2019-2020年高三上學期開學考試數(shù)學試題 含解析.doc

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2019-2020年高三上學期開學考試數(shù)學試題 含解析一、選擇題（共12小題，共60分）1已知集合，則（ ）A B C D2已知函數(shù)，若互不相等，且，則的取值范圍是（ ）A B C D3已知為實數(shù)，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（ ）A B C D4平行線和的距離是（ ）A B2 C D5在三棱柱中，各棱長相等，側棱垂直于底面，點是側面的中心，則與平面所成角的大小是（ ）A B C D6已知是兩個不同的平面，m ，n是兩條不同的直線給出下列命題：若則；若，則；如果是異面直線，那么n與相交；若則n且.其中的真命題是（ ）A B C D7如圖，在棱長均為2的正四棱錐中，點為中點，則下列命題正確的是（ ）A平面，且直線到平面的距離為B平面，且直線到平面的距離為C不平行于平面，且到平面所成角大于D不平行于平面，且到平面所成角小于8拋擲兩個骰子，至少有一個點或點出現(xiàn)時，就說這些試驗成功，則在次試驗中，成功次數(shù)的期望是（ ）A B C D9有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為（ ）A B C D10從1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2個數(shù)，事件A=“第一次取到的是奇數(shù)”，B=“第二次取到的是奇數(shù)”，則P（B|A）=（ ）A B C D11如圖是函數(shù)（，）圖象的一部分為了得到這個函數(shù)的圖象，只要將（）的圖象上所有的點（ ）A向左平移個單位長度，再把所有各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變B向左平移個單位長度，再把所有各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變C向左平移個單位長度，再把所有各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變D向左平移個單位長度，再把所有各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變12已知，若，則直線的傾斜角為（ ）A B C D第II卷（非選擇題）二、填空題（4小題，共20分）13函數(shù)（）為增函數(shù)的區(qū)間是 14一個袋中有12個除顏色外完全相同的球， 2個紅球，5個綠球，5個黃球，從中任取一球，不放回后再取一球，則第一次取出紅球時第二次取出黃球的概率為 .15已知棱長為1的立方體，則從頂點經(jīng)過立方體表面到達正方形的心的最短路線有_條16已知不等式的解集為，函數(shù)的定義域為，則圖中陰影部分表示的集合為 三、解答題（8小題，共70分）17若關于的實系數(shù)方程有兩個根，一個根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，記點對應的區(qū)域為.（1）設，求的取值范圍；（2）過點的一束光線，射到軸被反射后經(jīng)過區(qū)域，求反射光線所在直線經(jīng)過區(qū)域內(nèi)的整點（即橫縱坐標為整數(shù)的點）時直線的方程.18已知函數(shù)在處取得極值.（1）求實數(shù)的值；（2）若關于的方程在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.19如圖，直角三角形中，沿斜邊上的高，將折起到的位置，點在線段上.（1）求證：；（2）過點作交于點，點為中點，若平面，求的值.20選修4-1：幾何證明選講如圖，圓是的外接圓，是弧的中點，交于點.（1）求證：；（2）若，點到的距離為1，求圓的半徑.21某公司的兩個部門招聘工作人員，應聘者從、兩組試題中選擇一組參加測試，成績合格者可簽約甲、乙、丙、丁四人參加應聘考試，其中甲、乙兩人選擇使用試題，且表示只要成績合格就簽約；丙、丁兩人選擇使用試題，并約定：兩人成績都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約已知甲、乙考試合格的概率都是，丙、丁考試合格的概率都是，且考試是否合格互不影響（）求丙、丁未簽約的概率；（）記簽約人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望22為了了解某學段1000名學生的百米成績情況，隨機抽取了若干學生的百米成績，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，將成績按如下方式分成五組：第一組.按上述分組得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右前3個組的頻率之比為3:8:19，且第二組的頻數(shù)為8.（1）將頻率當作概率，請估計該學段學生中百米成績在16,17)內(nèi)的人數(shù)以及所有抽取學生的百米成績的中位數(shù)（精確到0.01秒）；（2）若從第一、五組中隨機取出兩個成績，求這兩個成績的差的絕對值大于1秒的概率.23已知函數(shù)（，）的最大值為，且最小正周期為（）求函數(shù)的解析式及其對稱軸方程；（）若，求的值24已知向量，.（1）若，求的值；（2）記在中角的對邊分別為，且滿足，求的取值范圍.參考答案1B【解析】試題分析：由條件，.則.故本題答案選B.考點：1.一元二次不等式；2.含絕對值的不等式；3.交集.2C【解析】試題分析：畫出函數(shù)圖象如下圖所示，由圖可知，故選C.考點：函數(shù)圖象與性質.【思路點晴】本題是年全國卷第題.主要的解題思路就是數(shù)形結合.有關函數(shù)的問題，往往可以先畫出函數(shù)的圖象，然后利用圖象與性質來解決.本題分段函數(shù)中第一段是對數(shù)函數(shù)外面加絕對值，我們先畫出絕對值里面的函數(shù)，然后把軸下方的圖象向上翻折，就可以得到的圖象；第二段是一次函數(shù)，圖象為直線.3A【解析】試題分析：當時,不滿足題設,故,此時,對稱軸,顯然,即,所以答案C被排除.容易驗證當時,函數(shù)在區(qū)間和上不滿足題設, 答案D被排除.當時,函數(shù)在區(qū)間和上也滿足題設,當時,函數(shù)在區(qū)間和上滿足題設,故應選答案A.考點：二次函數(shù)的圖象和性質【易錯點晴】本題以含絕對值符號的二次函數(shù)為背景，考查的是函數(shù)中參數(shù)的取值范圍問題.解答時充分借助函數(shù)的解析表達式,運用二次函數(shù)的圖像等許多有關知識進行合理推理和判斷.取值進行判斷是解答本題的一大特色.解答時應充分依據(jù)題設條件,對題設中提供的幾個命題進行分析推斷最后作出真假命題的判斷.對于假命題,僅舉出一個反例,進行了推斷從而說明它是假命題.運用反例是否定一個命題是真命題的有效方式和方法.4B【解析】試題分析：由兩平行直線之間的距離公式可得,故應選B.考點：兩條平行線之間的距離公式5C【解析】試題分析：如圖，取中點，連接、，依題意知三棱柱為正三棱柱，易得平面，故為與平面所成的角設各棱長為，則，故選C.考點：空間中直線與平面之間的位置關系.6D【解析】試題分析：若由線面垂直的可得面面垂直，即，正確；若，由線面垂直與線面平行的相關性質可得，錯誤；如果是異面直線，也可出現(xiàn)n與平行，錯誤；若由線面平行的相關性質可得且.正確.故本題答案選D.考點：線面間的位置關系的判定與性質7D【解析】試題分析：若平面，而平面，所以平面平面，矛盾，所以不正確.取中點，取中點，連接，依題意有，故，故，線面角為直線與平面內(nèi)直線所成角的最小值，故到平面所成角小于.考點：直線與平面的位置關系.8D【解析】試題分析：在次試驗中,成功的次數(shù)服從二項分布,每次實驗成功的概率為,故次試驗中,成功次數(shù)的數(shù)學期望,故應選D.考點：隨機變量的概率分布和數(shù)學期望9A【解析】試題分析：總的方法數(shù)有種，符合題意的有種，故概率為.考點：概率10D【解析】試題分析：事件A共有種取法，其中第二次取到的是奇數(shù)的有種取法，因此,選D.考點：條件概率11A【解析】試題分析：從圖象提供的信息可以可以看出,由此可得,則,將代入可得,即,所以,所以,故應選A.考點：三角函數(shù)的圖象及變換12D【解析】試題分析：由題設可知函數(shù)關于直線對稱,因此,即,故,即,故，所以應選D.考點：三角函數(shù)的圖象和性質及直線的斜率與傾斜角的關系13【解析】試題分析：因為,所以只要求函數(shù)的減區(qū)間即可.解可得,即,所以,故答案為.考點：三角函數(shù)的圖象和基本性質的運用【易錯點晴】本題以函數(shù)的表達式的單調(diào)區(qū)間為背景,考查的是三角函數(shù)中形如的正弦函數(shù)的圖象和性質.解答時先從題設中的條件增函數(shù)入手,對函數(shù)進行變形,將其變形為一般式,將其轉化為求函數(shù)的減區(qū)間.最后將其轉化為正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間的求法.通過解不等式使得本題獲解.14.【解析】試題分析：根據(jù)題意，第一次取出紅球后不放回，剩余球的總個數(shù)為11個，黃球的個數(shù)為5個，再根據(jù)概率公式解答即可，所以其概率為故答案為：.考點：等可能事件的概率.152【解析】試題分析：沿邊或展開將正方形與正方形或正方形共面，所以經(jīng)過邊或時，路線最短，有2條考點：正方體展開圖16【解析】試題分析：由題設得,則,則.考點：集合的交集補集運算17（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）借助題設建立不等式組運用線性規(guī)劃的知識求解；（2）借助題設條件運用直線的點斜式方程求解.試題解析:方程的兩根在區(qū)間和上的幾何意義是：函數(shù)與軸的兩個交點的橫坐標分別在區(qū)間和內(nèi)，由此可得不等式組，即，則在坐標平面內(nèi)，點對應的區(qū)域如圖陰影部分所示，易得圖中三點的坐標分別為，（1） 令，則直線經(jīng)過點時，取得最小值，經(jīng)過點時取得最大值，即，又三點的值沒有取到，所以；（2）過點的光線經(jīng)軸反射后的光線必過點，由圖可知，可能滿足條件的整點為，再結合不等式知點符合條件，所以此時直線方程為：，即.考點：線性規(guī)劃的知識及直線的方程等有關知識的綜合運用【易錯點晴】本題以方程的根的分布為背景,考查的是線性約束條件與數(shù)形結合的數(shù)學思想的綜合運用問題.解答時先依據(jù)題設條件建立不等式組,然后再構建平面直角坐標系,準確的畫出滿足題設條件的不等式組所表示的平面區(qū)域,然后借助該平面區(qū)域所表示的圖形,數(shù)形結合求出中參數(shù)的取值范圍和滿足題設條件的反射光線所在直線的方程.18（1）（2）【解析】試題分析：（1）由極值定義得，解方程組得（2）方程根的個數(shù)往往轉化為函數(shù)零點個數(shù)，先利用導數(shù)分析函數(shù)單調(diào)變化規(guī)律：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此要有兩個零點，須，解得的取值范圍.試題解析：（1）由題設可知 當時，取得極值0 解得 經(jīng)檢驗符合題意 （2）由（1）知，則方程 即為 令則方程在區(qū)間恰有兩個不同實數(shù)根. 令=0，得x1=1 或 x2=（舍）當時，于是在上單調(diào)遞減；當時，于是在上單調(diào)遞增；依題意有 考點：極值，利用導數(shù)研究函數(shù)零點【思路點睛】涉及函數(shù)的零點問題、方程解的個數(shù)問題、函數(shù)圖像交點個數(shù)問題，一般先通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，再借助函數(shù)的大致圖象判斷零點、方程根、交點的情況，歸根到底還是研究函數(shù)的性質，如單調(diào)性、極值，然后通過數(shù)形結合的思想找到解題的思路.19（1）證明見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）由是邊上的高，得出，由此證明平面，即可證明；（2）連接，交與點，由平面，得出，證明是等邊三角形，再利用直角三角形的邊角關系求出的值即可試題解析：（1）因為是邊上的高，所以，又，平面.平面，所以.（2）連接，交與點，平面，且平面，平面平面，,，又，是等邊三角形設，則，.考點：（1）直線與平面垂直；（2）直線與平面平行的性質.【方法點晴】本題考查了空間中的平行與垂直關系的應用問題，也考查了空間想象能力與邏輯推理能力的應用問題，是綜合性題目在第一問中主要通過線面垂判定定理得到線面垂直，然后得到線線垂直，線線垂直與線面垂直之間的互化是在證明垂直過程中常用的手段；在第二問中首先根據(jù)線面平行性質定理，得到，根據(jù)長度與角的關系得到是等邊三角形，可得解.20（1）證明見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）利用同弧所對的圓周相等，可證明,利用相似比可得；（2）連接，設交于點，由垂徑定理有，通過解直角三角形可得，解得.試題解析：（1）證明：因為，所以.又，所以.所以，所以.（2）連接，設交于點.因為點是弧的中點，所以.在中，即.在中，所以，解得.考點：幾何證明選講.21（）；（）分布列見解析，.【解析】試題分析：（）運用對立事件和互斥事件的概率公式求解；（）借助題設條件運用數(shù)學期望的公式求解.試題解析:（）分別記事件甲、乙、丙、丁考試合格為，由題意知，相互獨立，且，記事件“丙、丁未簽約”為，由事件的獨立性和互斥性得：（）的所有可能取值為，；所以，的分布列是：的數(shù)學期望考點：對立事件、互斥事件的概率和隨機變量的概率分布與數(shù)學期望公式的綜合運用22（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)頻率分步直方圖中小正方形的面積是這組數(shù)據(jù)的頻率，用長乘以寬得到面積，即為頻率根據(jù)所有的頻率之和是，列出關于的方程，解出的值，繼而求出相應小組的人數(shù)，再設中位數(shù)為，列出關于的方程解得即可；（2）本題是一個古典概型，試驗發(fā)生所包含的事件是從第一、五組中隨機取出兩個成績，滿足條件的事件是成績的差的絕對值大于秒，列舉出事件數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式得到結果.試題解析：（1）設前組的頻率依次為，則由題意可得，由此得：,所以第二組的頻率為.因為第二組的頻率為，所以抽取的學生總人數(shù)為.由此可估計學生中百米成績在內(nèi)的人數(shù)為（人）.設所求中位數(shù)為，由上述計算可知第一組、第二組、第三組的頻率分別為，則，解得.故所有抽取學生的百米成績的中位數(shù)為秒.（2）記“兩個成績的差的絕對值大于秒”為事件.由（1）可知從第一組抽取的人數(shù)為，不妨記為，從第五組抽取的人數(shù)為，不妨記為，則從第一、五組中隨機取出兩個成績有：這種可能；其中兩個成績的差的絕對值大于秒的來自不同的組，共有種.所以.故兩個成績的差的絕對值大于秒單調(diào)概率為.考點：（1）頻率分布直方圖；（2）古典概型.23（）,對稱軸為（）；（）.【解析】試題分析：（）運用等價轉化的方法將問題進行轉化與化歸；（）借助題設條件將復合命題分類轉化進行求解.試題解析:（），由題意的周期為，所以，得最大值為，故，又，令，解得的對稱軸為（）（）由知，即，考點：三角函數(shù)的圖像和性質及三角變換公式的運用【易錯點晴】本題以函數(shù)的最大值和最小正周期為背景,考查的是三角函數(shù)中形如的正弦函數(shù)的圖象和性質.解答時先從題設中的條件入手,先運用倍角公式將其化簡為的形式,再運用所學知識求出其中的參數(shù)的值,最后再解決題設中提出的問題即可.需要強調(diào)是對稱軸的方程是是取得最值的的值,即,學生在求解時很容易錯寫成從而致錯.24（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）借助題設條件和向量的數(shù)量積公式求解；（2）借助題設條件和正弦定理求解.試題解析:（1）.（2），.，.又，.考點：三角函數(shù)的圖象、正弦定理、向量的數(shù)量積等有關知識的綜合運用