2019年春八年級數(shù)學下冊 第1章 三角形的證明復習課課件（新版）北師大版.ppt

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,BS八(下) 教學課件,第一章 三角形的證明,復習課,(4)___________、底邊上的中線和底邊上的高互相重 合，簡稱“三線合一”.,頂角平分線,(3)兩個_______相等，簡稱“等邊對等角”;,底角,(2)軸對稱圖形,等腰三角形的頂角平分線所在的直線 是它的對稱軸;,1.等腰三角形的性質(zhì),(1)兩腰相等;,知識梳理,2.等腰三角形的判定,(1)有兩邊相等的三角形是等腰三角形;,(2)如果一個三角形中有兩個角相等,那么這兩個角 所對的邊也相等（簡寫成“____________”）.,等角對等邊,知識梳理,1.等邊三角形的性質(zhì),⑴等邊三角形的三邊都相等;,⑵等邊三角形的三個內(nèi)角都相等,并且每一個角都 等于________;,⑶是軸對稱圖形，對稱軸是三條高所在的直線;,⑷任意角平分線、角對邊上的中線、對邊上的高 互相重合，簡稱“三線合一”.,60,知識梳理,2.等邊三角形的判定,⑴三條邊都相等的三角形是等邊三角形.,⑵三個角都相等的三角形是等邊三角形.,⑶有一個角是60的___________是等邊三角形.,等腰三角形,(5)在直角三角形中，30的角所對的直角邊等 于斜邊的一半.,知識梳理,直角三角形的性質(zhì)定理1,直角三角形的兩個銳角______.,互余,直角三角形的判定定理1,有兩個角______的三角形是直角三角形.,互余,知識梳理,勾股定理表達式的常見變形：a2＝c2－b2, b2＝c2－a2， . 勾股定理分類計算：如果已知直角三角形的兩邊是a,b(且a＞b)，那么，當?shù)谌卌是斜邊時，c＝_________；當a是斜邊時，第三邊c＝_________.,勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的 . 即：對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c ，那么一定有 .,平方,[注意] 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，運用時要分清直角邊和斜邊．,a2＋b2＝c2,知識梳理,如果三角形的三邊長a、b、c有關系：a2＋b2＝ ，那么這個三角形是直角三角形． 1.利用此定理判定直角三角形的一般步驟：,(1)確定最大邊； (2)算出最大邊的平方與另兩邊的 ； (3)比較最大邊的平方與另兩邊的平方和是否相等，若相 等，則說明這個三角形是 三角形． 2.到目前為止判定直角三角形的方法有： (1)說明三角形中有一個角是 ； (2)說明三角形中有兩邊互相 ； (3)用勾股定理的逆定理．,平方和,直角,直角,垂直,[注意] 運用勾股定理的逆定理時，要防止出現(xiàn)一開始就寫出a2＋b2＝c2之類的錯誤．,c2,知識梳理,,,,1．互逆命題 在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的 ，而第一個命題的結論是第二個命題的 ，那么這兩個命題叫做互逆命題． 2．逆命題 每一個命題都有逆命題，只要將原命題的條件改成 ，并將結論改成 ，便可以得到原命題的逆命題．,結論,條件,結論,條件,知識梳理,3．逆定理 如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么，它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個叫做另一個的 定理． [注意] 每個命題都有逆命題，但一個定理不一定有逆定理．如“對頂角相等”就沒有逆定理．,逆,知識梳理,1.線段垂直平分線的性質(zhì)定理： 線段中垂線上的點到線段兩端點的距離相等.,2.逆定理： 到線段兩端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上.,3．常見的基本作圖 (1)過已知點作已知直線的 ； (2)作已知線段的垂直 線．,垂線,平分,4.三角形的三邊的垂直平分線的性質(zhì)： 三角形的三邊的垂直平分線相交于一點，且到三個頂點的距離相等.,知識梳理,1.性質(zhì)定理： 角平分線上的點到角兩邊的距離相等. 2.判定定理： 在一個角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點在角的平分線. 3.三角形的三條內(nèi)角平分線的性質(zhì)： 三角形的三條內(nèi)角平分線相交于一點，且到三邊的距離相等.,知識梳理,如圖所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求證： ∠BAC = 2∠DBC.,【分析】根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可作頂角∠BAC的平分線，來獲取角的數(shù)量關系.,考點講練,例1,證明：作∠BAC的平分線AE,交BC于點E,如圖所示， 則,∵AB=AC, ∴AE⊥BC.,∴ ∠ 2+ ∠ACB=90 .,∵BD⊥AC, ∴ ∠DBC+ ∠ACB=90 .,∴ ∠ 2= ∠DBC.,∴ ∠BAC= 2∠DBC.,考點講練,解題技巧：等腰三角形的性質(zhì)與判定是本章的重點之一，它們是證明線段相等和角相等的重要依據(jù)，等腰三角形的特殊情形—等邊三角形的性質(zhì)與判定應用也很廣泛，有一個角是30的直角三角形的性質(zhì)是證明線段之間的倍份關系的重要手段.,歸納總結,練習1. 如圖，在△ABC中，AB=AC時， (1)∵AD⊥BC， ∴∠ ____= ∠_____;____=____. (2) ∵AD是中線， ∴____⊥____; ∠_____= ∠_____. (3) ∵ AD是角平分線， ∴____ ⊥____;_____=____.,BAD,CAD,BD,CD,AD,BC,BAD,CAD,AD,BC,BD,CD,考點講練,,,,在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，且a＝3，b＝4，求BD的長．,解：∵∠B＝90，∴b是斜邊， 則在Rt△ABC中，由勾股定理，得 又∵S△ABC＝ b?BD＝ ac，,考點講練,例2,,,,,解題技巧：在直角三角形中，已知兩邊的長求斜邊上的高時，先用勾股定理求出第三邊，然后用面積求斜邊上的高較為簡便．在用勾股定理時，一定要清楚直角所對的邊才是斜邊，如在本例中不要受勾股數(shù)3，4，5的干擾．,練習2．已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（ ） A.25 B.14 C.7 D.7或25,D,考點講練,,,,,,,已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判斷△ABC是否為直角三角形．,解：由于a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1， c2＝(n2＋1)2 ＝n4＋2n2＋1， 從而a2＋b2＝c2， 故可以判定△ABC是直角三角形．,考點講練,例3,,,,,解題技巧：運用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否是直角三角形的一般步驟：①先判斷哪條邊最大；②分別用代數(shù)方法計算出a2＋b2和c2的值(c邊最大)；③判斷a2＋b2和c2是否相等，若相等，則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形．,考點講練,,,,,,練習3.已知下列圖形中的三角形的頂點都在正方形的格點上，可以判定三角形是直角三角形的有________．,(2)(4),考點講練,,,,,判斷下列命題的真假，寫出這些命題的逆命題并判斷它們的真假． (1)如果a＝0，那么ab＝0； (2)如果點P到線段AB兩端點的距離相等，那么P在 線段AB的垂直平分線上．,解：(1)原命題是真命題． 原命題的逆命題是：如果ab＝0，那么a＝0.逆命題為假． (2)原命題是真命題． 原命題的逆命題是：如果P在線段AB的垂直平分線上，那么點P到線段AB兩端點的距離相等．其逆命題也是真命題．,考點講練,例4,練習4.寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假： （1）若x=1，則x2=1；（2）若|a|=|b|，則a=b.,解：（1）逆命題：若x2=1，則x=1．是假命題. （2）逆命題：若a=b，則|a|=|b|．是真命題.,考點講練,解：∵ AD 是BC 的垂直平分線， ∴ AB =AC，BD=CD. ∵ 點C 在AE 的垂直平分線上， ∴ AC =CE,∴AB=AC=CE, ∴ AB+BD=DE.,如圖，AD是BC的垂直平分線，點C 在AE 的垂直平分線上，AB，AC，CE 的長度有什么關系？AB+BD與DE 有什么關系？,考點講練,例5,練習5.如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AC=5厘米，△ABD的周長等于13厘米，則△ABC的周長是 .,,,,,,A,B,D,E,C,18厘米,,,解題技巧：常常運用線段的垂直平分線的性質(zhì)“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”進行線段之間的轉(zhuǎn)換來求線段之間的關系及周長的和差等,有時候與等腰三角形的“三線合一”結合起來考查.,考點講練,練習6.下列說法： ①若點P、E是線段AB的垂直平分線上兩點，則EA＝ EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，則直線PE垂直平分線段AB； ③若PA＝PB，則點P必是線段AB的垂直平分線上的點； ④若EA＝EB，則經(jīng)過點E的直線垂直平分線段AB． 其中正確的有 （填序號）.,① ② ③,考點講練,如圖，在△ABC中，AD是角平分線，且 BD = CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分別為E , F. 求證：EB=FC.,【分析】先利用角平分線的性質(zhì)定理得到DE=DF，再利用“HL”證明Rt△BDE ≌ Rt△CDF.,考點講練,例6,證明： ∵AD是∠BAC的角平分線， DE⊥AB, DF⊥AC，,∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 .,在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，,∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).,∴ EB=FC.,考點講練,練習8.△ABC中, ∠C=90, AD平分 ∠CAB,且BC=8,BD=5,則點D到AB的 距離是 .,3,練習7. 如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)， DE =DF， ∠EDB= 60，則 ∠EBF= 度，BE= .,60,BF,考點講練,練習9. 如圖所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于點E，PF∥AC交BC于點F，點P是AD上一點，且點D到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分∠BAC，并說明理由．,解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距離與到PF的距離相等， ∴點D在∠EPF的平分線上． ∴∠1＝∠2． 又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．,P,考點講練,等腰三角形的周長為20cm,其中兩邊的差為8cm,求這個等腰三角形各邊的長.,【分析】要考慮腰比底邊長和腰比底邊短兩種情況.,解：若腰比底邊長，設腰長為xcm,則底邊長為（x－8)cm， 根據(jù)題意得 2x＋x－8=20, 解得 x= , ∴x－8= ; 若腰比底邊短，設腰長為ycm,則底邊長為（y＋8)cm,根據(jù)題意得2y＋y＋8=20,解得y=4, ∴y＋8=12,但4＋4=812,不符合題意. 故此等腰三角形的三邊長分別為,分類討論思想,考點講練,例7,練習10.等腰三角形的兩邊長分別為4和6，求它的周長.,解：①若腰長為6，則底邊長為4，周長為6+6+4=16； ②若腰長為4，則底邊長為6，周長為4+4+6=14. 故這個三角形的周長為14或16.,考點講練,如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC＝ 6 cm，BC＝8 cm，將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕是DE，求CD的長．,【分析】 欲求的線段CD在Rt△ACD中，但此三角形只知一邊，可設法找出另兩邊的關系，然后用勾股定理求解．,方程思想,考點講練,例8,解：由折疊知：DA＝DB，△ACD為直角三角形． 在Rt△ACD中，AC2＋CD2＝AD2①， 設CD＝x cm，則AD＝BD＝(8－x)cm， 代入①式，得62＋x2＝(8－x)2， 化簡，得36＝64－16x， 所以x＝ ＝1.75， 即CD的長為1.75 cm.,考點講練,,,,,,解題技巧：勾股定理可以直接解決直角三角形中已知兩邊求第三邊的問題；如果只知一邊和另兩邊的關系時，也可用勾股定理求出未知邊，這時往往要列出方程求解．,練習11.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=12，BC=5，點E在AB上，將△DAE沿DE折疊，使點A落在對角 線BD上的點A′處，則AE的長為 .,,考點講練,三角形的證明,等腰三角形,等腰三角形的性質(zhì),等腰三角形的判定,,勾股定理,等邊三角形的性質(zhì),等邊三角形的判定,直角三角形,直角三角形的性質(zhì),兩個直角三角形全等的判定（HL）,直角三角形的判定,等邊三角形,勾股定理的逆定理,垂直平分線的性質(zhì),角平分線的性質(zhì),課堂小結,,