【創(chuàng)新設(shè)計】高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 隨機抽樣訓(xùn)練 理 新人教A版

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1、 【創(chuàng)新設(shè)計】2014高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 隨機抽樣訓(xùn)練 理 新人教A版 [備考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.理解隨機抽樣的必要性和重要性． 2.會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本，了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣. 　　對隨機抽樣(尤其是分層抽樣)的考查，幾乎年年都出現(xiàn)在高考試題中，題型以選擇題和填空題為主，難度較低，如2012年天津T9，江蘇T2等. [歸納知識整合] 1．簡單隨機抽樣 (1)抽取方式：不放回抽?。? (2)每個個體被抽到的概率相等； (3)常用方法：抽簽法和隨機數(shù)法． [探究]　1.簡單隨機抽樣有什么特

2、點？ 提示：(1)被抽取樣本的總體個數(shù)N是有限的；(2)樣本是從總體中逐個抽取的；(3)是一種不放回抽樣；(4)是等可能的抽取． 2．系統(tǒng)抽樣的步驟 假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本． (1)先將總體的N個個體編號； (2)確定分段間隔k，對編號進行分段．當(dāng)(n是樣本容量)是整數(shù)時，取k＝； (3)在第1段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號l(l≤k)； (4)按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號l＋k，再加k得到第3個個體編號l＋2k，依次進行下去，直到獲取整個樣本． [探究]　2.系統(tǒng)抽樣有什么特點？ 提示：適用于元素個數(shù)很多且均衡的總體

3、；各個個體被抽到的機會均等；總體分組后，在起始部分抽樣時，采用簡單隨機抽樣． 3．分層抽樣 (1)定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣． (2)分層抽樣的應(yīng)用范圍： 當(dāng)總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣． [探究]　3.分層抽樣有什么特點？ 提示：適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況；分層后，在每一層抽樣時可采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣． [自測牛刀小試] 1．在抽樣過程中，每次抽取的個體不再放回總體的為不放回抽樣，在分層抽樣、系統(tǒng)抽樣、簡單隨機抽

4、樣三種抽樣中，不放回抽樣有(　　) A．0個　　　　　　　　 B．1個 C．2個 D．3個 解析：選D　三種抽樣都是不放回抽樣． 2．(2013溫州模擬)某工廠生產(chǎn)A，B，C三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為3∶4∶7，現(xiàn)在用分層抽樣的方法抽出容量為n的樣本，樣本中A型號產(chǎn)品有15件，那么樣本容量n為(　　) A．50 B．60 C．70 D．80 解析：選C　由分層抽樣的方法得n＝15， 解得n＝70. 3．利用簡單隨機抽樣，從n個個體中抽取一個容量為10的樣本．若第二次抽取時，余下的每個個體被抽到的概率為，則在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的概率為(　　)

5、A. B. C. D. 解析：選B　由題意知＝，解得n＝28. 故P＝＝. 4．某單位青年、中年、老年職員的人數(shù)之比為10∶8∶7，從中抽取200名職員作為樣本，若每人被抽到的概率為0.2，則該單位青年職員的人數(shù)為________． 解析：總?cè)藬?shù)為＝1 000，該單位青年職員的人數(shù)為 1 000＝400. 答案：400 5．(2012湖北高考)一支田徑運動隊有男運動員56人，女運動員42人．現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取若干人，若抽取的男運動員有8人，則抽取的女運動員有________人． 解析：分層抽樣的特點是按照各層占總體的比抽取樣本，設(shè)抽取的女運動員有x人，則＝，解得x

6、＝6. 答案：6 簡單隨機抽樣 [例1]　為了支援我國西部教育事業(yè)，決定從2011級學(xué)生報名的30名志愿者中，選取10人組成志愿小組，請用抽簽法和隨機數(shù)表法設(shè)計抽樣方案． [自主解答]　抽簽法： 第一步：將30名志愿者編號，編號為1,2,3，…，30. 第二步：將30個號碼分別寫在30張外觀完全相同的紙條上，并揉成團，制成號簽． 第三步：將30個號簽放入一個不透明的盒子中，充分攪勻． 第四步：從盒子中逐個抽取10個號簽，并記錄上面的編號． 第五步：所得號碼對應(yīng)的志愿者，就是志愿小組的成員． 隨機數(shù)法： 第一步：將30名志愿者編號，編號為01,02,03

7、，…，30. 第二步：在隨機數(shù)表中任選一數(shù)開始，按某一確定方向讀數(shù)． 第三步：凡不在01～30中的數(shù)或已讀過的數(shù)，都跳過去不作記錄，依次記錄下10個得數(shù)． 第四步：找出號碼與記錄的數(shù)相同的志愿者組成志愿小組． 把本例中“30名志愿者”改為“1800名志愿者”，仍抽取10人，應(yīng)如何進行抽樣？ 解：因為總體數(shù)較大，若選用抽簽法制簽太麻煩，故應(yīng)選用隨機數(shù)法． 第一步：先將1 800名志愿者編號，可以編為0001,0002,0003，…，1800.　　　　 第二步：在隨機數(shù)表中任選一個數(shù)，例如選出第2行第1列的數(shù)9. 第三步：從選定的數(shù)開始向右讀，依次可得以0736，0751，0

8、732，1355，1410，1256，0503，1557，1210，1421為樣本的10個號碼，這樣我們就得到一個容量為10的樣本. ——————————————————— 應(yīng)用簡單隨機抽樣應(yīng)注意的問題 (1)一個抽樣試驗?zāi)芊裼贸楹灧ǎP(guān)鍵看兩點：一是抽簽是否方便；二是號簽是否易攪勻．一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法． (2)在使用隨機數(shù)表時，如遇到三位數(shù)或四位數(shù)時，可從選擇的隨機數(shù)表中的某行某列的數(shù)字計起，每三個或四個作為一個單位，自左向右選取，有超過總體號碼或出現(xiàn)重復(fù)號碼的數(shù)字舍去． 1．今用簡單隨機抽樣從含有6個個體的總體中抽取一個容量為2的樣本．問： (1

9、)總體中的某一個體a在第一次抽取時被抽到的概率是多少？ (2)個體a不是在第一次被抽到，而是在第二次被抽到的概率是多少？ (3)在整個抽樣過程中，個體a被抽到的概率是多少？ 解：①用簡單隨機抽樣，從含有N個個體的總體中抽取一個容量為n的樣本，每次抽取一個個體時任一個體被抽到的概率為；在整個抽樣過程中各個個體被抽到的概率為；②抽簽有先后，但概率都是相同的． 故(1)；(2)；(3). 系統(tǒng)抽樣 [例2]　(2012山東高考)采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機編號為1,2，…，960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9.抽到的3

10、2人中，編號落入?yún)^(qū)間[1,450]的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間[451,750]的人做問卷B，其余的人做問卷C，則抽到的人中，做問卷B的人數(shù)為(　　) A．7　　　　　　　　 B．9 C．10 D．15 [自主解答]　第n個抽到的編號為9＋(n－1)30＝30n－21，由題意得451≤30n－21≤750，解得 15≤n≤25.又n∈Z，故滿足條件的共有10個． [答案]　C ——————————————————— 解決系統(tǒng)抽樣應(yīng)注意的幾個問題 (1)適合元素個數(shù)較多且均衡的總體； (2)各個個體被抽到的機會均等； (3)樣本的第一個個體用簡單隨機抽樣． 2．為規(guī)范

11、學(xué)校辦學(xué)，省教育廳督察組對某所高中進行了抽樣調(diào)查．抽到的班級一共有52名學(xué)生，現(xiàn)將該班學(xué)生隨機編號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本，已知7號、33號、46號同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有一位同學(xué)的編號應(yīng)是(　　) A．13 B．19 C．20 D．51 解析：選C　由系統(tǒng)抽樣的原理知抽樣的間隔為＝13，故抽取的樣本的編號分別為7,7＋13,7＋132,7＋133，從而可知選C. 分層抽樣 [例3]　某學(xué)校共有教職工900人，分成三個批次進行教育培訓(xùn)，在三個批次中男、女教職工人數(shù)如下表所示．已知在全體教職工中隨機抽取1名，抽到第二批次中女教職工的概率是0.16

12、. 第一批次 第二批次 第三批次 女教職工 196 x y 男教職工 204 156 z (1)求x的值； (2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全體教職工中抽取54名做培訓(xùn)效果的調(diào)查，問應(yīng)在第三批次中抽取教職工多少名？ [自主解答]　(1)由＝0.16，解得x＝144. (2)第三批次的人數(shù)為y＋z＝900－(196＋204＋144＋156)＝200， 設(shè)應(yīng)在第三批次中抽取m名，則＝，解得m＝12. 故應(yīng)在第三批次中抽取12名教職工． ——————————————————— 分層抽樣的步驟 第一步：將總體按一定標準分層； 第二步：計算各層的個體數(shù)與總體數(shù)

13、的比，按各層個體數(shù)占總體數(shù)的比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量； 第三步：在每一層進行抽樣(可用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣)． 3．(2012天津高考)某地區(qū)有小學(xué)150所，中學(xué)75所，大學(xué)25所．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取30所學(xué)校對學(xué)生進行視力調(diào)查，應(yīng)從小學(xué)中抽取____________所學(xué)校，中學(xué)中抽取____________所學(xué)校． 解析：從小學(xué)中抽取30＝18所學(xué)校；從中學(xué)中抽取30＝9所學(xué)校． 答案：18　9 1組比較——三種抽樣方法的比較 類別 共同點 各自特點 相互聯(lián)系 適用范圍 簡單隨機抽樣 抽樣過程中每個個體被抽取的機會相等 從總體中逐

14、個抽取 總體中的個體數(shù)較少 系統(tǒng)抽樣 將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取 在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣 總體中的個體數(shù)較多 分層抽樣 將總體分成幾層進行抽取 各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 易誤警示——抽樣方法中的解題誤區(qū) [典例]　(2012江蘇高考)某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比是3∶3∶4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高二年級抽取________名學(xué)生． [解析]　由題意得高二年級的學(xué)生人數(shù)占該學(xué)校高中人數(shù)的，利用分層抽樣的有關(guān)知識得應(yīng)從高二年

15、級抽取50＝15名學(xué)生． [答案]　15 1．因不能正確確認抽樣的比例從而導(dǎo)致失誤． 2．在求解過程中計算失誤． 3．解答隨機抽樣問題時，還有以下幾點容易造成失誤： (1)分不清系統(tǒng)抽樣中各段入樣的個體編號成等差數(shù)列； (2)分層抽樣中各層所占的比例不準確； (3)系統(tǒng)抽樣時總體容量不能被樣本容量整除時，不知隨機從總體中剔除余數(shù)；分層抽樣時所取各層個體數(shù)不是整數(shù)時，不會微調(diào)個體數(shù)目． 1．從2 006名學(xué)生中選取50名組成參觀團，若采用下面的方法選取：先用簡單隨機抽樣從2 006人中剔除6人，剩下的2 000人再按照系統(tǒng)抽樣的方法進行，則每人入選的概率(　　) A．不

16、全相等　　　　　　　　　　　 B．均不相等 C．都相等，且為 D．都相等，且為 解析：選C　抽樣過程中每個個體被抽取的機會均等，概率相等，剔除后的抽取過程與從2006人中抽取50人，每人入選的概率相同，其概率為＝. 2．中央電視臺在因特網(wǎng)上就觀眾對2013年春節(jié)晚會這一節(jié)目的喜愛程度進行調(diào)查，參加調(diào)查的總?cè)藬?shù)為12 000，其中持各種態(tài)度的人數(shù)如表所示： 很喜愛 喜愛 一般 不喜愛 2 435 4 600 3 926 1 039 電視臺為進一步了解觀眾的具體想法和意見，打算從中抽取60人進行更為詳細的調(diào)查，其中持“喜愛”態(tài)度的觀眾應(yīng)抽取________人． 解析：

17、由于樣本容量與總體容量的比為＝， 故應(yīng)抽取“喜愛”態(tài)度的觀眾人數(shù)為 4 600＝23(人)． 答案：23 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分) 1．下列抽取樣本的方式是簡單隨機抽樣的有(　　) ①從無限多個個體中抽取50個個體作為樣本； ②箱子里有100支鉛筆，今從中選取10支進行檢驗．在抽樣操作時，從中任意拿出一支檢測后再放回箱子里； ③從50個個體中一次性抽取5個個體作為樣本． A．0個　　　　　　　　 B．1個 C．2個 D．3個 解析：選A　①不滿足樣本的總體數(shù)較少的特點；②不滿足不放回抽取的特點；③不滿足逐個抽取的特點． 2．某校高三

18、年級有男生500人，女生400人，為了解該年級學(xué)生的健康情況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進行調(diào)查．這種抽樣方法是(　　) A．簡單隨機抽樣法 B．抽簽法 C．隨機數(shù)表法 D．分層抽樣法 解析：選D　由于總體容量較大，且男、女生健康差異明顯，因此采用分層抽樣方法抽取樣本． 3．(2012浙江高考改編)某個年級有男生560人，女生420人，用分層抽樣的方法從該年級全體學(xué)生中抽取一個容量為280的樣本，則此樣本中男生人數(shù)為(　　) A．80 B．120 C．160 D．240 解析：選C　設(shè)樣本中男、女生分別為x，y，且x∶y＝4∶3，所以x＝280

19、＝160. 4．800名學(xué)生中抽50名學(xué)生做牙齒健康檢查．現(xiàn)將800名學(xué)生從1到800進行編號，求得間隔數(shù)k＝＝16，即每16人抽取一個人．在1～16中隨機抽取一個數(shù)，如果抽到的是7，則從33～48這16個數(shù)中應(yīng)取的數(shù)是(　　) A．40 B．39 C．38 D．37 解析：選B　按系統(tǒng)抽樣分組，33～48這16個數(shù)屬第3組，則這一組應(yīng)抽到的數(shù)是7＋216＝39. 5．某工廠有A，B，C三種不同型號的產(chǎn)品，這三種產(chǎn)品數(shù)量之比為2∶3∶5，現(xiàn)用分層抽樣從中抽出一個容量為n的樣本，該樣本中A種型號產(chǎn)品有8件，那么這次樣本的容量n是(　　) A．12 B．16 C．20

20、 D．40 解析：選D　設(shè)三種產(chǎn)品的數(shù)量之和為2k＋3k＋5k＝10k，依題意有＝，解得n＝40. 6．在100個零件中，有一級品20個，二級品30個，三級品50個，從中抽取20個作為樣本： ①采用隨機抽樣法，將零件編號為00,01,02，…，99，抽出20個； ②采用系統(tǒng)抽樣法，將所有零件分成20組，每組5個，然后每組中隨機抽取1個； ③采用分層抽樣法，隨機從一級品中抽取4個，二級品中抽取6個，三級品中抽取10個，則(　　) A．不論采取哪種抽樣方法，這100個零件中每個被抽到的概率都是 B．①②兩種抽樣方法，這100個零件中每個被抽到的概率都是，③并非如此 C．①③兩種抽樣

21、方法，這100個零件中每個被抽到的概率都是，②并非如此 D．采用不同的抽樣方法，這100個零件中每個被抽到的概率各不相同 解析：選A　由抽樣方法的性質(zhì)知，抽樣過程中每個個體被抽到的概率都相等，這個比例只與樣本容量和總體有關(guān)． 二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分) 7．某高中共有學(xué)生2 000名，已知在全校學(xué)生中隨機抽取1名，抽到高三年級男生的概率是0.1現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取若干名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)，相關(guān)信息如下表： 年級 高一 高二 高三 男生(人數(shù)) a 310 b 女生(人數(shù)) c d 200 抽樣人數(shù) x 15 10 則x

22、＝________. 解析：由＝0.1，可得b＝200.設(shè)在全校抽取n名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)，則有＝. 解得n＝50.故x＝50－15－10＝25. 答案：25 8．將參加夏令營的600名學(xué)生編號為：001,002，…，600.采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機抽得的號碼為003.這600名學(xué)生分住在三個營區(qū)，從001到300在第Ⅰ營區(qū)，從301到495在第Ⅱ營區(qū)，從496到600在第Ⅲ營區(qū)，三個營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為________． 解析：依題意及系統(tǒng)抽樣的意義可知，將這600名學(xué)生按編號依次分成50組，每一組各有12名學(xué)生，第k(k∈N*)組抽中的號碼為3＋12(k－

23、1)． 令3＋12(k－1)≤300得k≤， 因此第Ⅰ營區(qū)被抽中的人數(shù)是25， 令300<3＋12(k－1)≤495，得

24、上信息，可得C的產(chǎn)品數(shù)量是________． 解析：設(shè)C產(chǎn)品的樣本容量為x，則A產(chǎn)品的樣本容量為10＋x，由B知抽取的比例為，故x＋10＋x＋130＝300，解得x＝80.所以C產(chǎn)品的數(shù)量為800. 答案：800 三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分) 10．一次數(shù)學(xué)模擬考試，共12道選擇題，每題5分，共計60分，每道題有四個可供選擇的答案，僅有一個是正確的．學(xué)生小張只能確定其中10道題的正確答案，其余2道題完全靠猜測回答． 小張所在班級共有40人，此次考試選擇題得分情況統(tǒng)計表： 得分(分) 40 45 50 55 60 百分率 15% 10% 25

25、% 40% 10% 現(xiàn)采用分層抽樣的方法從此班抽取20人的試卷進行選擇題質(zhì)量分析． (1)應(yīng)抽取多少張選擇題得60分的試卷？ (2)若小張選擇題得60分，求他的試卷被抽到的概率． 解：(1)得60分的人數(shù)4010%＝4.設(shè)抽取x張選擇題得60分的試卷，則＝， 即x＝2.故應(yīng)抽取2張選擇題得60分的試卷． (2)設(shè)小張的試卷為a1，另三名得60分的同學(xué)的試卷為a2，a3，a4，所有抽取60分試卷的方法為：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a3，a4)共6種，其中小張的試卷被抽到的抽法共有3種，故小張的試卷被抽到的概率為P＝＝. 1

26、1．(2012天津高考)某地區(qū)有小學(xué)21所，中學(xué)14所，大學(xué)7所，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對學(xué)生進行視力調(diào)查． (1)求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目； (2)若從抽取的6所學(xué)校中隨機抽取2所學(xué)校做進一步數(shù)據(jù)分析， ①列出所有可能的抽取結(jié)果； ②求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率． 解：(1)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目為3,2,1. (2)①在抽取到的6所學(xué)校中，3所小學(xué)分別記為A1，A2，A3,2所中學(xué)分別記為A4，A5，大學(xué)記為A6，則抽取2所學(xué)校的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}

27、，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15種． ②從6所學(xué)校中抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)(記為事件B)的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3種，所以P(B)＝＝. 12．(2012北京高考)近年來，某市為了促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱．為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1 000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下(單位：噸)： “廚余垃圾”箱 “

28、可回收物”箱 “其他垃圾”箱 廚余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 (1)試估計廚余垃圾投放正確的概率； (2)試估計生活垃圾投放錯誤的概率； (3)假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝600.當(dāng)數(shù)據(jù)a，b，c的方差s2最大時，寫出a，b，c的值(結(jié)論不要求證明)，并求此時s2的值． (注：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中為數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)) 解：(1)廚余垃圾投放正確的概率約為 ＝＝.

29、 (2)設(shè)“生活垃圾投放錯誤”為事件A，則事件表示“生活垃圾投放正確”． 事件的概率約為“廚余垃圾”箱里廚余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量與“其他垃圾”箱里其他垃圾量的總和除以生活垃圾總量，即P()約為＝0.7，所以P(A)約為1－0.7＝0.3. (3)當(dāng)a＝600，b＝c＝0時，s2取得最大值． 因為＝(a＋b＋c)＝200， 所以s2＝[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80 000. 1．(2012福建高考)一支田徑隊有男女運動員98人，其中男運動員有56人．按男女比例用分層抽樣的方法，從全體運動員中抽出一個容量為28的樣本，那么應(yīng)抽取女運

30、動員人數(shù)是________． 解析：應(yīng)抽取女運動員的人數(shù)為28＝12. 答案：12 2．某學(xué)校在校學(xué)生2 000人，學(xué)校舉行了跑步和登山比賽，每人都參加且每人只參加其中一項比賽，各年級參加比賽的人數(shù)情況如下表： 高一年級 高二年級 高三年級 跑步人數(shù) a b c 登山人數(shù) x y z 其中a：b：c＝2∶5∶3，全校參加登山的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的.為了了解學(xué)生對本次活動的滿意程度，按分層抽樣的方式從中抽取一個200人的樣本進行調(diào)查，則高三年級參加跑步的學(xué)生中應(yīng)抽取(　　) A．15人 B．30人 C．40人 D．45人 解析：選D　由題意，全校參加跑步

31、的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，高三年級參加跑步的總?cè)藬?shù)為2 000＝450，由分層抽樣的特征，得高三年級參加跑步的學(xué)生中應(yīng)抽取450＝45人． [備考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點． 2.理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標準差． 3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(平均數(shù)、標準差)，并給出合理解釋． 4.會用樣本的頻率分布估計總體的分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計總體的思想． 5.會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計

32、總體的思想解決一些簡單的實際問題. 1.由于高考對統(tǒng)計考查的覆蓋面廣，幾乎對所有的統(tǒng)計考點都有涉及，其中頻率分布直方圖、均值與方差、莖葉圖是核心，題型多是選擇題或填空題，難度不大，如2012年安徽T5，陜西T6等． 2.近幾年來，對概率統(tǒng)計的綜合問題考查的力度有所加大，題目難度中低檔，如2012年廣東T17等. [歸納知識整合] 1．作頻率分布直方圖的步驟 (1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)； (2)決定組距與組數(shù)； (3)將數(shù)據(jù)分組； (4)列頻率分布表； (5)畫頻率分布直方圖． 2．頻率分布折線圖和總體密度曲線 (1)頻率分布折線圖：連接頻率

33、分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖． (2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線． 3．莖葉圖的優(yōu)點 莖葉圖的優(yōu)點是可以保留原始數(shù)據(jù)，而且可以隨時記錄，方便記錄與表示． 4．標準差和方差 (1)標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離． (2)標準差： s＝ . (3)方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2](xn是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，是樣本平均數(shù))． 5．利用頻率分布直方圖估計樣本的數(shù)字特征 (1)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直

34、方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計中位數(shù)的值． (2)平均數(shù)：平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和． (3)眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高的矩形的中點的橫坐標． [探究]　1.在頻率分布直方圖中如何確定中位數(shù)？ 提示：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積是相等的． 2．利用莖葉圖求數(shù)據(jù)的中位數(shù)的步驟是什么？ 提示：(1)將莖葉圖中數(shù)據(jù)按大小順序排列；(2)找中間位置的數(shù)． [自測牛刀小試] 1．(2012山東高考)在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B樣本數(shù)

35、據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個都加2后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是(　　) A．眾數(shù)　　　　　　　　 B．平均數(shù) C．中位數(shù) D．標準差 解析：選D　只有標準差不變，其中眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)都加2. 15 5 5 7 8 16 1 3 3 5 17 1 2 2.(2011安慶模擬)如圖是根據(jù)某校10位高一同學(xué)的身高(單位：cm)畫出的莖葉圖，其中左邊的數(shù)字從左到右分別表示學(xué)生身高的百位數(shù)字和十位數(shù)字，右邊的數(shù)字表示學(xué)生身高的個位數(shù)字，從圖中可以得到這10位同學(xué)身高的中位數(shù)是(　　) A．161 B．162 C．163 D

36、．164 解析：選B　由給定的莖葉圖可知，這10位同學(xué)身高的中位數(shù)為＝162. 3．某校舉行2013年元旦匯演，七位評委為某班的小品打出的分數(shù)如下莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分，所剩數(shù)據(jù)的方差為________． 7 9 8 4 4 6 4 7 9 3 解析：由莖葉圖知，去掉一個最高分和一個最低分，所剩數(shù)據(jù)為84,84,86,84,87，所以由公式得方差為1.6. 答案：1.6 4．從一堆蘋果中任取10只，稱得它們的質(zhì)量如下(單位：克)：125,120,122,105,130,114,116,95,120,134，則樣本數(shù)據(jù)

37、落在[114.5,124.5)內(nèi)的頻率為________． 解析：數(shù)據(jù)落在[114.5,124.5)內(nèi)的有：120,122,116,120共4個，故所求頻率為＝0.4. 答案：0.4 5．(2012大同模擬)將容量為n的樣本中的數(shù)據(jù)分為6組，繪制頻率分布直方圖，若第一組至第六組的數(shù)據(jù)的頻率之比為2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和為27，則n＝________. 解析：由已知，得n＝27， 即n＝27，解得n＝60. 答案：60 頻率分布直方圖的應(yīng)用 [例1]　(1)在樣本頻率分布直方圖中，共有11個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其他10個

38、小長方形面積和的，且樣本容量為160，則中間一組的頻數(shù)為(　　) A．32　　　　　　　　　　 B．0.2 C．40 D．0.25 (2)某區(qū)高二年級的一次數(shù)學(xué)統(tǒng)考中，隨機抽取200名同學(xué)的成績，成績?nèi)吭?0分至100分之間，將成績按如下方式分成5組：第一組，成績大于等于50分且小于60分；第二組，成績大于等于60分且小于70分；……第五組，成績大于等于90分且小于等于100分，據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．則這200名同學(xué)中成績大于等于80分且小于90分的學(xué)生有______名． [自主解答]　(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可設(shè)中間一組的頻率為x，則x＋4x＝1，解得x＝0

39、.2.故中間一組的頻數(shù)為1600.2＝32. (2)由題知，成績大于等于80分且小于90分的學(xué)生所占的頻率為1－(0.0052＋0.025＋0.045)10＝0.2，所以這200名同學(xué)中成績大于等于80分且小于90分的學(xué)生有2000.2＝40名． [答案]　(1)A　(2)40 ——————————————————— 頻率分布直方圖反映了樣本的頻率分布 (1)在頻率分布直方圖中縱坐標表示， 頻率＝組距. (2)頻率分布表中頻率的和為1，故頻率分布直方圖中各長方形的面積和為1. 1.已知一個樣本容量為100的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，樣本數(shù)據(jù)落在[6,10)內(nèi)的樣本頻

40、數(shù)為________，樣本數(shù)據(jù)落在[2,10)內(nèi)的頻率為________． 解析：樣本數(shù)據(jù)落在[6,10)內(nèi)的樣本頻數(shù)為0.084100＝32，樣本數(shù)據(jù)落在[2,10)內(nèi)的頻率為(0.02＋0.08)4＝0.4. 答案：32　0.4 數(shù)字特征的應(yīng)用 [例2]　(2012安徽高考)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則(　　) A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù) B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù) C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差 D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差 [自主解答]　由題意可知，甲的成績?yōu)?,5,6

41、,7,8，乙的成績?yōu)?,5,5,6,9.所以甲、乙的成績的平均數(shù)均為6，A錯；甲、乙的成績的中位數(shù)分別為6,5，B錯；甲、乙的成績的方差分別為[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝，C對；甲、乙的成績的極差均為4，D錯． [答案]　C ——————————————————— 樣本數(shù)字特征及公式推廣 (1)平均數(shù)和方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體一種簡明的闡述．平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述總體的集中趨勢，方差和標準差描述波動大?。? (2)平均數(shù)、方差公式的推廣 若數(shù)據(jù)x1，x

42、2，…，xn的平均數(shù)為，方差為s2，則數(shù)據(jù)mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為m＋a，方差為m2s2. 2．為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學(xué)隨機抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試，得分(十分制)如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為me，眾數(shù)為m0，平均值為，則(　　) A．me＝m0＝　　　　　　　　 B．me＝m0< C．me

43、即me＝5.5，5出現(xiàn)次數(shù)最多，故m0＝5，＝≈5.97.于是得m0

44、 (2)設(shè)從甲班中任取兩名同學(xué)，兩名同學(xué)分數(shù)之和超過165分為事件A.從甲班6名同學(xué)中任取兩名同學(xué)，則基本事件空間中包含了15個基本事件，又事件A中包含4個基本事件，所以，P(A)＝. 即從甲班中任取兩名同學(xué)，兩名同學(xué)分數(shù)之和超過165分的概率為. ——————————————————— 莖葉圖的優(yōu)缺點 由莖葉圖可以清晰地看到數(shù)據(jù)的分布情況，這一點同頻率分布直方圖類似．它優(yōu)于頻率分布直方圖的第一點是從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù)，沒有任何信息損失，第二點是莖葉圖便于記錄和表示．其缺點是當(dāng)樣本容量較大時，作圖較繁瑣． 0 8 9 1 0 3 5 3.(2012湖南高考

45、)如圖是某學(xué)校一名籃球運動員在五場比賽中所得分數(shù)的莖葉圖，則該運動員在這五場比賽中得分的方差為________． (注：方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中為x1，x2，…，xn的平均數(shù)) 解析：該運動員五場比賽中的得分為8,9,10,13,15，平均得分＝＝11， 方差s2＝[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8. 答案：6.8 4.隨機抽取某中學(xué)甲、乙兩班各10名同學(xué)，測量他們的身高(單位：cm)，獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖(中間的數(shù)字表示身高的百位、十位數(shù)，旁邊的數(shù)字分別表示身高的個位數(shù))如圖所示．

46、 甲班　　　　　　　乙班 2 18 1 9 8 1 0 17 2 5 6 6 9 8 8 4 2 16 3 5 9 8 15 7 (1)根據(jù)莖葉圖判斷哪個班的平均身高較高； (2)計算甲班的樣本方差． 解：(1)由莖葉圖可知乙班身高比較集中在170～181之間，所以乙班的平均身高較高． (2)甲班的方差為： [(182－170)2＋(179－170)2＋(178－170)2＋(171－170)2＋(170－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(16

47、4－170)2＋(162－170)2＋(158－170)2]＝54.2. 2個異同——眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的異同，標準差和方差的異同 (1)眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的異同 ①眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量，平均數(shù)是最重要的量． ②由于平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，所以任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變，這是眾數(shù)和中位數(shù)都不具有的性質(zhì)． ③眾數(shù)考查各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率，其大小只與這組數(shù)據(jù)中部分數(shù)據(jù)有關(guān)．當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時，其眾數(shù)往往更能反映問題． ④某些數(shù)據(jù)的改動對中位數(shù)可能沒有影響，中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給的數(shù)據(jù)中，也可能不在所給的數(shù)據(jù)中．當(dāng)

48、一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時，可用中位數(shù)描述其集中趨勢． (2)標準差和方差的異同 標準差和方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。畼藴什?、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度就越大；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度則越小．因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，所以雖然方差與標準差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差． 2個區(qū)別——直方圖與條形圖的區(qū)別 不要把直方圖錯以為條形圖，兩者的區(qū)別在于條形圖是離散隨機變量，縱坐標刻度為頻數(shù)或頻率，直方圖是連續(xù)隨機變量，縱坐標刻度為頻率/組距，這是密度，連續(xù)隨機變量在某一點上是沒有頻率的.

49、 易誤警示——頻率分布直方圖中的易誤點 [典例]　(2012山東高考)如圖是根據(jù)部分城市某年6月份的平均氣溫(單位：℃)數(shù)據(jù)得到的樣本頻率分布直方圖，其中平均氣溫的范圍是[20.5,26.5]，樣本數(shù)據(jù)的分組為[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知樣本中平均氣溫低于22.5℃的城市個數(shù)為11，則樣本中平均氣溫不低于25.5℃的城市個數(shù)為________． [解析]　最左邊兩個矩形面積之和為0.101＋0.121＝0.22，總城市數(shù)為110.22＝50，最右邊矩形面積為0.18

50、1＝0.18,500.18＝9. [答案]　9 1．忽視頻率分布直方圖中縱軸的含義為頻率/組距，誤認為是每組相應(yīng)的頻率值，導(dǎo)致失誤； 2．不清楚直方圖中各組的面積之和為1，導(dǎo)致某組的頻率不會求； 3．不理解由直方圖求樣本平均值的方法，誤用每組的頻率乘以每組的端點值而導(dǎo)致失誤； 4．由直方圖確定眾數(shù)時應(yīng)為最高矩形中點對應(yīng)的橫坐標值，中位數(shù)應(yīng)為左右兩側(cè)的頻率均等各為. 對某種電子元件的使用壽命進行跟蹤調(diào)查，所得樣本的頻率分布直方圖如圖所示，由圖可知，這一批電子元件中使用壽命在100～300 h的電子元件的數(shù)量與使用壽命在300～600 h的電子元件的數(shù)量的比是________．

51、 解析：壽命在100～300 h的電子元件的頻率為100＝＝； 壽命在300～600 h的電子元件的頻率為100＝. 則它們的電子元件數(shù)量之比為∶＝. 答案： 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分) 1．(2012湖北高考)容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表： 分組 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) 頻數(shù) 2 3 4 5 4 2 則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻率為(　　) A．0.35　　　　　　　　　　 B．0.45 C．0.55 D．0.6

52、5 解析：選B　求得該頻數(shù)為2＋3＋4＝9，樣本容量是20，所以頻率為＝0.45. 2．某校100名學(xué)生的數(shù)學(xué)測試成績分布直方圖如圖所示，分數(shù)不低于a即為優(yōu)秀，如果優(yōu)秀的人數(shù)為20人，則a的估計值是(　　) A．130 B．140 C．134 D．137 解析：選C　由題意知，優(yōu)秀的頻率為0.2，故a的值在130～140之間，則(140－a)0.015＝0.1，解得a＝133.4. 3．(2012陜西高考)對某商店一個月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進行了統(tǒng)計，得到樣本的莖葉圖(如圖所示)，則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是(　　) A．46,45,56 B．46,45,53

53、C．47,45,56 D．45,47,53 解析：選A　從莖葉圖中可以看出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為中間兩個數(shù)的平均數(shù)，即＝46，眾數(shù)為45，極差為68－12＝56. 4．某校甲、乙兩個班級各有5名編號為1,2,3,4,5的學(xué)生進行投籃練習(xí)，每人投10次，投中的次數(shù)如下表： 學(xué)生 1號 2號 3號 4號 5號 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 則以上兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個為s2，則s2＝(　　) A. B. C. D．2 解析：選A　甲＝7，s＝[(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2]＝，乙

54、＝7，s＝[(6－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2]＝， 兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個為s，即s2＝. 5．某單位舉辦技能比賽，9位評委給生產(chǎn)科打出的分數(shù)如莖葉圖所示，統(tǒng)計員在去掉一個最高分和一個最低分后，算得平均分為91，復(fù)核員在復(fù)核時，發(fā)現(xiàn)有一個數(shù)字(莖葉圖中的x)無法看清，若記分員計算無誤，則數(shù)字x應(yīng)該是(　　) 評委給生產(chǎn)科打出的分數(shù) 8 9 8 7 9 2 x 3 4 2 1 A.2 B．3 C．4 D．5 解析：選A　若數(shù)字90＋x是最高分， 則為1＝(88＋89＋91＋92＋92＋93＋9

55、4)≈91.3， 不合題意，因此最高分為94分， 此時平均分2＝(88＋89＋91＋92＋92＋93＋90＋x)， ∴(635＋x)＝91，解得x＝2. 6．(2012江西高考)小波一星期的總開支分布如圖(1)所示，一星期的食品開支如圖(2)所示，則小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為(　　) A．30% B．10% C．3% D．不能確定 解析：選C　由圖(1)得到小波一星期的總開支，由圖(2)得到小波一星期的食品開支，從而再借助圖(2)計算出雞蛋開支占總開支的百分比．由圖(2)知，小波一星期的食品開支為30＋40＋100＋80＋50＝300元，由圖(1)知，

56、小波一星期的總開支為＝1 000元，則小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為100%＝3%. 二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分) 7．(2013徐州模擬)學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽出了一個容量為n且支出在[20,60)元的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在[50,60)元的同學(xué)有30人．則n的值為________． 解析：支出在[50,60)的頻率為1－0.36－0.24－0.1＝0.3，因此＝0.3，故n＝100. 答案：100 1 4 7 8 8 2 0 1 8.(2013南京模擬)為了分析某籃球運動員在比賽中發(fā)揮

57、的穩(wěn)定程度，統(tǒng)計了該運動員在6場比賽中的得分，用莖葉圖表示如圖，則該組數(shù)據(jù)的方差為________． 解析：該運動員6場的總得分為14＋17＋18＋18＋20＋21＝108，平均得分為＝18分，方差＝[(14－18)2＋(17－18)2＋(18－18)2＋(18－18)2＋(20－18)2＋(21－18)2]＝5. 答案：5 9.為了了解大連市今年準備報考飛行員的學(xué)生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖(如圖所示)，已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1∶2∶3，第2小組的頻數(shù)為120，則抽取的學(xué)生人數(shù)是________． 解析：由頻率分布直方圖知：學(xué)生的體重在65

58、～75 kg的頻率為(0.012 5＋0.037 5)5＝0.25，則學(xué)生的體重在50～65 kg的頻率為1－0.25＝0.75. 從左到右第2個小組的頻率為0.75＝0.25， 所以抽取的學(xué)生人數(shù)是1200.25＝480. 答案：480 三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分) 10．(2012安徽高考)若某產(chǎn)品的直徑長與標準值的差的絕對值不超過1 mm時，則視為合格品，否則視為不合格品，在近期一次產(chǎn)品抽樣檢查中，從某廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品中，隨機抽取5 000件進行檢測，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有50件不合格品．計算這50件不合格品的直徑長與標準值的差(單位：mm)，將所得數(shù)據(jù)分組，得到如

59、下頻率分布表： 分組 頻數(shù) 頻率 [－3，－2) 0.10 [－2，－1) 8 (1,2] 0.50 (2,3] 10 (3,4] 合計 50 1.00 (1)將上面表格中缺少的數(shù)據(jù)補充完整； (2)估計該廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品中，不合格品的直徑長與標準值的差落在區(qū)間(1,3]內(nèi)的概率； (3)現(xiàn)對該廠這種產(chǎn)品的某個批次進行檢查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有20件不合格品．據(jù)此估算這批產(chǎn)品中的合格品的件數(shù)． 解：(1) 頻率分布表 分組 頻數(shù) 頻率 [－3，－2) 5 0.10 [－2，－

60、1) 8 0.16 (1,2] 25 0.50 (2,3] 10 0.20 (3,4] 2 0.04 合計 50 1.00 (2)由頻率分布表知，該廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品中，不合格品的直徑長與標準值的差落在區(qū)間(1,3]內(nèi)的概率約為0.50＋0.20＝0.70. (3)設(shè)這批產(chǎn)品中的合格品數(shù)為x件，依題意有＝，解得x＝－20＝1 980. 所以該批產(chǎn)品的合格品件數(shù)估計是1 980件． 11．(2012廣東高考)某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90

61、)，[90,100]． (1)求圖中x的值； (2)從成績不低于80分的學(xué)生中隨機選取2人，該2人中成績在90分以上(含90分)的人數(shù)記為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望． 解：(1)由題意得： 10x＝1－(0.0063＋0.01＋0.054)10＝0.18， 所以x＝0.018. (2)∵成績不低于80分的學(xué)生共有(0.018＋0.006)1050＝12人，其中90分以上(含90分)的共有0.0061050＝3人， 因此ξ的可能值為0,1,2三個值， P(ξ＝0)＝＝，p(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， ∴ξ的分布列為： ξ 0 1 2 P ∴E(ξ)

62、＝0＋1＋2＝. 12．某中學(xué)共有1 000名學(xué)生參加了該地區(qū)高三第一次質(zhì)量檢測的數(shù)學(xué)考試，數(shù)學(xué)成績?nèi)缦卤硭荆? 數(shù)學(xué)成績分組 [0,30) [30,60) [60,90) [90,120) [120,150] 人數(shù) 60 90 300 x 160 (1)為了了解同學(xué)們前段復(fù)習(xí)的得失，以便制定下階段的復(fù)習(xí)計劃，學(xué)校將采用分層抽樣的方法抽取100名同學(xué)進行問卷調(diào)查，甲同學(xué)在本次測試中數(shù)學(xué)成績?yōu)?5分，求他被抽中的概率； (2)已知本次數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀線為110分，試根據(jù)所提供數(shù)據(jù)估計該中學(xué)達到優(yōu)秀線的人數(shù)； (3)作出頻率分布直方圖，并估計該學(xué)校本次考試的數(shù)學(xué)平均分

63、(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)． 解：(1)分層抽樣中，每個個體被抽到的概率均為， 故甲同學(xué)被抽到的概率P＝. (2)由題意得x＝1 000－(60＋90＋300＋160)＝390. 故估計該中學(xué)達到優(yōu)秀線的人數(shù) m＝160＋390＝290. (3)頻率分布直方圖如圖所示． 該學(xué)校本次考試的數(shù)學(xué)平均分． ＝＝90. 估計該學(xué)校本次考試的數(shù)學(xué)平均分為90分． 1．(2012陜西高考)從甲乙兩個城市分別隨機抽取16臺自動售貨機，對其銷售額進行統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)用莖葉圖表示(如圖所示)．設(shè)甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為甲，乙，中位數(shù)分別為m甲，m乙，則(　　) A.

64、甲<乙，m甲>m乙 B.甲<乙，m甲乙，m甲>m乙 D.甲>乙，m甲

65、 解：(1)設(shè)直方圖從左到右前3個小矩形的面積分別為P,2P,3P. 由直方圖可知，最后兩個小矩形的面積之和為 (0.087 5＋0.037 5)2＝0.25. 因為直方圖中各小矩形的面積之和為1， 所以P＋2P＋3P＝0.75，即P＝0.125. 所以3P＋0.087 52＝0.55. 由此估計，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)居民月均用電量在[39.5,43.5)內(nèi)的居民所占百分比約是55%. (2)顯然直方圖的面積平分線位于正中間一個矩形內(nèi)，且該矩形在面積平分線左側(cè)部分的面積為0.5－P－2P＝0.5－0.375＝0.125，設(shè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為39.5＋x. 因為正中間一個矩形的面積為3P

66、＝0.375，所以x∶2＝0.125∶0.375，即x＝≈0.67. 從而39.5＋x≈40.17，由此估計，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)居民月均用電量的中位數(shù)約是40.17(kW/h)． 3．為了解學(xué)生身高情況，某校以10%的比例對全校700名學(xué)生按性別進行分層抽樣調(diào)查，測得身高情況的統(tǒng)計圖如圖所示． (1)估計該校男生的人數(shù)； (2)估計該校學(xué)生身高在170～185 cm之間的概率； (3)從樣本中身高在180～190 cm之間的男生中任選2人，求至少有1人身高在185～190 cm之間的概率． 解：(1)樣本中男生人數(shù)為40，分層抽樣比為10%. 故估計全校男生人數(shù)為400. (2)由統(tǒng)計圖知，樣本中身高在170～185 cm之間的學(xué)生有14＋13＋4＋3＋1＝35人，樣本容量為70. 故該校學(xué)生身高在170～185 cm之間的概率 P1＝＝0.5. (3)由統(tǒng)計圖知，樣本中身高在180～185 cm之間的男生有4人