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1、
限時集訓(二十八) 平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用
(限時：45分鐘 滿分：81分)
一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)
1．(2012重慶高考)設x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，則|a＋b|＝( )
A. B.
C．2 D．10
2．(2012湖北高考)若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，則2a＋b與a－b的夾角等于( )
A．－ B.
C. D.
3．如圖，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，則＝( )
A．2 B.
C.－ D.
4．已知|a|＝6，|b|＝3
2、，ab＝－12，則向量a在向量b方向上的射影的數(shù)量是( )
A．－4 B．4
C．－2 D．2
5．已知圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點，那么的最小值為( )
A．－4＋ B．－3＋
C．－4＋2 D．－3＋2
6．已知|a|＝2|b|≠0，且關于x的函數(shù)f(x)＝x3＋|a|x2＋abx在R上有極值，則a與b的夾角范圍為( )
A. B.
C. D.
二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)
7．已知a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數(shù)，若向量a＋b與向量ka－b垂直，則k＝________.
8．(2
3、012北京高考)已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則的值為________；的最大值為________．
9．(2012湖南高考)如圖，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP＝3，則＝________.
三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)
10．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a與a＋λb的夾角為銳角，求實數(shù)λ的取值范圍．
11.已知△ABC為銳角三角形，向量m＝(3cos2A，sin A)，n＝(1，－sin A)，且m⊥n.
(1)求A的大?。?
(2)當＝pm，＝qn(p>0，q>0)，且滿足p＋q＝6時，求△ABC面
4、積的最大值．
12．已知向量a＝(1,2)，b＝(cos α，sin α)．設m＝a＋tb(t為實數(shù))．
(1)若α＝，求當|m|取最小值時實數(shù)t的值；
(2)若a⊥b，問：是否存在實數(shù)t，使得向量a－b和向量m的夾角為，若存在，請求出t；若不存在，請說明理由．
答 案
限時集訓(二十八) 平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用
1．B 2.C 3.D 4.A 5.D 6.C
7．1 8.1 1 9.18
10．解：∵a與a＋λb均為非零向量，且夾角為銳角，
∴a(a＋λb)>0，
即(1,2)(1＋λ，2＋λ)>0.
∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0.
∴λ>
5、－.
當a與a＋λb共線時，存在實數(shù)m，使λb＝ma，
即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)，
∴解得λ＝0.
即當λ＝0時，a與a＋λb共線，
綜上可知，λ>－且λ≠0.
11．解：(1)∵m⊥n，∴3cos2A－sin2A＝0.
∴3cos2A－1＋cos2A＝0，
∴cos2A＝.
又∵△ABC為銳角三角形，
∴cos A＝，
∴A＝.
(2)由(1)可得m＝，
n＝.
∴|AB―→|＝p，||＝q.
∴S△ABC＝||||sin A＝pq.
又∵p＋q＝6，且p>0，q>0，
∴≤，
∴≤3.
∴pq≤9.
∴△ABC面積的最大值為9＝.
12．解：(1)因為α＝，
所以b＝，ab＝，
則|m|＝
＝
＝
＝ ，
所以當t＝－時，|m|取到最小值，最小值為.
(2)存在滿足題意的實數(shù)t，
由條件得cos＝，
又因為|a－b|＝＝，
|a＋t b|＝＝，
(a－b)(a＋t b)＝5－t，
則有＝，且t<5，
整理得t2＋5t－5＝0，所以存在t＝滿足條件．
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