（新課改省份專用）2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第四節(jié) 雙曲線講義（含解析）.doc

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第四節(jié)　雙曲線 突破點(diǎn)一　雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 1．雙曲線的定義 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a＞0，c＞0. (1)當(dāng)2a＜|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線； (2)當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是兩條射線； (3)當(dāng)2a＞|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)不存在． 2．標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a＞0，b＞0)； (2)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a＞0，b＞0)． 一、判斷題(對的打“√”，錯(cuò)的打“”) (1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點(diǎn)間距離)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線．(　　) (2)在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程－＝1中，a＞0，b＞0且a≠b.(　　) (3)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b的大小關(guān)系是a＞b.(　　) 答案：(1)　(2)　(3) 二、填空題 1．已知F為雙曲線C：－＝1的左焦點(diǎn)，P，Q為C上的點(diǎn)．若PQ的長等于虛軸長的2倍，點(diǎn)A(5,0)在線段PQ上，則△PQF的周長為________． 答案：44 2．經(jīng)過點(diǎn)P(－3,2)和Q(－6，－7)，且焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________． 答案：－＝1 3．已知定點(diǎn)A，B且|AB|＝4，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|－|PB|＝3，則|PA|的最小值為________． 答案： 考法一　雙曲線的定義及應(yīng)用　 (1)在解決與雙曲線的焦點(diǎn)有關(guān)的問題時(shí)，通?？紤]利用雙曲線的定義解題； (2)在運(yùn)用雙曲線的定義時(shí)，應(yīng)特別注意定義中的“差的絕對值”，弄清是整個(gè)雙曲線還是雙曲線的某一支． [例1]　(1)(2019寧夏育才中學(xué)月考)設(shè)P是雙曲線－＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|PF1|＝9，則|PF2|等于(　　) A．1　　　　　　　　　 　B．17 C．1或17 D．以上均不對 (2)已知點(diǎn)P在曲線C1：－＝1上，點(diǎn)Q在曲線C2：(x－5)2＋y2＝1上，點(diǎn)R在曲線C3：(x＋5)2＋y2＝1上，則|PQ|－|PR|的最大值是(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 [解析]　(1)根據(jù)雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝8?PF2＝1或17. 又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17，故選B. (2)由題意可知C3，C2的圓心分別是雙曲線C1：－＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的左支上，則|PC2|－|PC3|＝8. |PQ|max＝|PC2|＋1，|PR|min＝|PC3|－1， 所以|PQ|－|PR|的最大值為(|PC2|＋1)－(|PC3|－1)＝|PC2|－|PC3|＋2＝8＋2＝10.故選C. [答案]　(1)B　(2)C [方法技巧] 雙曲線定義的主要應(yīng)用方面 (1)判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出曲線方程． (2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|PF1||PF2|的聯(lián)系．　　 考法二　雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程　 待定系數(shù)法求雙曲線方程的5種類型 類型一 與雙曲線－＝1有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為－＝λ(λ≠0) 類型二 若已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝x或y＝－x，則可設(shè)雙曲線方程為－＝λ(λ≠0) 類型三 與雙曲線－＝1共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為－＝1(－b2＜k＜a2) 類型四 過兩個(gè)已知點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為－＝1(mn＞0)或者＋＝1(mn＜0) 類型五 與橢圓＋＝1(a＞b＞0)有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為－＝1(b2＜λ＜a2) [例2]　(2018天津高考)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 [解析]　法一：如圖，不妨設(shè)A在B的上方，則A，B. 又雙曲線的一條漸近線為bx－ay＝0， 則d1＋d2＝＝＝2b ＝6，所以b＝3. 又由e＝＝2，知a2＋b2＝4a2，所以a＝. 所以雙曲線的方程為－＝1. 法二：由d1＋d2＝6，得雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為3，所以b＝3.因?yàn)殡p曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以雙曲線的方程為－＝1，故選C. [答案]　C [方法技巧] 求雙曲線方程的思路 (1)如果已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，且確定了焦點(diǎn)在x軸上或y軸上，則設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于a，b，c的方程組，解出a2，b2，從而寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(求得的方程可能是一個(gè)，也有可能是兩個(gè)，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，有兩種方法來解決： 一種是分類討論，注意考慮要全面；另一種是設(shè)雙曲線的一般方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．　　 1.虛軸長為2，離心率e＝3的雙曲線的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F1作直線交雙曲線的一支于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝8，則△ABF2的周長為(　　) A．3 B．16＋ C．12＋ D．24 解析：選B　∵2b＝2，e＝＝3，∴b＝1，c＝3a， ∴9a2＝a2＋1，∴a＝. 由雙曲線的定義知：|AF2|－|AF1|＝2a＝， ① |BF2|－|BF1|＝， ② ①＋②得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝， 又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8， ∴|AF2|＋|BF2|＝8＋，則△ABF2的周長為16＋，故選B. 2.設(shè)k＞1，則關(guān)于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲線是(　　) A．長軸在x軸上的橢圓 B．長軸在y軸上的橢圓 C．實(shí)軸在x軸上的雙曲線 D．實(shí)軸在y軸上的雙曲線 解析：選D　∵k＞1，∴1－k＜0，k2－1＞0，∴方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲線是實(shí)軸在y軸上的雙曲線，故選D. 3.已知雙曲線過點(diǎn)(2,3)，漸近線方程為y＝x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C．x2－＝1 D.－＝1 解析：選C　法一：當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由題意得解得所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－＝1；當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由題意得無解．故該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－＝1，選C. 法二：當(dāng)其中的一條漸近線方程y＝x中的x＝2時(shí)，y＝2＞3，又點(diǎn)(2,3)在第一象限，所以雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由題意得解得所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－＝1，故選C. 法三：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y＝x，即＝x，所以可設(shè)雙曲線的方程是x2－＝λ(λ≠0)，將點(diǎn)(2,3)代入，得λ＝1，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－＝1，故選C. 突破點(diǎn)二　雙曲線的幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 圖形 性質(zhì) 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 對稱性 對稱軸：坐標(biāo)軸，對稱中心：(0,0) 頂點(diǎn) A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 漸近線 y＝x y＝x 離心率 e＝，e∈(1，＋∞) a，b，c的關(guān)系 c2＝a2＋b2 實(shí)虛軸 線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長|A1A2|＝2a； 線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b； a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長 一、判斷題(對的打“√”，錯(cuò)的打“”) (1)雙曲線方程－＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的漸近線方程是－＝0，即＝0.(　　) (2)等軸雙曲線的離心率等于，且漸近線互相垂直．(　　) 答案：(1)√　(2)√ 二、填空題 1．雙曲線－＝1的漸近線方程為________． 答案：3x4y＝0 2．若雙曲線8kx2－ky2＝8的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(3,0)，則k＝________. 答案：1 3．雙曲線的漸近線方程為y＝x，則離心率為________． 答案：或 考法一　漸近線問題　 [例1]　(1)(2018全國卷Ⅱ)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則其漸近線方程為(　　) A．y＝x　 　　　　 　B．y＝x C．y＝x D．y＝x (2)(2019鄭州一中入學(xué)測試)已知拋物線x2＝8y與雙曲線－x2＝1(a＞0)的一個(gè)交點(diǎn)為M，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若|MF|＝5，則該雙曲線的漸近線方程為(　　) A．5x3y＝0 B．3x5y＝0 C．4x5y＝0 D．5x4y＝0 [解析]　(1)∵e＝＝＝，∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a.∴漸近線方程為y＝x. (2)設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)，則有|MF|＝y(tǒng)0＋2＝5，所以y0＝3，x＝24， 由點(diǎn)M(x0，y0)在雙曲線－x2＝1上，得－x＝1， 即－24＝1，解得a2＝， 所以雙曲線－x2＝1的漸近線方程為－x2＝0，即3x5y＝0，選B. [答案]　(1)A　(2)B [方法技巧] 求雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)或－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程的方法是令右邊的常數(shù)等于0，即令－＝0，得y＝x；或令－＝0，得y＝x.反之，已知漸近線方程為y＝x，可設(shè)雙曲線方程為－＝λ(a＞0，b＞0)．　　 考法二　離心率問題　 [例2]　(1)(2018全國卷Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝|OP|，則C的離心率為(　　) A. B．2 C. D. (2)(2018長春二測)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍是(　　) A. B. C．(1,2] D. [解析]　(1)不妨設(shè)一條漸近線的方程為y＝x， 則F2到y(tǒng)＝x的距離d＝＝b. 在Rt△F2PO中，|F2O|＝c， 所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a， 又|F1O|＝c，所以在△F1PO與Rt△F2PO中， 根據(jù)余弦定理得 cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－， 即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝. (2)由雙曲線的定義可知|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF2|＝，由雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為c－a，可得≥c－a，解得≤，即e≤，又雙曲線的離心率e＞1，故該雙曲線離心率的取值范圍為，故選B. [答案]　(1)C　(2)B [方法技巧] 求雙曲線離心率或其范圍的方法 (1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e. (2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解．　　 1.已知雙曲線－＝1(m＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)在直線x＋y＝5上，則雙曲線的漸近線方程為(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x 解析：選B　由于雙曲線－＝1(m＞0)的焦點(diǎn)在y軸上，且在直線x＋y＝5上，直線x＋y＝5與y軸的交點(diǎn)為(0,5)，所以c＝5，m＋9＝25，則m＝16，則雙曲線的方程為－＝1，則雙曲線的漸近線方程為y＝x.故選B. 2.若a＞1，則雙曲線－y2＝1的離心率的取值范圍是(　　) A．(，＋∞) B．(，2) C．(1，) D．(1,2) 解析：選C　由題意得雙曲線的離心率e＝.即e2＝＝1＋.∵a＞1，∴0＜＜1，∴1＜1＋＜2，∴1＜e＜. 3.(2018全國卷Ⅲ)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為(　　) A. B．2 C. D．2 解析：選D　∵e＝＝ ＝，∴＝1.∴雙曲線的漸近線方程為xy＝0. ∴點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離d＝＝2. 4.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，過其中一個(gè)焦點(diǎn)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)M，若點(diǎn)M在以線段F1，F(xiàn)2為直徑的圓內(nèi)，則雙曲線離心率的取值范圍是(　　) A．(1,2) B．(2，＋∞) C．(1，) D．(，＋∞) 解析：選A　如圖，不妨設(shè)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，－c)，則過點(diǎn)F1與漸近線y＝x平行的直線為y＝x＋c，聯(lián)立得解得即M.因?yàn)辄c(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓x2＋y2＝c2內(nèi)，故2＋2＜c2，化簡得b2＜3a2，即c2－a2＜3a2，解得＜2，又雙曲線的離心率e＝＞1，所以雙曲線離心率的取值范圍是(1,2)．故選A .