2019-2020年高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題 含解析.doc

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2019-2020年高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題 含解析 一、選擇題（共12小題，共60分） 1．已知集合，，則（ ） A． B． C． D． 2．已知函數(shù)，若互不相等，且，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 3．已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 4．平行線和的距離是（ ） A． B．2 C． D． 5．在三棱柱中，各棱長(zhǎng)相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)是側(cè)面的中心，則與平面所成角的大小是（ ） A． B． C． D． 6．已知是兩個(gè)不同的平面，m ，n是兩條不同的直線給出下列命題： ①若則； ②若，則； ③如果是異面直線，那么n與α相交； ④若則n∥α且. 其中的真命題是（ ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 7．如圖，在棱長(zhǎng)均為2的正四棱錐中，點(diǎn)為中點(diǎn)，則下列命題正確的是（ ） A．平面，且直線到平面的距離為 B．平面，且直線到平面的距離為 C．不平行于平面，且到平面所成角大于 D．不平行于平面，且到平面所成角小于 8．拋擲兩個(gè)骰子，至少有一個(gè)點(diǎn)或點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，就說(shuō)這些試驗(yàn)成功，則在次試驗(yàn)中，成功次數(shù)的期望是（ ） A． B． C． D． 9．有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為（ ） A． B． C． D． 10．從1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2個(gè)數(shù)，事件A=“第一次取到的是奇數(shù)”，B=“第二次取到的是奇數(shù)”，則P（B|A）=（ ） A． B． C． D． 11．如圖是函數(shù)（，，）圖象的一部分．為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象，只要將（）的圖象上所有的點(diǎn)（ ） A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所有各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所有各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變 C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所有各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所有各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變 12．已知，若，則直線的傾斜角為（ ） A． B． C． D． 第II卷（非選擇題） 二、填空題（4小題，共20分） 13．函數(shù)（）為增函數(shù)的區(qū)間是 ． 14．一個(gè)袋中有12個(gè)除顏色外完全相同的球， 2個(gè)紅球，5個(gè)綠球，5個(gè)黃球，從中任取一球，不放回后再取一球，則第一次取出紅球時(shí)第二次取出黃球的概率為 . 15．已知棱長(zhǎng)為1的立方體，則從頂點(diǎn)經(jīng)過(guò)立方體表面到達(dá)正方形的心的最短路線有______條． 16．已知不等式的解集為，函數(shù)的定義域?yàn)?，則圖中陰影部分表示的集合為 ． 三、解答題（8小題，共70分） 17．若關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程有兩個(gè)根，一個(gè)根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，記點(diǎn)對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)? （1）設(shè)，求的取值范圍； （2）過(guò)點(diǎn)的一束光線，射到軸被反射后經(jīng)過(guò)區(qū)域，求反射光線所在直線經(jīng)過(guò)區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn) （即橫縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)）時(shí)直線的方程. 18．已知函數(shù)在處取得極值. （1）求實(shí)數(shù)的值； （2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 19．如圖，直角三角形中，，沿斜邊上的高，將折起到的位置，點(diǎn)在線段上. （1）求證：； （2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，若平面，求的值. 20．選修4-1：幾何證明選講 如圖，圓是的外接圓，是弧的中點(diǎn)，交于點(diǎn). （1）求證：； （2）若，點(diǎn)到的距離為1，求圓的半徑. 21．某公司的兩個(gè)部門(mén)招聘工作人員，應(yīng)聘者從、兩組試題中選擇一組參加測(cè)試，成績(jī)合格者可簽約．甲、乙、丙、丁四人參加應(yīng)聘考試，其中甲、乙兩人選擇使用試題，且表示只要成績(jī)合格就簽約；丙、丁兩人選擇使用試題，并約定：兩人成績(jī)都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約．已知甲、乙考試合格的概率都是，丙、丁考試合格的概率都是，且考試是否合格互不影響． （Ⅰ）求丙、丁未簽約的概率； （Ⅱ）記簽約人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望． 22．為了了解某學(xué)段1000名學(xué)生的百米成績(jī)情況，隨機(jī)抽取了若干學(xué)生的百米成績(jī)，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，將成績(jī)按如下方式分成五組：第一組.按上述分組得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右前3個(gè)組的頻率之比為3:8:19，且第二組的頻數(shù)為8. （1）將頻率當(dāng)作概率，請(qǐng)估計(jì)該學(xué)段學(xué)生中百米成績(jī)?cè)赱16,17)內(nèi)的人數(shù)以及所有抽取學(xué)生的百米成績(jī)的中位數(shù)（精確到0.01秒）； （2）若從第一、五組中隨機(jī)取出兩個(gè)成績(jī)，求這兩個(gè)成績(jī)的差的絕對(duì)值大于1秒的概率. 23．已知函數(shù)（，）的最大值為，且最小正周期為． （Ⅰ）求函數(shù)的解析式及其對(duì)稱軸方程； （Ⅱ）若，求的值． 24．已知向量，. （1）若，求的值； （2）記在中角的對(duì)邊分別為，且滿足，求 的取值范圍. 參考答案 1．B 【解析】 試題分析：由條件，.則.故本題答案選B. 考點(diǎn)：1.一元二次不等式；2.含絕對(duì)值的不等式；3.交集. 2．C 【解析】 試題分析：畫(huà)出函數(shù)圖象如下圖所示，由圖可知，故選C. 考點(diǎn)：函數(shù)圖象與性質(zhì). 【思路點(diǎn)晴】本題是年全國(guó)卷第題.主要的解題思路就是數(shù)形結(jié)合.有關(guān)函數(shù)的問(wèn)題，往往可以先畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后利用圖象與性質(zhì)來(lái)解決.本題分段函數(shù)中第一段是對(duì)數(shù)函數(shù)外面加絕對(duì)值，我們先畫(huà)出絕對(duì)值里面的函數(shù)，然后把軸下方的圖象向上翻折，就可以得到的圖象；第二段是一次函數(shù)，圖象為直線. 3．A 【解析】 試題分析：當(dāng)時(shí),不滿足題設(shè),故,此時(shí),對(duì)稱軸,顯然,即,所以答案C被排除.容易驗(yàn)證當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間和上不滿足題設(shè), 答案D被排除.當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間和上也滿足題設(shè),當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間和上滿足題設(shè),故應(yīng)選答案A. 考點(diǎn)：二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)． 【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題以含絕對(duì)值符號(hào)的二次函數(shù)為背景，考查的是函數(shù)中參數(shù)的取值范圍問(wèn)題.解答時(shí)充分借助函數(shù)的解析表達(dá)式,運(yùn)用二次函數(shù)的圖像等許多有關(guān)知識(shí)進(jìn)行合理推理和判斷.取值進(jìn)行判斷是解答本題的一大特色.解答時(shí)應(yīng)充分依據(jù)題設(shè)條件,對(duì)題設(shè)中提供的幾個(gè)命題進(jìn)行分析推斷最后作出真假命題的判斷.對(duì)于假命題,僅舉出一個(gè)反例,進(jìn)行了推斷從而說(shuō)明它是假命題.運(yùn)用反例是否定一個(gè)命題是真命題的有效方式和方法. 4．B 【解析】 試題分析：由兩平行直線之間的距離公式可得,故應(yīng)選B. 考點(diǎn)：兩條平行線之間的距離公式． 5．C 【解析】 試題分析：如圖，取中點(diǎn)，連接、、，依題意知三棱柱為正三棱柱，易得平面，故為與平面所成的角．設(shè)各棱長(zhǎng)為，則，，，∴．故選C. 考點(diǎn)：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系. 6．D 【解析】 試題分析：若由線面垂直的可得面面垂直，即，①正確；若，由線面垂直與線面平行的相關(guān)性質(zhì)可得，，②錯(cuò)誤；如果是異面直線，也可出現(xiàn)n與α平行，③錯(cuò)誤；若由線面平行的相關(guān)性質(zhì)可得且.④正確.故本題答案選D. 考點(diǎn)：線面間的位置關(guān)系的判定與性質(zhì)． 7．D 【解析】 試題分析：若平面，而平面，所以平面平面，矛盾，所以不正確.取中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，依題意有，故，故，線面角為直線與平面內(nèi)直線所成角的最小值，故到平面所成角小于. 考點(diǎn)：直線與平面的位置關(guān)系. 8．D 【解析】 試題分析：在次試驗(yàn)中,成功的次數(shù)服從二項(xiàng)分布,每次實(shí)驗(yàn)成功的概率為,故次試驗(yàn)中,成功次數(shù)的數(shù)學(xué)期望,故應(yīng)選D. 考點(diǎn)：隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望． 9．A 【解析】 試題分析：總的方法數(shù)有種，符合題意的有種，故概率為. 考點(diǎn)：概率． 10．D 【解析】 試題分析：事件A共有種取法，其中第二次取到的是奇數(shù)的有種取法，因此,選D. 考點(diǎn)：條件概率 11．A 【解析】 試題分析：從圖象提供的信息可以可以看出,由此可得,則,將代入可得,即,所以,所以,故應(yīng)選A. 考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象及變換． 12．D 【解析】 試題分析：由題設(shè)可知函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱,因此,即,故,即,故，所以應(yīng)選D. 考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及直線的斜率與傾斜角的關(guān)系． 13． 【解析】 試題分析：因?yàn)?所以只要求函數(shù)的減區(qū)間即可.解可得,即,所以,故答案為. 考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象和基本性質(zhì)的運(yùn)用． 【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題以函數(shù)的表達(dá)式的單調(diào)區(qū)間為背景,考查的是三角函數(shù)中形如的正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì).解答時(shí)先從題設(shè)中的條件增函數(shù)入手,對(duì)函數(shù)進(jìn)行變形,將其變形為一般式,將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的減區(qū)間.最后將其轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間的求法.通過(guò)解不等式使得本題獲解. 14．. 【解析】 試題分析：根據(jù)題意，第一次取出紅球后不放回，剩余球的總個(gè)數(shù)為11個(gè)，黃球的個(gè)數(shù)為5個(gè)，再根據(jù)概率公式解答即可，所以其概率為． 故答案為：. 考點(diǎn)：等可能事件的概率. 15．2 【解析】 試題分析：沿邊或展開(kāi)將正方形與正方形或正方形共面，所以經(jīng)過(guò)邊或時(shí)，路線最短，有2條． 考點(diǎn)：正方體展開(kāi)圖 16． 【解析】 試題分析：由題設(shè)得,則,則 . 考點(diǎn)：集合的交集補(bǔ)集運(yùn)算． 17．（1）；（2）. 【解析】 試題分析：（1）借助題設(shè)建立不等式組運(yùn)用線性規(guī)劃的知識(shí)求解；（2）借助題設(shè)條件運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式方程求解. 試題解析: 方程的兩根在區(qū)間和上的幾何意義是：函數(shù)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別在區(qū)間和內(nèi)，由此可得不等式組，即，則在坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的區(qū)域如圖陰影部分所示， 易得圖中三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為， （1） 令，則直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值，經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)取得最大值， 即，， 又三點(diǎn)的值沒(méi)有取到，所以； （2）過(guò)點(diǎn)的光線經(jīng)軸反射后的光線必過(guò)點(diǎn)，由圖可知，可能滿足條件的整點(diǎn)為，再結(jié)合不等式知點(diǎn)符合條件， 所以此時(shí)直線方程為：，即. 考點(diǎn)：線性規(guī)劃的知識(shí)及直線的方程等有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用． 【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題以方程的根的分布為背景,考查的是線性約束條件與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的綜合運(yùn)用問(wèn)題.解答時(shí)先依據(jù)題設(shè)條件建立不等式組,然后再構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系,準(zhǔn)確的畫(huà)出滿足題設(shè)條件的不等式組所表示的平面區(qū)域,然后借助該平面區(qū)域所表示的圖形,數(shù)形結(jié)合求出中參數(shù)的取值范圍和滿足題設(shè)條件的反射光線所在直線的方程. 18．（1）（2） 【解析】 試題分析：（1）由極值定義得，解方程組得（2）方程根的個(gè)數(shù)往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，先利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)變化規(guī)律：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此要有兩個(gè)零點(diǎn)，須，解得的取值范圍. 試題解析：（1）由題設(shè)可知 當(dāng)時(shí)，取得極值0 解得 經(jīng)檢驗(yàn)符合題意 （2）由（1）知， 則方程 即為 令 則方程在區(qū)間恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根. 令=0，得x1=1 或 x2=—（舍） 當(dāng)時(shí)，，于是在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，于是在上單調(diào)遞增； 依題意有 考點(diǎn)：極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn) 【思路點(diǎn)睛】涉及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題、方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題、函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，一般先通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，再借助函數(shù)的大致圖象判斷零點(diǎn)、方程根、交點(diǎn)的情況，歸根到底還是研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值，然后通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想找到解題的思路. 19．（1）證明見(jiàn)解析；（2）. 【解析】 試題分析：（1）由是邊上的高，得出，由此證明平面，即可證明；（2）連接，交與點(diǎn)，由平面，得出，證明是等邊三角形，再利用直角三角形的邊角關(guān)系求出的值即可． 試題解析：（1）因?yàn)槭沁吷系母?，所以，又? ∴平面.∵平面，所以. （2）連接，交與點(diǎn)， 平面，且平面，平面平面，∴, ∴，又，∴是等邊三角形 設(shè)，則，，∴. 考點(diǎn)：（1）直線與平面垂直；（2）直線與平面平行的性質(zhì). 【方法點(diǎn)晴】本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了空間想象能力與邏輯推理能力的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．在第一問(wèn)中主要通過(guò)線面垂判定定理得到線面垂直，然后得到線線垂直，線線垂直與線面垂直之間的互化是在證明垂直過(guò)程中常用的手段；在第二問(wèn)中首先根據(jù)線面平行性質(zhì)定理，得到，根據(jù)長(zhǎng)度與角的關(guān)系得到是等邊三角形，可得解. 20．（1）證明見(jiàn)解析；（2）. 【解析】 試題分析：（1）利用同弧所對(duì)的圓周相等，可證明,利用相似比可得；（2）連接，設(shè)交于點(diǎn)，由垂徑定理有，通過(guò)解直角三角形可得，解得. 試題解析： （1）證明：因?yàn)?，，所? 又，所以∽. 所以，所以. （2）連接，設(shè)交于點(diǎn). 因?yàn)辄c(diǎn)是弧的中點(diǎn)，所以. 在中，，，即. 在中，， 所以，解得. 考點(diǎn)：幾何證明選講. 21．（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列見(jiàn)解析，. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）運(yùn)用對(duì)立事件和互斥事件的概率公式求解；（Ⅱ）借助題設(shè)條件運(yùn)用數(shù)學(xué)期望的公式求解. 試題解析: （Ⅰ）分別記事件甲、乙、丙、丁考試合格為，，，．由題意知，，， 相互獨(dú)立，且，．記事件“丙、丁未簽約”為， 由事件的獨(dú)立性和互斥性得： （Ⅱ）的所有可能取值為，，，，． ； ； ； ； ． 所以，的分布列是： 的數(shù)學(xué)期望 考點(diǎn)：對(duì)立事件、互斥事件的概率和隨機(jī)變量的概率分布與數(shù)學(xué)期望公式的綜合運(yùn)用． 22．（1）；（2）. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)頻率分步直方圖中小正方形的面積是這組數(shù)據(jù)的頻率，用長(zhǎng)乘以寬得到面積，即為頻率．根據(jù)所有的頻率之和是，列出關(guān)于的方程，解出的值，繼而求出相應(yīng)小組的人數(shù)，再設(shè)中位數(shù)為，列出關(guān)于的方程解得即可；（2）本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生所包含的事件是從第一、五組中隨機(jī)取出兩個(gè)成績(jī)，滿足條件的事件是成績(jī)的差的絕對(duì)值大于秒，列舉出事件數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式得到結(jié)果. 試題解析：（1）設(shè)前組的頻率依次為，則由題意可得，由此得：,所以第二組的頻率為. 因?yàn)榈诙M的頻率為，所以抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)為. 由此可估計(jì)學(xué)生中百米成績(jī)?cè)趦?nèi)的人數(shù)為（人）. 設(shè)所求中位數(shù)為， 由上述計(jì)算可知第一組、第二組、第三組的頻率分別為， 則，解得. 故所有抽取學(xué)生的百米成績(jī)的中位數(shù)為秒. （2）記“兩個(gè)成績(jī)的差的絕對(duì)值大于秒”為事件. 由（1）可知從第一組抽取的人數(shù)為，不妨記為， 從第五組抽取的人數(shù)為，不妨記為， 則從第一、五組中隨機(jī)取出兩個(gè)成績(jī)有： 這種可能； 其中兩個(gè)成績(jī)的差的絕對(duì)值大于秒的來(lái)自不同的組，共有種. 所以. 故兩個(gè)成績(jī)的差的絕對(duì)值大于秒單調(diào)概率為. 考點(diǎn)：（1）頻率分布直方圖；（2）古典概型. 23．（Ⅰ）,對(duì)稱軸為（）；（Ⅱ）. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸；（Ⅱ）借助題設(shè)條件將復(fù)合命題分類轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解. 試題解析: （Ⅰ）， 由題意的周期為，所以，得 最大值為，故，又， 令，解得的對(duì)稱軸為（）． （Ⅱ）由知，即， 考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)及三角變換公式的運(yùn)用． 【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題以函數(shù)的最大值和最小正周期為背景,考查的是三角函數(shù)中形如的正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì).解答時(shí)先從題設(shè)中的條件入手,先運(yùn)用倍角公式將其化簡(jiǎn)為的形式,再運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求出其中的參數(shù)的值,最后再解決題設(shè)中提出的問(wèn)題即可.需要強(qiáng)調(diào)是對(duì)稱軸的方程是是取得最值的的值,即,學(xué)生在求解時(shí)很容易錯(cuò)寫(xiě)成從而致錯(cuò). 24．（1）；（2）. 【解析】 試題分析：（1）借助題設(shè)條件和向量的數(shù)量積公式求解；（2）借助題設(shè)條件和正弦定理求解. 試題解析: （1） . ∴. ∴. ∴. （2），∴，∴. ∴，∴，∴. 又∵，∴. 考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象、正弦定理、向量的數(shù)量積等有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用．