已知|a|＝|b|＝5,向量a與b的夾角為,求|a＋b|,|a－b|. 能力提升 13．已知|a|＝1,|b|＝1,a,b的夾角為120,計(jì)算向量2

6、a－b在向量a＋b方向上的投影． 14．設(shè)n和m是兩個(gè)單位向量,其夾角是60,求向量a＝2m＋n與b＝2n－3m的夾角． 1．兩向量a與b的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),不是一個(gè)向量,其值可以為正(當(dāng)a≠0,b≠0,0≤θ<90時(shí)),也可以為負(fù)(當(dāng)a≠0,b≠0,90<θ≤180時(shí)),還可以為0(當(dāng)a＝0或b＝0或θ＝90時(shí))． 2．?dāng)?shù)量積對(duì)結(jié)合律一般不成立,因?yàn)?ab)c＝|a||b|cos〈a,b〉c是一個(gè)與c共線的向量,而(ac)b＝|a||c|cos〈a,c〉b是一個(gè)與b共線的向量,兩者一般不同． 3．向量b在a上

7、的射影不是向量而是數(shù)量,它的符號(hào)取決于θ角,注意a在b方向上的射影與b在a方向上的射影是不同的,應(yīng)結(jié)合圖形加以區(qū)分． 2.4　平面向量的數(shù)量積 2．4.1　平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義 答案 知識(shí)梳理 1．(1)|a||b|cos θ　(2)0　(3)|a|cos θ　|b|cos θ 2．|b|cos θ　3.(1)ba　(2)λ(ab)　a(λb)　(3)ac＋bc 作業(yè)設(shè)計(jì) 1．D　[a在b方向上的投影是 |a|cos θ＝2cos 120＝－1.] 2．A　[∵(3a＋2b)(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)ab－2b2＝3λa2－2b2＝12

8、λ－18＝0. ∴λ＝.] 3．B　[|2a－b|2＝(2a－b)2＝4|a|2－4ab＋|b|2＝41－40＋4＝8,∴|2a－b|＝2.] 4．A　[ab＝＝－＝－||||cos 60＝－.同理bc＝－,ca＝－, ∴ab＋bc＋ca＝－.] 5．C　[由(2a＋b)b＝0,得2ab＋b2＝0, 設(shè)a與b的夾角為θ, ∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0. ∴cos θ＝－＝－＝－,∴θ＝120.] 6．C　[∵ab＝|a||b|cos 60＝2|a|, ∴(a＋2b)(a－3b)＝|a|2－6|b|2－ab＝|a|2－2|a|－96＝－72. ∴|a|＝6.]

9、 7．0 解析　b(2a＋b)＝2ab＋|b|2 ＝244cos 120＋42＝0. 8．④ 解析　因?yàn)閮蓚€(gè)非零向量a、b垂直時(shí),ab＝0,故①不正確； 當(dāng)a＝0,b⊥c時(shí),ab＝bc＝0,但不能得出a＝c,故②不正確；向量(ab)c與c共線,a(bc)與a共線,故③不正確； ④正確,a[b(ac)－c(ab)] ＝(ab)(ac)－(ac)(ab)＝0. 9．120 解析　∵a＋b＝c,∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2ab＋b2. 又|a|＝|b|＝|c|,∴2ab＝－b2, 即2|a||b|cos〈a,b〉＝－|b|2. ∴cos〈a,b〉＝－, ∴〈a,b〉＝

10、120. 10．[0,1] 解析　b(a－b)＝ab－|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0, ∴|b|＝|a|cos θ＝cos θ (θ為a與b的夾角),θ∈[0,π], ∴0≤|b|≤1. 11．解　(1)當(dāng)a∥b時(shí),若a與b同向, 則a與b的夾角θ＝0, ∴ab＝|a||b|cos θ＝43cos 0＝12. 若a與b反向,則a與b的夾角為θ＝180, ∴ab＝|a||b|cos 180＝43(－1)＝－12. (2)當(dāng)a⊥b時(shí),向量a與b的夾角為90, ∴ab＝|a||b|cos 90＝430＝0. (3)當(dāng)a與b的夾角為60時(shí), ∴ab＝|a||b

11、|cos 60＝43＝6. 12．解　ab＝|a||b|cos θ＝55＝. |a＋b|＝＝＝＝5. |a－b|＝＝＝＝5. 13．解　(2a－b)(a＋b)＝2a2＋2ab－ab－b2＝2a2＋ab－b2＝212＋11cos 120－12＝. |a＋b|＝＝＝＝1. ∴|2a－b|cos〈2a－b,a＋b〉＝|2a－b|＝＝. ∴向量2a－b在向量a＋b方向上的投影為. 14．解　∵|n|＝|m|＝1且m與n夾角是60, ∴mn＝|m||n|cos 60＝11＝. |a|＝|2m＋n|＝＝＝ ＝, |b|＝|2n－3m|＝＝＝ ＝, ab＝(2m＋n)(2n－3m)＝mn－6m2＋2n2＝－61＋21＝－. 設(shè)a與b的夾角為θ,則cos θ＝＝＝－. 又θ∈[0,π],∴θ＝,故a與b的夾角為.