（浙江專版）2018年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題16 三角函數(shù)與三角恒等變換.doc

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專題十六 三角函數(shù)與三角恒等變換 【母題原題1】【2018浙江，18】已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)P（）． （Ⅰ）求sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角β滿足sin（α+β）=，求cosβ的值． 【答案】（Ⅰ） , （Ⅱ） 或 （Ⅱ）由角的終邊過(guò)點(diǎn)得， 由得. 由得， 所以或. 點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的兩種類型： (1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù). (2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異. ①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用； ②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的. 【母題原題2】【2017浙江，18】已知函數(shù) （I）求的值 （II）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. 【答案】（I）2；（II）的最小正周期是， . 【解析】試題分析：本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及其變換等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力.滿分14分. （Ⅰ）由函數(shù)概念，計(jì)算可得；（Ⅱ）化簡(jiǎn)函數(shù)關(guān)系式得，結(jié)合可得周期，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間． （Ⅱ）由與得 ． ． 所以的最小正周期是． 由正弦函數(shù)的性質(zhì)得 ， 解得， 所以， 的單調(diào)遞增區(qū)間是． 【母題原題3】【2016浙江，文11理10】已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A＞0)，則A=______，b=________． 【答案】 ， 【解析】，所以 【考點(diǎn)】降冪公式，輔助角公式． 【思路點(diǎn)睛】解答本題時(shí)先用降冪公式化簡(jiǎn)，再用輔助角公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而對(duì)照可得和的值． 【命題意圖】考查三角函數(shù)的概念、三角公式、三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)式子變形能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想及分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力． 【命題規(guī)律】近幾年高考在對(duì)三角恒等變換考查的同時(shí)，對(duì)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的考查力度有所加強(qiáng)，往往將三角恒等變換與圖象和性質(zhì)結(jié)合考查，往往先利用三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后進(jìn)一步研究三角函數(shù)的性質(zhì).其中三角函數(shù)的定義域值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性以及圖象變換是主要考查對(duì)象，難度仍然以中低檔為主，重在對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，淡化特殊技巧，強(qiáng)調(diào)通解通法. 【答題模板】求解2017年一類問(wèn)題，一般考慮： 第一步：化簡(jiǎn)三角函數(shù)式成為的形式. 第二步：代入計(jì)算函數(shù)值. 第三步：將視為一個(gè)整體，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，按要求運(yùn)算求解. 【方法總結(jié)】 1. 三角函數(shù)恒等變換要注意：（1）觀察式子：主要看三點(diǎn) ① 整體觀察：整個(gè)表達(dá)式是以正余弦為主，還是正切（大多數(shù)情況是正余弦），確定后進(jìn)行項(xiàng)的統(tǒng)一（有句老話：切割化弦） ② 確定研究對(duì)象：是以作為角來(lái)變換，還是以的表達(dá)式（例如）看做一個(gè)角來(lái)進(jìn)行變換. ③ 式子是否齊次：看每一項(xiàng)（除了常數(shù)項(xiàng)）的系數(shù)是否一樣（合角公式第二條：齊一次），若是同一個(gè)角（之前不是確定了研究對(duì)象了么）的齊二次式或是齊一次式，那么很有可能要使用合角公式，其結(jié)果成為的形式. 例如：齊二次式：， 齊一次式： （2）向“同角齊次正余全”靠攏，能拆就拆，能降冪就降冪：常用到前面的公式，（還有句老話：平方降冪） 2.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則 （1）一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過(guò)看角之間的區(qū)別和聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式； （2）而看“函數(shù)名稱”看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用公式，常見的有“切化弦”； （3）三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，如“遇到分式通分”等. 3.變換技巧：(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；β＝－；＝. （3）化簡(jiǎn)技巧：切化弦、“1”的代換等 4.的常規(guī)求法： （1）： ① 對(duì)于可通過(guò)觀察在一個(gè)周期中所達(dá)到的波峰波谷（或值域）得到 ② 對(duì)于可通過(guò)一個(gè)周期中最大，最小值進(jìn)行求解： （2）：由可得：只要確定了的周期，即可立刻求出，而的值可根據(jù)對(duì)稱軸（最值點(diǎn)）和對(duì)稱中心（零點(diǎn)）的距離進(jìn)行求解 ① 如果相鄰的兩條對(duì)稱軸為，則 ② 如果相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心為，則 ③ 如果相鄰的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心分別為，則 注：在中，對(duì)稱軸與最值點(diǎn)等價(jià)，對(duì)稱中心與零點(diǎn)等價(jià). （3）：在圖像或條件中不易直接看出的取值，通?？赏ㄟ^(guò)代入曲線上的點(diǎn)進(jìn)行求解，要注意題目中對(duì)的限制范圍 1．【浙江省金華十校2018年4月高考模擬】在平面直角坐標(biāo)系中，角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)P(-3,-1)，則tanα=__________，cosα+sinα-π2=__________． 【答案】 33 0 2.【浙江省金華十校2018年4月高考模擬】已知函數(shù)f(x)=4sinxsinx+π3，則函數(shù)f(x)的最小正周期T=__________，在區(qū)間0,π2上的值域?yàn)開_________． 【答案】 π (0,3] 【解析】函數(shù)的解析式： fx=4sinxsin(x+π3) =2sinx(3cosx+sinx) =23sinxcosx+2sin2x =3sin2x-cos2x+1 =2sin(2x-π6)+1 ∴函數(shù)f(x)的最小正周期T=2π2=π ∵x∈(0,π2),∴2x-π6∈(-π6,5π6)，∴當(dāng)2x-π6=π2,x=π3時(shí),fxmax=2+1=3， 當(dāng)2x-π6=-π6,x=0時(shí),fxmin=-1+1=0，但取不到.所以值域?yàn)?,3. 3．【2018屆浙江省紹興市5月調(diào)測(cè)】已知函數(shù)f(x)=cos2x-sin2(x+π6)，則f(π6)=____，該函數(shù)的最小正周期為_____． 【答案】 0 π 【解析】分析：由題意首先化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，然后結(jié)合函數(shù)的解析式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果. 詳解：由題意可得： fx=1+cos2x2-1-cos2x+π32 =12cos2x+12cos2xcosπ3-sin2xsinπ3 =-1232sin2x-32cos2x =-32sin2x-π3. 則fπ6=-32sin2π6-π3=0， 函數(shù)的最小正周期為：T=2π2=π. 4．【2017屆四川省成都嘉祥外國(guó)語(yǔ)學(xué)校4月月考】在平面直角坐標(biāo)系中，若角的始邊為軸的非負(fù)半軸，其終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn). （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）2；（2）. 【解析】試題分析：（1）直接根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義求解即可．（2）利用誘導(dǎo)公式化解，“弦化切”的思想即可解決． 試題解析：(1)由任意三角函數(shù)的定義可得： . (2) 原式 5．【2017屆江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬二】已知角的終邊上有一點(diǎn)， （1）求的值；（2）求的值． 【答案】（1）3; （2） 【解析】【試題分析】（1）先依據(jù)正切函數(shù)的定義求出；（2）依據(jù)求得，繼而求出 ． 解：根據(jù)題意， （1）； （2） ． 6．【2018屆江蘇省鹽城中學(xué)全仿真模擬】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以ox軸為始邊作角α，角α+π4的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-2,1). (I)求cosα的值；(Ⅱ)求cos(5π6-2α)的值. 【答案】(1)-1010；(2)43-310. 【解析】分析：（1）由于角α+π4其終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-2,1)，故cos(α+π4)=-255，sin(α+π4)=55，再利用兩角和與差的正余弦公式即可； (2) sinα=sin(α+π4-π4) =sin(α+π4)cosπ4-cos (α+π4)sinπ4=31010. 則sin2α=2sinαcosα= -35cos2α=cos2α- sin2α=-45， cos(5π6-2α)=cos5π6 cos2α+sin5π6sin2α=43-310. 7．【浙江省杭州市2016-2017學(xué)年高二下學(xué)期期末】設(shè)A是單位圓O和x軸正半軸的交點(diǎn)，P，Q是圓O上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∠AOP=，∠AOQ=α，α∈[0， ]． （1）若Q，求cos（α﹣）的值； （2）設(shè)函數(shù)f（α）=sinα?（ ），求f（α）的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】試題分析：（1）由三角函數(shù)定義得，再根據(jù)兩角差余弦公式得cos（α﹣）的值；（2）先根據(jù)向量數(shù)量積得，再利用二倍角公式、配角公式得，最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求值域 試題解析：（1）由已知得 （2） 8．【2018屆浙江省紹興市3月模擬】已知函數(shù)f(x)=12sinxcosx -32cos2x+34. （Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）若x0∈[0,π2]，且f(x0)=12，求f(2x0)的值. 【答案】(1) T=π (2) -34 【解析】試題分析：（1）第（Ⅰ）問(wèn)，直接化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用三角函數(shù)的周期公式求解. (2)第（Ⅱ）問(wèn)，先解方程f(x0)=12得到x0的值，再求f(2x0)的值. 試題解析：（Ⅰ）f(x)=12sinxcosx -32cos2x+34 =14sin2x-34 (1+cos2x)+34. 即f(x)=12sin(2x-π3). 所以f(x)的最小正周期T=π. （Ⅱ）由x0∈[0,π2]，得2x0-π3∈[-π3,2π3]， 又因?yàn)閒(x0)=12sin(2x0-π3) =12， 所以2x0-π3=π2，即2x0=5π6. 所以f(2x0)=f(5π6) =12sin(2?5π6-π3) =12sin4π3=-34. 9.【2018屆浙江省杭州市第二次檢測(cè)】已知函數(shù)fx=sinx+7π4+cos(x-3π4) (Ⅰ）求f(x)的最小正周期和最大值; (Ⅱ)求函數(shù)y=f(-x)的單調(diào)減區(qū)間 【答案】（Ⅰ）最小正周期是2π，最大值是2．（Ⅱ）(54π+2kπ，94π+2kπ)(k∈z) 【解析】試題分析：1利用兩角和與差的余弦公式，二倍角的三角函數(shù)公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，即可得到f(x)的最小正周期和最大值2先求出f(-x)=2sin(x-34π)，再求單調(diào)區(qū)間 解析：（Ⅰ）因?yàn)閟in(x＋74π)＝cos(x－34π）， 所以f(x)＝2sin(x＋74π）=-2sin(x+34π). 所以函f(x)的最小正周期是2π，最大值是2． （Ⅱ）因?yàn)閒(-x)=2sin(x-34π)， 所以單調(diào)遞減區(qū)間為(54π+2kπ，94π+2kπ)(k∈z) 10．【2018屆浙江省溫州市9月一?！恳阎瘮?shù)f(x)=4cosxcos(x+2π3)+1． （1）求f(π6)的值； （2）求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間． 【答案】（1）-2 ；（2）π，kπ+π6,2π3+kπ（k∈Z）． 【解析】試題分析：（1）將x=π6代入f(x)=4cosxcos(x+2π3)+1，由兩角和的余弦公式結(jié)合特殊角的三角函數(shù)可得結(jié)果；（2）將cos(x+2π3)展開與4cosx相乘后利用余弦的二倍角公式以及輔助角公式可得f(x)=-2sin(2x+π6，根據(jù)周期公式可得f(x)的最小正周期，根據(jù)利用正弦函數(shù) 的單調(diào)性，解不等式即可得到單調(diào)遞增區(qū)間. 試題解析：（1）f(π6)=4cosπ6cos(π6+2π3)+1 =4cosπ6cos5π6+1 =432(-32)+1=-2． （2）f(x)=4cosxcos(x+2π3)+1 =4cosx(-12cosx-32sinx)+1 =-2cos2x-3sin2x+1 =-3sin2x-cos2x =-2sin(2x+π6)． 所以，f(x)的最小正周期為π， 當(dāng)2kπ+π2≤2x+π6≤3π2+2kπ（k∈Z）時(shí)，f(x)單調(diào)遞增， 即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ+π6,2π3+kπ（k∈Z）． 11.【騰遠(yuǎn)2018年（浙江卷）紅卷】已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+π6)-12. （1）求f(π6)的值； （2）當(dāng)x∈[0,π4]時(shí)，求函數(shù)f(x)的取值范圍. 【答案】（1）1；（2）[12,1]. 【解析】分析：（1）由三角恒等變換的公式化簡(jiǎn)得fx=sin(2x+π6)，即可求解f(π6)的值； （2）由（1）得fx=sin(2x+π6)，當(dāng)x∈[0,π4]時(shí)，得sin(2x+π6)∈[12,1]，即可求解f(x)的取值范圍. 詳解：（1）f(x)=3cosxsin(x+π6)-12 =2cosx(32sinx+12cosx)-12=3sinxcosx+cos2x-12=32sin2x+12cos2x =sin(2x+π6)， 則f(x)=sin(2π6+π6)=sinπ2=1. （2）由（1）得f(x)=sin(2x+π6)， 當(dāng)x∈[0,π4]時(shí)，2x+π6∈[π6,2π3]， 則sin(2x+π6)∈[12,1]， 即f(x)的取值范圍為[12,1]. 12．【2018屆浙江省寧波市高三上期末】已知函數(shù). （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值與最小值. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)最大值，最小值為. （Ⅱ）因?yàn)?，所? 當(dāng)，即時(shí)， 取得最大值； 當(dāng)，即時(shí)， . 即的最小值為.