（新課改省份專用）2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 第一節(jié) 空間幾何體及表面積與體積講義（含解析）.doc

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第一節(jié)　空間幾何體及表面積與體積 突破點(diǎn)一　空間幾何體 1．簡單旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 (1)圓柱可以由矩形繞其任一邊旋轉(zhuǎn)得到； (2)圓錐可以由直角三角形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)得到； (3)圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到； (4)球可以由半圓或圓繞直徑旋轉(zhuǎn)得到． [提醒]　(1)球是以半圓面為旋轉(zhuǎn)對象的，而不是半圓． (2)要注意球面上兩點(diǎn)的直線距離、球面距離以及在相應(yīng)的小圓上的弧長三者之間的區(qū)別與聯(lián)系． 2．簡單多面體的結(jié)構(gòu)特征 (1)棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上下底面是全等的多邊形； (2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共點(diǎn)的三角形； (3)棱臺(tái)可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相似多邊形． [提醒]　(1)棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形，但側(cè)面都是平行四邊形的幾何體卻不一定是棱柱． (2)棱臺(tái)的所有側(cè)面都是梯形，但側(cè)面都是梯形的幾何體卻不一定是棱臺(tái)． (3)注意棱臺(tái)的所有側(cè)棱相交于一點(diǎn)． 3．直觀圖 (1)畫法：常用斜二測畫法． (2)規(guī)則： ①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45(或135)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直． ②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄? 一、判斷題(對的打“√”，錯(cuò)的打“”) (1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．(　　) (2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(　　) (3)夾在兩個(gè)平行的平面之間，其余的面都是梯形，這樣的幾何體一定是棱臺(tái)．(　　) 答案：(1)　(2)　(3) 二、填空題 1．在如圖所示的幾何體中，是棱柱的為________．(填寫所有正確的序號) 答案：③⑤ 2．下列命題中正確的是________． ①由五個(gè)平面圍成的多面體只能是四棱錐； ②棱錐的高線可能在幾何體之外； ③僅有一組相對的面平行的六面體一定是棱臺(tái)； ④有一個(gè)面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐． 答案：② 3．一個(gè)棱柱至少有________個(gè)面；面數(shù)最少的一個(gè)棱錐有________個(gè)頂點(diǎn)；頂點(diǎn)最少的一個(gè)棱臺(tái)有________條側(cè)棱． 答案：5　4　3 4.用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y軸，BC，AD平行于x軸．已知四邊形ABCD的面積為2 cm2，則原平面圖形的面積為________ cm2. 解析：依題意可知∠BAD＝45，則原平面圖形為直角梯形，上下底面的長與BC，AD相等，高為梯形ABCD的高的2倍，所以原平面圖形的面積為8 cm2. 答案：8 1．給出下列幾個(gè)命題： ①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等．其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選B?、馘e(cuò)誤，只有這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；②正確；③錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面是相似且對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定相等．故正確命題的個(gè)數(shù)是1. 2．給出下列命題： ①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形； ②若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直； ③在四棱柱中，若兩個(gè)過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱； ④存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體． 其中正確命題的序號是________． 解析：①不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；②正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個(gè)側(cè)面構(gòu)成的三個(gè)平面的二面角都是直二面角；③正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；④正確，如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中的三棱錐C1ABC，四個(gè)面都是直角三角形． 答案：②③④ [方法技巧]　辨別空間幾何體的2種方法 定義法 緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本要素，根據(jù)定義進(jìn)行判定 反例法 通過反例對結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，要說明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只需舉出一個(gè)反例即可 [針對訓(xùn)練] 1．用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是(　　) A．圓柱 B．圓錐 C．球體 D．圓柱、圓錐、球體的組合體 解析：選C　截面是任意的且都是圓面，則該幾何體為球體． 2．下列命題正確的是(　　) A．兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái) B．兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái) C．直角梯形以一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái) D．用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形 解析：選C　如圖所示，可排除A、B選項(xiàng)．對于D選項(xiàng)，只有截面與圓柱的母線平行或垂直時(shí)，截得的截面為矩形或圓，否則截面為橢圓或橢圓的一部分．故選C. 突破點(diǎn)二　空間幾何體的表面積與體積 空間幾何體的表面積與體積公式 　　　名稱 幾何體　　 表面積 體積 柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側(cè)＋2S底 V＝Sh 錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側(cè)＋S底 V＝Sh 臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái)) S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 [提醒]　解決與幾何體的面積有關(guān)問題時(shí)，務(wù)必要注意是求全面積還是求側(cè)面積． 一、判斷題(對的打“√”，錯(cuò)的打“”) (1)多面體的表面積等于各個(gè)面的面積之和．(　　) (2)錐體的體積等于底面積與高之積．(　　) (3)球的體積之比等于半徑比的平方．(　　) (4)簡單組合體的體積等于組成它的簡單幾何體體積的和或差．(　　) 答案：(1)√　(2)　(3)　(4)√ 二、填空題 1.如圖，將一個(gè)長方體用過相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為________． 答案：1∶47 2．以長為a，寬為b的矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積為________． 答案：2πab 3．已知圓錐的表面積等于12π cm2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為________ cm. 答案：2 考法一　空間幾何體的表面積　 [例1]　在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為(　　) A．4π B．(4＋)π C．6π D．(5＋)π (2)(2019合肥質(zhì)檢)已知圓錐的高為3，底面半徑為4，若一球的表面積與此圓錐側(cè)面積相等，則該球的半徑為(　　) A．5 B. C．9 D．3 [解析]　(1)∵在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC， BC＝2AD＝2AB＝2，∴將梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個(gè)底面半徑為AB＝1，高為BC＝2的圓柱減去一個(gè)底面半徑為AB＝1，高為BC－AD＝2－1＝1的圓錐的組合體，∴幾何體的表面積S＝π12＋2π12＋2π1＝(5＋)π. (2)∵圓錐的底面半徑r＝4，高h(yuǎn)＝3，∴圓錐的母線l＝5，∴圓錐的側(cè)面積S＝πrl＝20π，設(shè)球的半徑為R，則4πR2＝20π，∴R＝，故選B. [答案]　(1)D　(2)B [方法技巧] 求空間幾何體表面積的常見類型及思路 求多面體 的表面積 只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積 求旋轉(zhuǎn)體 的表面積 可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系 求不規(guī)則 幾何體的 表面積 通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積 考法二　空間幾何體的體積　 [例2]　(1)如圖所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1ABC1的體積為(　　) A. B. C. D. (2)如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為________． [解析]　(1)三棱錐B1ABC1的體積等于三棱錐AB1BC1的體積，三棱錐AB1BC1的高為，底面積為，故其體積為＝. (2)如圖，分別過點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，BF，易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝，則△BHC中BC邊的高h(yuǎn)＝.∴S△AGD＝S△BHC＝1＝，∴V多面體＝VEADG＋VFBHC＋VAGDBHC＝2VEADG＋VAGDBHC＝2＋1＝. [答案]　(1)A　(2) [方法技巧]　求空間幾何體的體積的常用方法 公式法 對于規(guī)則幾何體的體積問題，可以直接利用公式進(jìn)行求解 割補(bǔ)法 把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算其體積 等體 積法 一個(gè)幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的．如果一個(gè)幾何體的底面面積和高較難求解時(shí)，我們可以采用等體積法進(jìn)行求解．等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關(guān)錐體的體積，特別是三棱錐的體積 1.圓臺(tái)的一個(gè)底面周長是另一個(gè)底面周長的3倍，母線長為3，圓臺(tái)的側(cè)面積為84π，則圓臺(tái)較小底面的半徑為(　　) A．7 B．6 C．5 D．3 解析：選A　設(shè)上底面半徑為r，則下底面半徑為3r，截得圓臺(tái)的大圓錐母線為l，則＝，l＝，由π3r－πr＝84π，解得r＝7. 2.如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，則四棱錐A1BB1D1D的體積為________． 解析：∵正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1， ∴矩形BB1D1D的長和寬分別為1, . ∵四棱錐A1BB1D1D的高是正方形A1B1C1D1對角線長的一半，即為， ∴V四棱錐A1BB1D1D＝Sh＝(1)＝. 答案： 3.如圖，正四棱錐PABCD的底面邊長為2 cm，側(cè)面積為8cm2，則它的體積為________ cm3. 解析：記正四棱錐PABCD的底面中心為點(diǎn)O，棱AB的中點(diǎn)為H，連接PO，HO，PH，則PO⊥平面ABCD，因?yàn)檎睦忮F的側(cè)面積為8 cm2， 所以8＝42PH，解得PH＝2，在Rt△PHO中，HO＝，所以PO＝1，所以VPABCD＝S正方形ABCDPO＝4 cm3. 答案：4 突破點(diǎn)三　與球有關(guān)的切、接問題 與球有關(guān)的組合體問題常涉及內(nèi)切和外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖. 如球內(nèi)切于正方體時(shí)，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體時(shí)，正方體的各個(gè)頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.球與其他旋轉(zhuǎn)體組合時(shí)，通常作它們的軸截面解題；球與多面體組合時(shí)，通常過多面體的一條側(cè)棱和球心及“切點(diǎn)”或“接點(diǎn)”作截面圖進(jìn)行解題. 考法一　與球有關(guān)的外接問題　 [例1]　(1)(2019福州模擬)已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積等于(　　) A.π B.π C．16π D．32π (2)(2018成都模擬)在三棱錐PABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60，PA＝2，AB＝AC＝，若該三棱錐的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為(　　) A. B. C．8π D．12π [解析]　(1)設(shè)該圓錐的外接球的半徑為R，依題意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的體積V＝πR3＝π23＝π. (2)易知△ABC是等邊三角形．如圖，作OM⊥平面ABC，其中M為△ABC的中心，且點(diǎn)O滿足OM＝PA＝1，則點(diǎn)O為三棱錐PABC外接球的球心．于是，該外接球的半徑R＝OA＝＝＝.故該球的表面積S＝4πR2＝8π. [答案]　(1)B　(2)C [方法技巧] 處理球的外接問題的策略 (1)把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的外接問題．解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑． (2)三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐的外接球： ①如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且相等，那么可以補(bǔ)形為一個(gè)正方體，正方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心； ②如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直但不相等，那么可以補(bǔ)形為一個(gè)長方體，長方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心．　　 考法二　與球有關(guān)的內(nèi)切問題　 [例2]　(1)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________． (2)已知正三棱錐的高為1，底面邊長為2，內(nèi)有一個(gè)球與四個(gè)面都相切，則棱錐的內(nèi)切球的半徑為________． [解析]　(1)設(shè)圓柱內(nèi)切球的半徑為R， 則由題設(shè)可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R，高為2R， 故＝＝. (2)如圖，過點(diǎn)P作PD⊥平面ABC于點(diǎn)D，連接AD并延長交BC于點(diǎn)E，連接PE， ∵△ABC是正三角形， ∴AE是BC邊上的高和中線，D為△ABC的中心． ∵AB＝2， ∴S△ABC＝3，DE＝1，PE＝. ∴S表＝32＋3＝3＋3. ∵PD＝1， ∴三棱錐的體積V＝31＝. 設(shè)球的半徑為r，以球心O為頂點(diǎn)，三棱錐的四個(gè)面為底面把正三棱錐分割為四個(gè)小棱錐， 則r＝＝－1. [答案]　(1)　(2)－1 [方法技巧] 處理與球有關(guān)內(nèi)切問題的策略 解答此類問題時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決．如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過球心的對角面來作．　　 1.已知直三棱柱ABCA1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為(　　) A. B．2 C. D．3 解析：選C　如圖，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M.又AM＝BC＝＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝ ＝. 2.已知一個(gè)圓錐底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)切球的表面積為(　　) A．π B. C．2π D．3π 解析：選C　依題意，作出圓錐與球的軸截面，如圖所示，設(shè)球的半徑為r，易知軸截面三角形邊AB上的高為2，因此＝，解得r＝，所以圓錐內(nèi)切球的表面積為4π2＝2π，故選C. 3.已知三棱錐PABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，則三棱錐PABC的外接球的體積為(　　) A.π B.π C．27π D．27π 解析：選B　∵三棱錐PABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，∴△PAB≌△PBC≌△PAC.∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PC⊥PB.以PA，PB，PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱作正方體(如圖所示)，則正方體的外接球同時(shí)也是三棱錐PABC的外接球．∵正方體的體對角線長為＝3，∴其外接球半徑R＝.因此三棱錐PABC的外接球的體積V＝3＝π.