山東省濟(jì)南市槐蔭區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第3章 圓 3.8 圓內(nèi)接正多邊形導(dǎo)學(xué)案 （新版）北師大版.doc

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3.8圓內(nèi)接正多邊形 預(yù)習(xí)案 一、預(yù)習(xí)目標(biāo)及范圍： 1.了解正多邊形和圓的有關(guān)概念. 2.理解并掌握正多邊形半徑和邊長(zhǎng)、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會(huì)應(yīng)用多邊形和圓的有關(guān)知識(shí)畫多邊形． 預(yù)習(xí)范圍：P99-100 二、預(yù)習(xí)要點(diǎn) 1.正多邊形概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做 ． 如果一個(gè)正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫 邊形． 等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形． 2.圓內(nèi)接正多邊形的概念：頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上的正多邊形叫做 。 這個(gè)圓叫做該正多邊形的 . 3.把一個(gè)圓等分（），依次連接各分點(diǎn)，我們就可以作出一個(gè) . 4.如圖，五邊形是圓的內(nèi)接正五邊形，圓心叫做這個(gè)正五邊形的 ；是這個(gè)正五邊形的 ；是這個(gè)正五邊形的 ；，垂足為，是這個(gè)正五邊形的的邊心距.在其他的正多邊形中也有同樣的定義. 三、預(yù)習(xí)檢測(cè) 分別求出半徑為R的圓內(nèi)接正三角形、正方形的邊長(zhǎng)、邊心距和面積. 探究案 一、合作探究 活動(dòng)內(nèi)容1： 探究1：正多邊形 正多邊形： ___________，_____________的多邊形叫做正多邊形. 正n邊形：如果一個(gè)正多邊形有n條邊，那么這個(gè)正多邊形叫做正n邊形. 【想一想】 菱形是正多邊形嗎？矩形是正多邊形嗎？為什么？ 求證：正五邊形的對(duì)角線相等 怎樣找圓的內(nèi)接正三角形？怎樣找圓的外切正三角形？ 怎樣找圓的內(nèi)接正方形？怎樣找圓的外切正方形？ 怎樣找圓的內(nèi)接正n邊形？怎樣找圓的外切正n邊形？ 【定理】把圓分成n（n≥3）等份： 依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形；經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形. 一個(gè)正多邊形是否一定有外接圓和內(nèi)切圓？ 【類比聯(lián)想】正三角形：有沒有外接圓和內(nèi)切圓？怎樣作出這兩個(gè)圓？這兩個(gè)圓有什么位置關(guān)系？ 正方形：有沒有外接圓和內(nèi)切圓？怎樣作出這兩個(gè)圓？這兩個(gè)圓有什么位置關(guān)系？ 那么，正n邊形呢？ 探究2：正多邊形是軸對(duì)稱圖形，正n邊形有n條對(duì)稱軸.若n為偶數(shù)，則其為中心對(duì)稱圖形. 活動(dòng)2：探究歸納 【定理】任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，并且這兩個(gè)圓是同心圓. 正多邊形的中心:一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心. 正多邊形的半徑:外接圓的半徑 正多邊形的中心角:正多邊形的每一邊所對(duì)的圓心角. 正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離. 以中心為圓心,邊心距為半徑的圓與各邊有何位置關(guān)系? 以中心為圓心,邊心距為半徑的圓為正多邊形的內(nèi)切圓。 活動(dòng)內(nèi)容2：典例精析 【例1】把圓分成5等份，求證： ⑴依次連接各分點(diǎn)所得的五邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正五邊形； ⑵經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的五邊形是這個(gè)圓的外切正五邊形. 證明:(1）∵弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EA， ∴AB=BC=CD=DE=EA， ∵BCE=CDA=3AB， ∴∠1=∠2， 同理∠2=∠3=∠4=∠5， 又∵頂點(diǎn)A，B，C，D，E都在⊙O上， ∴五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形. （2）連接OA，OB，OC，則 ∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB. ∵TP，PQ，QR分別是以A，B，C為切點(diǎn)的⊙O的切線， ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ. ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB. 又∵AB=BC， ∴AB=BC， ∴△PAB與△QBC是全等的等腰三角形. ∴∠P=∠Q,PQ=2PA. 同理∠Q=∠R=∠S=∠T， QR=RS=ST=TP=2PA， ∵五邊形PQRST的各邊都與⊙O相切， ∴五邊形PQRST是⊙O的外切正五邊形. 【例2】有一個(gè)亭子,它的地基是半徑為4m的正六邊形,求地基的周長(zhǎng)和面積(精確到0.1m2). 【解析】如圖，正六邊形ABCDEF的中心角為60，△OBC是等邊三角形，從而正六邊形的邊長(zhǎng)等于它的半徑. 因此,亭子地基的周長(zhǎng) 在Rt△OPC中,OC=4,PC=2.利用勾股定理,可得邊心距 亭子地基的面積 二、隨堂檢測(cè) 1.下列圖形中：①正五邊形；②等腰三角形；③正八邊形；④正2n（n為自然數(shù)）邊形；⑤任意的平行四邊形.是軸對(duì)稱圖形的有__________,是中心對(duì)稱圖形的有_________,既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形的有_________. 2.兩個(gè)正七邊形的邊心距之比為3:4，則它們的邊長(zhǎng)比為_____，面積比為_____，外接圓周長(zhǎng)比是______，中心角度數(shù)比是______. 3.正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的______． 4.正方形ABCD的內(nèi)切圓⊙O的半徑OE叫做正方形ABCD的 ________． 5.若正六邊形的邊長(zhǎng)為1,那么正六邊形的中心角是____度， 半徑是___，邊心距是 ，它的每一個(gè)內(nèi)角是____． 6.正n邊形的一個(gè)外角度數(shù)與它的______角的度數(shù)相等． 7.將一個(gè)正五邊形繞它的中心旋轉(zhuǎn),至少要旋轉(zhuǎn) 度,才能與原來的圖形位置重合. 參考答案 預(yù)習(xí)檢測(cè)： 【解析】作等邊△ABC的BC邊上的高AD,垂足為D 連接OB，則OB=R， 在Rt△OBD中,∠OBD=30, 邊心距OD= 在Rt△ABD中,∠BAD=30, ∴AB= ∴S△ABC= 連接OB，OC 作OE⊥BC，垂足為E，∠OEB=90， ∠OBE=∠BOE=45， Rt△OBE為等腰直角三角形， 隨堂檢測(cè) 1. ①②③④；③④⑤；③④ 2. 3:4；9:16；3:4；1:1 3. 中心 4. 邊心距 5.；1 6. 中心 7. 72