【創(chuàng)新設(shè)計】高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 限時集訓(xùn)(五十七)直線與圓錐曲線 理 新人教A版

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1、 限時集訓(xùn)(五十七)　直線與圓錐曲線 (限時：45分鐘　滿分：81分) 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分) 1．雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，直線l過焦點F，且斜率為k，則直線l與雙曲線C的左，右兩支都相交的充要條件是(　　) A．k>－　　　　　　　 B．k< C．k>或k<－ D．－b>0)的半焦距為c，若直線y＝2x與橢圓的一個交點的橫坐標恰為c，則橢圓的離心率為(　　)

2、 A. B.－1 C. D.－1 4．(2013溫州模擬)設(shè)O是坐標原點，F(xiàn)是拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，A是拋物線上的一點，與x軸正方向的夾角為60，則||為(　　) A. B. C.p D.p 5．(2013清遠模擬)過點(0,1)作直線，使它與拋物線y2＝4x僅有一個公共點，這樣的直線有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 6．(2013紹興模擬)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)，M，N是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，P是雙曲線上的動點，且直線PM，PN的斜率分別為k1，k2，k1k2≠0，若|k1|＋|k2|的最小值為1，則雙曲

3、線的離心率為(　　) A. B. C. D. 二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分) 7．已知(4,2)是直線l被橢圓＋＝1所截得的線段的中點，則l的方程是________． 8．一動圓過點A(0,1)，圓心在拋物線x2＝4y上，且恒與定直線l相切，則直線l的方程為________． 9．(2012重慶高考)過拋物線y2＝2x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|＝，|AF|<|BF|，則|AF|＝________. 三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分) 10．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋＝1(0

4、線l與E相交于A，B兩點，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列． (1)求|AB|； (2)若直線l的斜率為1，求b的值． 11.(2013株洲模擬)已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，△ABC的三個頂點都在拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點，若BC所在直線l的方程為4x＋y－20＝0. (1)求拋物線C的方程； (2)若O是坐標原點，P，Q是拋物線C上的兩動點，且滿足PO⊥OQ，證明：直線PQ過定點． 12．(2012天津高考)設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A，B，點P在橢圓上且異于A，B兩點，O為坐標原點． (1)若直線AP與BP的斜率之積

5、為－，求橢圓的離心率； (2)若|AP|＝|OA|，證明直線OP的斜率k滿足|k|>. 答 案 限時集訓(xùn)(五十七)　直線與圓錐曲線 1．D　2.B　3.D　4.B　5.C　6.B 7．x＋2y－8＝0　8.y＝－1　9. 10．解：(1)由橢圓定義知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4， 又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得 |AB|＝. (2)l的方程為y＝x＋c，其中c＝. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點坐標滿足方程組化簡得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0. 則x1＋x2＝，x1x2＝. 因為直線AB的斜率為1， 所

6、以|AB|＝|x2－x1|， 即＝|x2－x1|. 則＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝， 解得b＝. 11．解：(1)設(shè)拋物線C的方程為y2＝2mx， 由 得2y2＋my－20m＝0. ∵Δ>0，∴m>0或m<－160. 設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)， 則y1＋y2＝－， ∴x1＋x2＝＋＝10＋. 再設(shè)A(x3，y3)，由于△ABC的重心為F， 則 解得 ∵點A在拋物線上， ∴2＝2m. ∴m＝8，拋物線C的方程為y2＝16x. (2)證明：當(dāng)PQ的斜率存在時，設(shè)PQ的方程為y＝kx＋b，顯然k≠0，b≠0，∵PO⊥OQ，∴kPOkOQ＝－1，設(shè)

7、P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，∴xPxQ＋yPyQ＝0. 將直線y＝kx＋b代入拋物線方程，得ky2－16y＋16b＝0， ∴yPyQ＝.從而xPxQ＝＝， ∴＋＝0.∵k≠0，b≠0， 整理得b＝－16k. ∴直線PQ的方程為y＝kx－16k，PQ過點(16,0)； 當(dāng)PQ的斜率不存在時，顯然PQ⊥x軸，又PO⊥OQ， ∴△POQ為等腰三角形．由 得P(16,16)，Q(16，－16)，此時直線PQ過點(16,0)， ∴直線PQ恒過定點(16,0)． 12．解：(1)設(shè)點P的坐標為(x0，y0)．由題意，有＋＝1.① 由A(－a,0)，B(a,0)得kAP＝，kB

8、P＝. 由kAPkBP＝－，可得x＝a2－2y，代入①并整理得(a2－2b2)y＝0. 由于y0≠0，故a2＝2b2.于是e2＝＝，所以橢圓的離心率 e＝. (2)證明：法一：依題意，直線OP的方程為y＝kx，設(shè)點P的坐標為(x0，y0)．由條件得 消去y0并整理得x＝.② 由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0， 得(x0＋a)2＋k2x＝a2.整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0. 而x0≠0，于是x0＝，代入②， 整理得(1＋k2)2＝4k22＋4. 由a>b>0，故(1＋k2)2>4k2＋4， 即k2＋1>4，因此k2>3，所以|k|>. 法二：依題意，直線OP的方程為y＝kx，可設(shè)點P的坐標為(x0，kx0)． 由點P在橢圓上，有＋＝1.因為a>b>0，kx0≠0，所以＋<1，即(1＋k2)x3，所以|k|>. 5