（新課改省份專用）2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第五節(jié) 拋物線講義（含解析）.doc

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第五節(jié)　拋物線 突破點(diǎn)一　拋物線的定義及其應(yīng)用 拋物線的定義 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線． 一、判斷題(對的打“√”，錯(cuò)的打“”) (1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線．(　　) (2)AB為拋物線y2＝4x的過焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝1，y1y2＝－4，弦長|AB|＝x1＋x2＋2.(　　) 答案：(1)　(2)√ 二、填空題 1．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)(2,0)的距離和它到直線l：x＝－2的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡方程為________． 答案：y2＝8x 2．已知拋物線C：y2＝x的焦點(diǎn)為F，A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，|AF|＝x0，則x0＝________. 答案：1 3．已知F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為________． 答案： 考法一　拋物線的定義及應(yīng)用　 [例1]　(1)(2019贛州模擬)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2)，F(xiàn)是拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動(dòng)時(shí)，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐標(biāo)為(　　) A．(0,0)　　　　　　　　 B. C．(1，) D．(2,2) (2)(2019襄陽測試)已知拋物線y＝x2的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，M在l上，線段MF與拋物線交于點(diǎn)N，若|MN|＝|NF|，則|MF|＝(　　) A．2 B．3 C. D. [解析]　(1)過M點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足是N，則|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，當(dāng)A，M，N三點(diǎn)共線時(shí)，|MF|＋|MA|取得最小值，此時(shí)M(2,2)． (2)如圖，過N作準(zhǔn)線的垂線NH，垂足為H.根據(jù)拋物線的定義可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝|NH|，則∠NMH＝45.在△MFK中，∠FMK＝45，所以|MF|＝|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝.故選C. [答案]　(1)D　(2)C [方法技巧] 利用拋物線的定義解決問題時(shí)，應(yīng)靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與其到準(zhǔn)線距離間的等價(jià)轉(zhuǎn)化．“看到準(zhǔn)線應(yīng)該想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)應(yīng)該想到準(zhǔn)線”，這是解決拋物線距離有關(guān)問題的有效途徑．　　 考法二　焦點(diǎn)弦問題　 焦點(diǎn)弦的常用結(jié)論 以拋物線y2＝2px(p＞0)為例，設(shè)AB是拋物線的過焦點(diǎn)的一條弦(焦點(diǎn)弦)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在準(zhǔn)線上的射影為A1，B1，則有以下結(jié)論： (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ為直線AB的傾斜角)，拋物線的通徑長為2p，通徑是最短的焦點(diǎn)弦； (3)＋＝為定值； (4)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切； (5)以AF(或BF)為直徑的圓與y軸相切； (6)以A1B1為直徑的圓與直線AB相切，切點(diǎn)為F，∠A1FB1＝90； (7)A，O，B1三點(diǎn)共線，B，O，A1三點(diǎn)也共線． [例2]　(2019長沙四校聯(lián)考)過拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，且＝3，則||＝(　　) A. B. C. D. [解析]　如圖，不妨設(shè)Q點(diǎn)在第一象限，過P作PN垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為N， 由拋物線定義可知|PF|＝|PN|， 又因?yàn)椋?， 所以＝2， 所以|PM|＝2|PF|＝2|PN|， 在Rt△PNM中，cos∠MPN＝＝， 由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可知||＝＝＝.故選C. [答案]　C [方法技巧] 焦點(diǎn)弦問題的求解策略 解決焦點(diǎn)弦問題的關(guān)鍵是“設(shè)而不求”方法的應(yīng)用，解題時(shí)，設(shè)出直線與拋物線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的方程正確表示出焦點(diǎn)弦長，再利用已知條件求解．　　 1.若拋物線y2＝4x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)F的距離為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OFP的面積為(　　) A. B．1 C. D．2 解析：選B　設(shè)P(xP，yP)，由題意可得拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，又點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為2，∴由拋物線的定義知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為2，∴xP＋1＝2，得xP＝1，代入拋物線方程得|yP|＝2，∴△OFP的面積為S＝|OF||yP|＝12＝1.故選B. 2.已知AB是拋物線y2＝2x的一條焦點(diǎn)弦，|AB|＝4，則AB中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是(　　) A.2 B. C. D. 解析：選C　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p＝4， 又p＝1，∴x1＋x2＝3，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是＝.故選C. 3.已知M是拋物線x2＝4y上一點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，點(diǎn)A在圓C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，則|MA|＋|MF|的最小值是________． 解析：依題意，由點(diǎn)M向拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線l：y＝－1引垂線，垂足為M1(圖略)，則有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，結(jié)合圖形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圓心C(－1，5)到y(tǒng)＝－1的距離再減去圓C的半徑，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5. 答案：5 突破點(diǎn)二　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì) 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦點(diǎn)坐標(biāo) 準(zhǔn)線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 離心率 e＝1 焦半徑 |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y(tǒng)0＋ |PF|＝－y0＋ 一、判斷題(對的打“√”，錯(cuò)的打“”) (1)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x＝－.(　　) (2)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．(　　) (3)若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線與拋物線一定相切．(　　) 答案：(1)　(2)　(3) 二、填空題 1．已知拋物線的對稱軸為x軸，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在直線2x－4y＋11＝0上，則此拋物線的方程是________． 答案：y2＝－22x 2．拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y＝1，則a的值為________． 答案：－ 3．已知F是拋物線x2＝8y的焦點(diǎn)，若拋物線上的點(diǎn)A到x軸的距離為5，則|AF|＝________. 答案：7 考法一　求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程　 [例1]　(1)(2019河南中原名校聯(lián)考)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為拋物線上一點(diǎn)，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面積為4，則拋物線的方程為(　　) A．y2＝6x　　　　　　　 　B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝ (2)(2019江西協(xié)作體聯(lián)考)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|＝5.若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2)，則C的方程為(　　) A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x [解析]　(1)設(shè)M(x，y)，因?yàn)閨OF|＝，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由拋物線定義知x＋＝2p，所以x＝p，所以y＝p，又△MFO的面積為4，所以p＝4，解得p＝4(p＝－4舍去)．所以拋物線的方程為y2＝8x. (2)由已知得拋物線的焦點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)A(0,2)，拋物線上點(diǎn)M(x0，y0)，則＝，＝.由已知得＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M.由|MF|＝5得， ＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，故選C. [答案]　(1)B　(2)C [方法技巧] 求拋物線方程的3個(gè)注意點(diǎn) (1)當(dāng)坐標(biāo)系已建立時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件確定拋物線方程屬于四種類型中的哪一種． (2)要注意把握拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸、開口方向與方程之間的對應(yīng)關(guān)系． (3)要注意參數(shù)p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用它的幾何意義來解決問題． 考法二　拋物線的幾何性質(zhì)　 [例2]　(1)(2019蘭州雙基過關(guān)考試)拋物線y2＝2px(p＞0)上橫坐標(biāo)為6的點(diǎn)到此拋物線焦點(diǎn)的距離為10，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 (2)(2018贛州二模)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上一點(diǎn)，若A到F的距離是A到y(tǒng)軸距離的兩倍，且三角形OAF的面積為1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則p的值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　(1)設(shè)拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－(p＞0)，如圖，則根據(jù)拋物線的性質(zhì)有|PF|＝＋6＝10，解得p＝8，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為8. (2)不妨設(shè)A(x0，y0)在第一象限， 由題意可知即 ∴A， 又∵點(diǎn)A在拋物線y2＝2px上，∴＝2p，即p4＝16， 又∵p＞0，∴p＝2，故選B. [答案]　(1)B　(2)B [方法技巧] 用拋物線幾何性質(zhì)的技巧 涉及拋物線幾何性質(zhì)的問題常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題．　　 1.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過點(diǎn)P(－4，－2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A．y2＝－x　　　　　　　　 　B．x2＝－8y C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y 解析：選D　設(shè)拋物線為y2＝mx，代入點(diǎn)P(－4，－2)，解得m＝－1，則拋物線方程為y2＝－x；設(shè)拋物線為x2＝ny，代入點(diǎn)P(－4，－2)，解得n＝－8，則拋物線方程為x2＝－8y. 2.已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0，－)．若線段FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，則|MF|＝(　　) A. B. C. D. 解析：選A　由題意，F(xiàn)(1,0)，|AF|＝2，設(shè)|MF|＝d，則M到準(zhǔn)線的距離為d，M的橫坐標(biāo)為d－1，由三角形相似，可得＝，所以d＝，故選A. 3.已知A是拋物線y2＝2px(p＞0)上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)|AF|＝4時(shí)，∠OFA＝120，則拋物線的準(zhǔn)線方程是(　　) A．x＝－1 B．y＝－1 C．x＝－2 D．y＝－2 解析：選A　過A向準(zhǔn)線作垂線，設(shè)垂足為B，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為D.因?yàn)椤螼FA＝120，所以△ABF為等邊三角形，∠DBF＝30，從而p＝|DF|＝2，因此拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1.選A.