2019年高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 詳細(xì)分類題庫(kù) 考點(diǎn)55 不等式選講（文、理）（含詳解13高考題） .doc

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2019年高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 詳細(xì)分類題庫(kù) 考點(diǎn)55 不等式選講（文、理）（含詳解，13高考題） 一、選擇題 1.（xx安徽高考理科Ｔ4）“a≤0”“是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的 （ ） A. 充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【解題指南】 畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，數(shù)形結(jié)合判斷。 【解析】選C.由函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增可得其圖象如圖所示，,由圖象可知選項(xiàng)C正確。 二、填空題 2. （xx陜西高考理科Ｔ15）已知a, b, m, n均為正數(shù), 且a＋b＝1, mn＝2, 則(am＋bn)(bm＋an)的最小值為 . 【解題指南】利用柯西不等式求解. 【解析】,且僅當(dāng) 時(shí)取最小值 2. 【答案】 2. 3. （xx陜西高考文科Ｔ15）設(shè)a, b∈R, |a－b|>2, 則關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式的解集是 . 【解題指南】利用絕對(duì)值不等式的基本知識(shí)表示數(shù)軸上某點(diǎn)到a，b的距離之和即可得解. 【解析】函數(shù)的值域?yàn)椋?. 所以，不等式的解集為R。 【答案】 R. 4.（xx江西高考理科Ｔ15）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不等式的解集為___________. 【解題指南】根據(jù)絕對(duì)值的意義去絕對(duì)值符號(hào)求解. 【解析】由絕對(duì)值的意義，等價(jià)于，即 ，即. 【答案】. 5. （xx重慶高考理科Ｔ16）若關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式無解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 【解題指南】 利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解. 【解析】不等式無解，即 因?yàn)?所以 【答案】 . 6. （xx湖北高考理科Ｔ13）設(shè)x，y，z∈R，且滿足：x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,則x+y+z= 【解題指南】根據(jù)柯西不等式等號(hào)成立的條件，求出相應(yīng)的x，y，z的值。 【解析】由柯西不等式可知：（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+32），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)y=2x，z=3x，x+2y+3z=14x=，所以，，，x+y+z= 【答案】 . 7. （xx湖南高考理科Ｔ10）已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,則a2+4b2+9c2的最小值為　　　　. 【解題指南】本題是利用柯西不等式求最值 【解析】因?yàn)?，所? 【答案】 12. 三、解答題 8.（xx遼寧高考文科Ｔ24）與（xx遼寧高考理科Ｔ24）相同 已知函數(shù) 當(dāng)時(shí)，求不等式的解集； 已知關(guān)于的不等式的解集為，求的值。 【解題指南】利用絕對(duì)值的意義，去掉絕對(duì)值號(hào)，轉(zhuǎn)化為整式不等式問題，是常用的化歸方法. 【解析】當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，由； 當(dāng)時(shí)，由，不成立； 當(dāng)時(shí)，由； 綜上， 所以，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為 記 則 由得， 即 由已知不等式的解集為 亦即的解集為 所以解得24. 9.（xx新課標(biāo)Ⅰ高考文科Ｔ24）與（xx新課標(biāo)Ⅰ高考理科Ｔ24）相同 已知函數(shù), （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集； （Ⅱ）設(shè),且當(dāng))時(shí)，,求的取值范圍. 【解析】當(dāng)時(shí)，不等式化為. 設(shè)函數(shù)，則 其圖象如圖所示， 從圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.所以原不等式的解集是. （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，. 不等式化為. 所以對(duì)都成立，故，即. 從而的取值范圍為 10. （xx湖南高考理科Ｔ20）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將從點(diǎn)M出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點(diǎn)N的任一路徑稱為M到N的一條“L路徑”.如圖所示的路徑MM1M2M3N與路徑MN1N都是M到N的“L路徑”.某地有三個(gè)新建的居民區(qū),分別位于平面xOy內(nèi)三點(diǎn)A(3,20),B(-10,0),C(14,0)處.現(xiàn)計(jì)劃在x軸上方區(qū)域(包含x軸)內(nèi)的某一點(diǎn)P處修建一個(gè)文化中心. (1)寫出點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值的表達(dá)式(不要求證明). (2)若以原點(diǎn)O為圓心,半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū),“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū),請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置,使其到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度值和最小. 【解題指南】(1)本題必須根據(jù)題目中圖的提示弄清“L路徑”是由直線段構(gòu)成,所以只能用絕對(duì)值來表示. (2)先寫出點(diǎn)P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”,則點(diǎn)P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度值和的最小值為三個(gè)“L路徑”的最小值之和,再利用絕對(duì)值知識(shí)去處理. 【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y), (1)點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值為|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞). (2)由題意知,點(diǎn)P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和的最小值為點(diǎn)P分別到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度最小值之和(記為d)的最小值. ①當(dāng)y≥1時(shí),d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|, 因?yàn)閐1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|,　(*) 當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí),不等式(*)中的等號(hào)成立, 又因?yàn)閨x+10|+|x-14|≥24.　(**) 當(dāng)且僅當(dāng)x∈[-10,14]時(shí),不等式(**)中的等號(hào)成立. 所以d1(x)≥24,當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí),等號(hào)成立, d2(y)=2y+|y-20|≥21,當(dāng)且僅當(dāng)y=1時(shí),等號(hào)成立.故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,1)時(shí),P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和最小,且最小值為45. ②當(dāng)0≤y≤1時(shí),由于“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū),所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|. 此時(shí),d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|, d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21. 由①知,d1(x)≥24,故d1(x)+d2(y)≥45,當(dāng)且僅當(dāng)x=3,y=1時(shí)等號(hào)成立. 綜上所述,在點(diǎn)P(3,1)處修建文化中心,可使該文化中心到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和最小. 11.（xx安徽高考理科Ｔ20） 設(shè)函數(shù)，證明： （1）對(duì)每個(gè)，存在唯一的，滿足； （2）對(duì)任意，由（1）中構(gòu)成的數(shù)列滿足。 【解題指南】 （1）利用導(dǎo)數(shù)證明在內(nèi)單調(diào)遞增，證明在內(nèi)有零點(diǎn)；（2）利用（1）得的遞減函數(shù)，聯(lián)立與得的關(guān)系式，適當(dāng)放縮證明。 【解析】（1）對(duì)每個(gè)，當(dāng)x>0時(shí)，內(nèi)單調(diào)遞增，由于，當(dāng)， 又 =，所以存在唯一的滿足。 （2） 當(dāng)x>0時(shí)，，故 由內(nèi)單調(diào)遞增知，為單調(diào)遞減數(shù)列，從而對(duì)任意，，對(duì)任意，由于 ① ② ①式減去②式并移項(xiàng)，利用得 ， 因此，對(duì)任意，都有。 12.（xx福建高考理科Ｔ21）設(shè)不等式的解集為A,且 （Ⅰ）求的值 （Ⅱ）求函數(shù)的最小值 【解析】（Ⅰ）因?yàn)?，且，所以，? 解得，又因?yàn)?，所? （Ⅱ）因?yàn)? 當(dāng)且僅當(dāng)(x+1)(x-2)≤0即-1≤x≤2時(shí)取到等號(hào),所以f(x)的最小值為3. 13.. （xx新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ高考文科Ｔ24）與（xx新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ高考理科Ｔ24）相同 設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明： （1） （2） 【解題指南】(1)將兩邊平方，化簡(jiǎn)整理，借助不等式的性質(zhì)，即得結(jié)論. (2) 證，也即證 可分別證然后相加即得. 【解析】（1）由得 由題設(shè)得即 所以，即當(dāng)且僅當(dāng)“ ”時(shí)等號(hào)成立。 （2）因?yàn)? 當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)等號(hào)成立. 故，即 所以.