高中數(shù)學 排列組合及二項式定理 知識點和練習

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1、 排列組合及二項式定理 【基本知識點】 1.分類計數(shù)和分步計數(shù)原理的概念 2．排列的概念：從個不同元素中，任?。ǎ﹤€元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列 3．排列數(shù)的定義：從個不同元素中，任?。ǎ﹤€元素的所有排列的個數(shù)叫做從個元素中取出元素的排列數(shù)，用符號表示 4．排列數(shù)公式：（） 5.階乘：表示正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘規(guī)定． 6．排列數(shù)的另一個計算公式：= 7.組合概念：從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合 8．組合數(shù)的概念：從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從

2、 個不同元素中取出個元素的組合數(shù)．用符號表示． 9.組合數(shù)公式：或 10.組合數(shù)的性質(zhì)1：．規(guī)定：； 11.組合數(shù)的性質(zhì)2：＝+ Cn0+Cn1+…+Cnn=2n 12.二項式展開公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn 13．二項式系數(shù)的性質(zhì)： 展開式的二項式系數(shù)是，，，…，．可以看成以為自變量的函數(shù)，定義域是， （1）對稱性．與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等（∵）． （2）增減性與最大值：當是偶數(shù)時，中間一項取得最大值；當是奇數(shù)時，中間兩項，取得最大值． （3）各二項式系數(shù)和：∵， 令，則 【常見考點

3、】 一、可重復的排列求冪法：重復排列問題要區(qū)分兩類元素：一類可以重復，另一類不能重復，把不能重復的元素看作“客”，能重復的元素看作“店”，則通過“住店法”可順利解題，在這類問題使用住店處理的策略中，關鍵是在正確判斷哪個底數(shù)，哪個是指數(shù) （1）有4名學生報名參加數(shù)學、物理、化學競賽，每人限報一科，有多少種不同的報名方法？ （2）有4名學生參加爭奪數(shù)學、物理、化學競賽冠軍，有多少種不同的結果？ （3）將3封不同的信投入4個不同的郵筒，則有多少種不同投法？ 【解析】：（1）（2） （3） 二．相鄰問題捆綁法： 題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，當作一個大元素參與排列.高☆考♂資

4、♀源€網(wǎng) ☆ （4）五人并排站成一排，如果必須相鄰且在的右邊，那么不同的排法種數(shù)有 【解析】：把視為一人，且固定在的右邊，則本題相當于4人的全排列，種 （5）3位男生和3位女生共6位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3 位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【解析】： 間接法 6位同學站成一排，3位女生中有且只有兩位女生相鄰的排法有， 種高☆考♂資♀源€網(wǎng) ☆ 其中男生甲站兩端的有，符合條件的排法故共有288 三．相離問

5、題插空法 ：元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端. （6）七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是 【解析】：除甲乙外，其余5個排列數(shù)為種，再用甲乙去插6個空位有種，不同的排法種數(shù)是種 （7） 書架上某層有6本書，新買3本插進去，要保持原有6本書的順序，有 種不同的插法（具體數(shù)字作答） 【解析】： （8）馬路上有編號為1，2，3…，9九只路燈，現(xiàn)要關掉其中的三盞，但不能關掉相鄰的 二盞或三盞，也不能關掉兩端的兩盞，求滿足條件的關燈方案有多少種？ 【解析】：

6、把此問題當作一個排對模型，在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮的燈種方法,所以滿足條件的關燈方案有10種. 四．元素分析法（位置分析法）：某個或幾個元素要排在指定位置，可先排這個或幾個元 素；再排其它的元素。 （9）2010年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四 人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作， 其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有 （ ） 高☆考♂資♀源€網(wǎng) ☆ A. 36種 B. 12種 C. 18種

7、 D. 48種 【解析】： 方法一： 從后兩項工作出發(fā)，采取位置分析法。 方法二：分兩類：若小張或小趙入選，則有選法；若小張、小趙都入選，則有 選法，共有選法36種，選A. （10）1名老師和4名獲獎同學排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？ 【解析】： 老師在中間三個位置上選一個有種，4名同學在其余4個位置上有種方法；所以共有種。. 五．多排問題單排法：把元素排成幾排的問題可歸結為一排考慮，再分段處理。高☆考♂資♀源€網(wǎng) ☆ （11） 6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數(shù)是（ ） A、3

8、6種 B、120種 C、720種 D、1440種 （12）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法種數(shù)為 （A） （B） （C） （D） （13）8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某1個元素排在后排，有多少種不同排法？ 【解析】 ：（1）前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排成一排，共種，選.高☆考♂資♀源€網(wǎng) ☆ （2）答案：C （3）看成一排，某2個元素在前半段四個位置中選排2個，有種，某1個元素排在后半段的四個位置中選一個有種，其余5個元素任排5個位置上有種，故共有種

9、排法. 六．定序問題縮倍法（等幾率法）：在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法. （14）五人并排站成一排，如果必須站在的右邊（可以不相鄰）那么不同的排法種數(shù)是（ ）高☆考♂資♀源€網(wǎng) ☆ 【解析】 ：在的右邊與在的左邊排法數(shù)相同，所以題設的排法只是5個元素全排列數(shù)的一半，即種 （15）書架上某層有6本書，新買3本插進去，要保持原有6本書的順序，有多少種不同的插法？高☆考♂資♀源€網(wǎng) ☆ 【解析】 ：法一： 法二： 七．標號排位問題（不配對問題） 把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規(guī)定 排

10、入，第二步再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成. （16） 將數(shù)字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每 個方格的標號與所填數(shù)字均不相同的填法有（ ） A、6種 B、9種 C、11種 D、23種高☆考♂資♀源€網(wǎng) ☆ 【解析】 ：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應數(shù)字填 入其它三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數(shù)字，只有一種填法，共有331=9 種填法，選. （17）編號為1、2、3、4、5的五個人分別去坐編號為1、2、3、4、5的五個座位，其中 有且只

11、有兩個的編號與座位號一致的坐法是（ ） A 10種 B 20種 C 30種 D 60種 答案：B 八．不同元素的分配問題（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法 （18）有6本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方式？高☆考♂資♀源€網(wǎng) ☆ （1） 分成1本、2本、3本三組； （2） 分給甲、乙、丙三人，其中一個人1本，一個人2本，一個人3本； （3） 分成每組都是2本的三個組； （4） 分給甲、乙、丙三人，每個人2本； （5） 分給5人每人至少1本。 【解析】 ：（1）

12、 （2） （3） （4） （5） （19） 四個不同球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有多少種？ 【解析】：先取四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有種，再排：在四個盒中每次排3個有種，故共有種. 九．相同元素的分配問題隔板法： （20）把20個相同的球全放入編號分別為1，2，3的三個盒子中，要求每個盒子中的球數(shù)不少于其編號數(shù)，則有多少種不同的放法？ 【解析】：向1，2，3號三個盒子中分別放入0，1，2個球后還余下17個球，然后再把這17 個球分成3份，每份至少一球，運用隔板法，共有種。高☆考♂資♀源€網(wǎng) ☆ （21）10個三好學生名額分

13、到7個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不同分配方案？ 【解析】：10個名額分到7個班級，就是把10個名額看成10個相同的小球分成7堆，每堆 至少一個，可以在10個小球的9個空位中插入6塊木板，每一種插法對應著一種分配方案， 故共有不同的分配方案為種.高☆考 十．排數(shù)問題（注意數(shù)字“0”）高☆考♂資♀源€網(wǎng) ☆ （22）由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（ ） A、210種 B、300種 C、464種 D、600種 【解析】：按題意，個位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別

14、有個， 個，合并總計300個,選. 十一．染色問題：涂色問題的常用方法有：（1）可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論; （2）根據(jù)相對區(qū)域是否同色分類討論;高☆考♂資♀源€網(wǎng) ☆ （3）將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化成平面區(qū)域涂色問題。 （23）將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是_______. 【解析一】滿足題設條件的染色至少要用三種顏色。 (1)若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點S，再從余下的四種顏色中任選兩種涂A、B、C、D四點，此時只能A與C、B與D分別同色，故有種方法。 (2)若恰

15、用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點S，再從余下的四種顏色中任選兩種染A與B，由于A、B顏色可以交換，故有種染法；再從余下的兩種顏色中任選一種染D或C，而D與C，而D與C中另一個只需染與其相對頂點同色即可，故有種方法。 (3)若恰用五種顏色染色，有種染色法高☆考♂資♀源€網(wǎng) ☆ 綜上所知，滿足題意的染色方法數(shù)為60+240+120=420種?！敬鸢浮?20. 十二． 幾何中的排列組合問題: （24）已知直線（是非零常數(shù)）與圓有公共點，且公共點的橫坐標和縱坐標均為整數(shù)，那么這樣的直線共有 條 【解析】： 圓上的整點有： 12 個

16、 其中關于原點對稱的有4 條 不滿則條件 切線有 ， 其中平行于坐標軸的有14條 不滿則條件 66-4+12-14=60 答案:60 【練習】 1、4位同學每人從甲、乙、丙3門課程中選修1門，則恰有2人選修課程甲的不同選法共有 （A）12種 （B）24種 （C）30種 （D）36種 【解析】分兩類：取出的1本畫冊，3本集郵冊，此時贈送方法有種；取出的2本畫冊，2本集郵冊，此時贈送方法有種。總的贈送方法有種。【答案】B 2、正五棱柱中，不同在任何側面且不同在任何底面的兩頂點的連線稱為它的對角線，那么一個正五棱

17、柱對角線的條數(shù)共有（ ） A．20 B．15 C．12 D．10 【解析】先從5個側面中任意選一個側面有種選法，再從這個側面的4個頂點中任意選一個頂點有種選法，由于不同在任何側面且不同在任何底面的兩頂點的連線稱為它的對角線，所以除去這個側面上、相鄰側面和同一底面上的共8個點，還剩下2個點，把這個點和剩下的兩個點連線有種方法，但是在這樣處理的過程中剛好每一條對角線重復了一次，所以最后還要乘以所以這個正五棱柱對角線的條數(shù)共有,所以選擇A. 3、的展開式中的常數(shù)項是 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】：令，于是展開式中的常數(shù)項是

18、故選C 4、已知的展開式中的系數(shù)與的展開式中的系數(shù)相等，則 ． 【答案】解：的通項為，， ∴的展開式中的系數(shù)是, 的通項為，， ∴的展開式中的系數(shù)是∴ ，. 5、已知（是正整數(shù)）的展開式中，的系數(shù)小于120，則 ． 【解析】按二項式定理展開的通項為，我們知道的系數(shù)為，即，也即，而是正整數(shù)，故只能取1。 6、若，則 的值為 ． 答案4 7、已知，則= -8 ． 8、對任意的實數(shù)，有，則的值是（ B ） A．3 B．6 C．9 D．21

19、9、設是的一個排列，把排在的左邊且比小的數(shù)的個數(shù)稱為的順序數(shù)（）．如：在排列6，4， 5， 3，2，1中，5的順序數(shù)為1，3的順序數(shù)為0．則在1至8這八個數(shù)字構成的全排列中，同時滿足 8的順序數(shù)為2，7的順序數(shù)為3，5的順序數(shù)為3的不同排列的種數(shù)為( C ) A．48 B．96 C．144 D．192 10、若一個三位數(shù)的十位數(shù)字比個位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則稱這個數(shù)為“傘數(shù)”．現(xiàn)從1,2,3,4,5,6這六個數(shù)字中任取3個數(shù)，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中“傘數(shù)”有 A.120個 B.80個

20、 C.40個 D. 20個 【答案】C 11、現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有 A．24種 B．30種 C．36種 D．48種 【答案】D 12、如果一條直線與一個平面垂直，那么，稱此直線與平面構成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數(shù)是（ ） A．24 B．30 C．36

21、 D．42 【答案】C 13.從8名女生4名男生中，選出3名學生組成課外小組，如果按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法數(shù)為 ; 【答案】112 14、現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（ ）種. （A）（B）（C）（D） 誤解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有種排法，5人排好后產(chǎn)生6個空檔，插入甲、乙、丙三人有種方法，這樣共有種排法，選A. 錯因分析：誤解中沒有理解“甲、乙、丙三人不能相鄰”的含義，得到的結果是“甲、乙、丙三人互不相鄰”的情況.“甲、乙、丙三人不能相鄰”是指甲、乙、丙三人不能同時相鄰，但允

22、許其中有兩人相鄰. 正解：在8個人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù)，就得到甲、乙、丙三人不相鄰的方法數(shù)，即，故選B. 15、高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（ ）. （A）16種 （B）18種 （C）37種 （D）48種 誤解：甲工廠先派一個班去，有3種選派方法，剩下的2個班均有4種選擇，這樣共有種方案. 錯因分析：顯然這里有重復計算.如：班先派去了甲工廠，班選擇時也去了甲工廠，這與班先派去了甲工廠，班選擇時也去了甲工廠是同一種情況，而在上述解法中當作了不一樣的情況，并且這種重復很難排除. 正解：用間接法.先計算3個班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無人去的情況，即：種方案. 排列組合問題雖然種類繁多，但只要能把握住最常見的原理和方法，即：“分步用乘、分類用加、有序排列、無序組合”，留心容易出錯的地方就能夠以不變應萬變，把排列組合學好. 10