高中數(shù)學(xué)人教A版浙江專(zhuān)版必修4：課時(shí)跟蹤檢測(cè)十九 平面向量基本定理 含解析

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1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料課時(shí)跟蹤檢測(cè)（十九）平面向量基本定理層級(jí)一層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1已知已知 ABCD 中中DAB30,則則AD與與 CD的夾角為的夾角為()A30B60C120D150解析：解析：選選 D如圖如圖,AD與與 CD的夾角為的夾角為ABC150.2設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) O 是是 ABCD 兩對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)兩對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn),下列的向量組中可作為這個(gè)平行四邊形所在平下列的向量組中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面上表示其他所有向量的基底的是面上表示其他所有向量的基底的是()AD與與AB；DA與與BC； CA與與DC；OD與與 OB.ABCD解析：解析：選選 B尋找不共線(xiàn)的向量組即可尋找

2、不共線(xiàn)的向量組即可,在在 ABCD 中中,AD與與AB不共線(xiàn)不共線(xiàn), CA與與DC不不共線(xiàn)；而共線(xiàn)；而DABC,OD OB,故故可作為基底可作為基底3若若 AD 是是ABC 的中線(xiàn)的中線(xiàn),已知已知ABa,ACb,則以則以 a,b 為基底表示為基底表示AD()A12(ab)B12(ab)C12(ba)D12ba解析解析：選選 B如圖如圖,AD 是是ABC 的中線(xiàn)的中線(xiàn),則則 D 為線(xiàn)段為線(xiàn)段 BC 的中點(diǎn)的中點(diǎn),從而從而B(niǎo)DDC,即即ADABACAD,從而從而AD12(ABAC)12(ab)4在矩形在矩形 ABCD 中中,O 是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn),若若BCe1,DCe2,則則OC()A1

3、2(e1e2)B12(e1e2)C12(2e2e1)D12(e2e1)解析解析：選選 A因?yàn)橐驗(yàn)?O 是矩形是矩形 ABCD 對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn),BCe1,DCe2,所以所以O(shè)C12(BCDC)12(e1e2),故選故選 A.5(全國(guó)全國(guó)卷卷)設(shè)設(shè) D 為為ABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)所在平面內(nèi)一點(diǎn),BC3 CD,則則()AAD13AB43ACBAD13AB43ACCAD43AB13ACDAD43AB13AC解析：解析：選選 A由題意得由題意得ADAC CDAC13BCAC13AC13AB13AB43AC.6已知向量已知向量 a,b 是一組基底是一組基底,實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) x,y 滿(mǎn)足滿(mǎn)足(3x4y)

4、a(2x3y)b6a3b,則則 xy 的值的值為為_(kāi)解析：解析：a,b 是一組基底是一組基底,a 與與 b 不共線(xiàn)不共線(xiàn),(3x4y)a(2x3y)b6a3b,3x4y6，2x3y3，解得解得x6，y3，xy3.答案答案：37已知已知 e1,e2是兩個(gè)不共線(xiàn)向量是兩個(gè)不共線(xiàn)向量,ak2e115k2 e2與與 b2e13e2共線(xiàn)共線(xiàn),則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù) k_.解析：解析：由題設(shè)由題設(shè),知知k2215k23,3k25k20,解得解得 k2 或或13.答案：答案：2 或或138如下圖如下圖,在正方形在正方形 ABCD 中中,設(shè)設(shè)ABa,ADb,BDc,則在以則在以 a,b 為基底時(shí)為基底時(shí),AC可可表示為

5、表示為_(kāi),在以在以 a,c 為基底時(shí)為基底時(shí),AC可表示為可表示為_(kāi)解析解析： 以以 a,c 為基底時(shí)為基底時(shí),將將BD平移平移,使使 B 與與 A 重合重合,再由三角形法則或平行四邊形法則即再由三角形法則或平行四邊形法則即得得答案：答案：ab2ac9.如圖所示如圖所示,設(shè)設(shè) M,N,P 是是ABC 三邊上的點(diǎn)三邊上的點(diǎn),且且 BM13BC,CN13 CA,AP13AB,若若ABa,ACb,試用試用 a,b 將將MN,NP, PM表示出來(lái)表示出來(lái)解：解：NPAP AN13AB23AC13a23b,MNCN CM13AC23 CB13b23(ab)23a13b, PM MP(MNNP)13(ab

6、)10證明：三角形的三條中線(xiàn)共點(diǎn)證明：三角形的三條中線(xiàn)共點(diǎn)證明：證明：如圖所示如圖所示,設(shè)設(shè) AD,BE,CF 分別為分別為ABC 的三條中線(xiàn)的三條中線(xiàn),令令A(yù)Ba,ACb.則有則有BCba.設(shè)設(shè) G 在在 AD 上上,且且AGAD23,則有則有ADABBDa12(ba)12(ab)BEAEAB12ba.BGAGAB23ADAB13(ab)a13b23a2312ba23BE.G 在在 BE 上上,同理可證同理可證CG23CF,即即 G 在在 CF 上上故故 AD,BE,CF 三線(xiàn)交于同一點(diǎn)三線(xiàn)交于同一點(diǎn)層級(jí)二層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1在在ABC 中中,點(diǎn)點(diǎn) D 在在 BC 邊上邊上,且且

7、BD2DC,設(shè)設(shè)ABa,ACb,則則AD可用基可用基底底a,b 表示為表示為()A12(ab)B23a13bC13a23bD13(ab)解析：解析：選選 CBD2DC,BD23BC.ADABBDAB23BCAB23(ACAB)13AB23AC13a23b.2AD 與與 BE 分別為分別為ABC 的邊的邊 BC,AC 上的中線(xiàn)上的中線(xiàn),且且ADa,BEb,則則BC()A43a23bB23a43bC23a23bD23a23b解析解析：選選 B設(shè)設(shè) AD 與與 BE 交點(diǎn)為交點(diǎn)為 F,則則FD13a,BF23b.所以所以BDBFFD23b13a,所以所以BC2BD23a43b.3如果如果 e1,e2

8、是平面是平面內(nèi)所有向量的一組基底內(nèi)所有向量的一組基底,那么那么,下列命題中正確的是下列命題中正確的是()A若存在實(shí)數(shù)若存在實(shí)數(shù)1,2,使得使得1e12e10,則則120B平面平面內(nèi)任一向量?jī)?nèi)任一向量 a 都可以表示為都可以表示為 a1e12e2,其中其中1,2RC1e12e2不一定在平面不一定在平面內(nèi)內(nèi),1,2RD對(duì)于平面對(duì)于平面內(nèi)任一向量?jī)?nèi)任一向量 a,使使 a1e12e2的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)1,2有無(wú)數(shù)對(duì)有無(wú)數(shù)對(duì)解析：解析：選選 BA 中中,(12)e10,120,即即12；B 符合平面向量基本定理；符合平面向量基本定理；C中中,1e12e2一定在平面一定在平面內(nèi)；內(nèi)；D 中中,1,2有且只有一對(duì)

9、有且只有一對(duì)4 已知非零向量已知非零向量 OA, OB不共線(xiàn)不共線(xiàn),且且 2 OPx OAy OB,若若 PAAB(R),則則 x,y滿(mǎn)足的關(guān)系是滿(mǎn)足的關(guān)系是()Axy20B2xy10Cx2y20D2xy20解析：解析：選選 A由由 PAAB,得得 OA OP( OB OA),即即 OP(1) OA OB.又又 2 OPx OAy OB,x22，y2，消去消去得得 xy2.5設(shè)設(shè) e1,e2是平面內(nèi)的一組基底是平面內(nèi)的一組基底,且且 ae12e2,be1e2,則則 e1e2_a_b.解析：解析：由由ae12e2，be1e2，解得解得e113a23b，e213a13b.故故 e1e213a23b

10、13a13b23a13 b.答案：答案：23136 已知非零向量已知非零向量 a,b,c 滿(mǎn)足滿(mǎn)足 abc0,向量向量 a,b 的夾角為的夾角為 120,且且|b|2|a|,則向量則向量 a 與與c 的夾角為的夾角為_(kāi)解析：解析：由題意可畫(huà)出圖形由題意可畫(huà)出圖形,在在OAB 中中,因?yàn)橐驗(yàn)镺AB60,|b|2|a|,所以所以ABO30,OAOB,即向量即向量 a 與與 c 的夾角為的夾角為 90.答案：答案：907設(shè)設(shè) e1,e2是不共線(xiàn)的非零向量是不共線(xiàn)的非零向量,且且 ae12e2,be13e2.(1)證明：證明：a,b 可以作為一組基底；可以作為一組基底；(2)以以 a,b 為基底為基底

11、,求向量求向量 c3e1e2的分解式；的分解式；(3)若若4e13e2ab,求求,的值的值解：解：(1)證明：若證明：若 a,b 共線(xiàn)共線(xiàn),則存在則存在R,使使 ab,則則 e12e2(e13e2)由由 e1,e2不共線(xiàn)不共線(xiàn),得得1，321，23.不存在不存在,故故 a 與與 b 不共線(xiàn)不共線(xiàn),可以作為一組基底可以作為一組基底(2)設(shè)設(shè) cmanb(m,nR),則則3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e2.mn3，2m3n1m2，n1.c2ab.(3)由由 4e13e2ab,得得4e13e2(e12e2)(e13e2)()e1(23)e2.4，2333，1.故所

12、求故所求,的值分別為的值分別為 3 和和 1.8若點(diǎn)若點(diǎn) M 是是ABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿(mǎn)足：且滿(mǎn)足： AM34AB14AC.(1)求求ABM 與與ABC 的面積之比的面積之比(2)若若 N 為為 AB 中點(diǎn)中點(diǎn),AM 與與 CN 交于點(diǎn)交于點(diǎn) O,設(shè)設(shè)BOx BMyBN,求求 x,y 的值的值解：解：(1)如圖如圖,由由 AM34AB14AC可知可知 M,B,C 三點(diǎn)共線(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn),令令 BMBC AMAB BMABBCAB(ACAB)(1)ABAC14,所以所以SABMSABC14,即面積之比為即面積之比為 14.(2)由由BOx BMyBNBOx BMy2 BA,BOx4BCyBN,由由 O,M,A 三點(diǎn)三點(diǎn)共線(xiàn)及共線(xiàn)及 O,N,C 三點(diǎn)共線(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)xy21，x4y1x47，y67.