【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2014高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 分類加法計(jì)數(shù)原理和分布乘法計(jì)數(shù)原理訓(xùn)練 理 新人教A版
第一節(jié) 分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理
[備考方向要明了]
考 什 么
怎 么 考
1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理．
2.會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
高考中，對(duì)于兩個(gè)計(jì)數(shù)原理一般不單獨(dú)考查，多與排列、組合相結(jié)合考查，且多為選擇、填空題，如2012年北京T6，浙江T6等.
[歸納知識(shí)整合]
1．分類加法計(jì)數(shù)原理
完成一件事有n類不同的方案，在第一類方案中有m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事，共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．
[探究] 1.選用分類加法計(jì)數(shù)原理的條件是什么？
提示：當(dāng)完成一件事情有幾類辦法，且每一類辦法中的每一種辦法都能獨(dú)立完成這件事情，這時(shí)就用分類加法計(jì)數(shù)原理．
2．分步乘法計(jì)數(shù)原理
完成一件事需要n個(gè)不同的步驟，完成第一步有m1種不同的方法，完成第二步有m2種不同的方法，…，完成第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1m2…mn種不同的方法．
[探究] 2.選用分類乘法計(jì)數(shù)原理的條件是什么？
提示：當(dāng)解決一個(gè)問(wèn)題要分成若干步，每一步只能完成這件事的一部分，且只有當(dāng)所有步都完成后，這件事才完成，這時(shí)就采用分步乘法計(jì)數(shù)原理．
[自測(cè)牛刀小試]
1．一個(gè)袋子里放有6個(gè)球，另一個(gè)袋子里放有8個(gè)球，每個(gè)球各不相同，從兩袋子里各取一個(gè)球，不同取法的種數(shù)為( )
A．182 B．14
C．48 D．91
解析：選C 由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同取法的種數(shù)為
68＝48.
2．某學(xué)生去書店，發(fā)現(xiàn)3本好書，決定至少買其中一本，則購(gòu)買方式共有( )
A．3種 B．6種
C．7種 D．9種
解析：選C 分3類：買1本書，買2本書和買3本書．各類的購(gòu)買方式依次有3種、3種和1種，故購(gòu)買方式共有3＋3＋1＝7種．
3．從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)有( )
A．30 B．20
C．10 D．6
解析：選D 從0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字中，任取兩數(shù)和為偶數(shù)可分為兩類，①取出的兩數(shù)都是偶數(shù)，共有3種方法；②取出的兩數(shù)都是奇數(shù)，共有3種方法，故由加法原理得共有N＝3＋3＝6種．
4．如圖，從A→C有________種不同的走法．
解析：分為兩類：不過(guò)B點(diǎn)有2種方法，過(guò)B點(diǎn)有22＝4種方法，共有4＋2＝6種方法．
答案：6
5．設(shè)集合A中有3個(gè)元素，集合B中有2個(gè)元素，可建立A→B的映射的個(gè)數(shù)為________．
解析：建立映射，即對(duì)于A中的每一個(gè)元素，在B中都有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，有2種方法，故由分步乘法計(jì)數(shù)原理得映射有23＝8個(gè)．
答案：8
分類加法計(jì)數(shù)原理
[例1] (1)(2012北京高考)從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為( )
A．24 B．18
C．12 D．6
(2)將5名同學(xué)分到甲、乙、丙3個(gè)小組，若甲組至少兩人，乙、丙組至少各一人，則不同的分配方案的種數(shù)為( )
A．80 B．120
C．140 D．50
[自主解答] (1)法一：(直接法)本題可以理解為選出三個(gè)數(shù)，放在三個(gè)位置，要求末尾必須放奇數(shù)，如果選到了0這個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)不能放在首位，所以n＝CCA＋CC＝12＋6＝18；
法二：(間接法)奇數(shù)的個(gè)數(shù)為n＝CCCA－CC＝18.
(2)分兩類：若甲組2人，則乙、丙兩組的方法數(shù)是CA，此時(shí)的方法數(shù)是CCA＝60；若甲組3人，則方法數(shù)是CA＝20.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得總的方法數(shù)是60＋20＝80.
[答案] (1)B (2)A
本例(1)條件不變，求有多少個(gè)能被5整除的數(shù)？
解：能被5整除的數(shù)分兩類：當(dāng)個(gè)位數(shù)是0時(shí)，有A＝6個(gè)；
當(dāng)個(gè)位數(shù)是5時(shí)，若含有數(shù)字0時(shí)，則有2個(gè)，若不含有0時(shí)，則有CA＝4個(gè)．故共有12個(gè)能被5整除的數(shù)．
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使用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)的兩個(gè)條件
一是根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)能確定一個(gè)適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類；
二是完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法，只有滿足這些條件，才可以用分類加法計(jì)數(shù)原理．
1．若自然數(shù)n使得作豎式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，則稱n為“良數(shù)”．例如：32是“良數(shù)”，因?yàn)?2＋33＋34不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；23不是“良數(shù)”，因?yàn)?3＋24＋25產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象．那么小于1 000的“良數(shù)”的個(gè)數(shù)為( )
A．27 B．36
C．39 D．48
解析：選D 一位“良數(shù)”有0,1,2，共3個(gè)；兩位數(shù)的“良數(shù)”十位數(shù)可以是1,2,3，兩位數(shù)的“良數(shù)”有10,11,12,20,21,22,30,31,32，共9個(gè)；三位數(shù)的“良數(shù)”有百位為1,2,3，十位數(shù)為0的，個(gè)位可以是0,1,2，共33＝9個(gè)，百位為1,2,3，十位不是零時(shí)，十位個(gè)位可以是兩位“良數(shù)”，共有39＝27個(gè)．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有48個(gè)小于1 000的“良數(shù)”．
分步乘法計(jì)數(shù)原理
[例2] 學(xué)校安排4名教師在六天里值班，每天只安排一名教師，每人至少安排一天，至多安排兩天，且這兩天要相連，那么不同的安排方法有________種(用數(shù)字作答)．
[自主解答] 有兩名教師要值班兩天，把六天分為四份，兩個(gè)兩天連排的是(1,2)，(3,4)；(1,2)，(4,5)；(1,2)，(5,6)；(2,3)，(4,5)；(2,3)，(5,6)；(3,4)，(5,6)，共六種情況，把四名教師進(jìn)行全排列，有A＝24種情況，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有不同的排法624＝144種．
[答案] 144
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使用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)的兩個(gè)注意點(diǎn)
(1)要按照事件發(fā)生的過(guò)程合理分步，即分步是有先后順序的；
(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各個(gè)步驟都完成才算完成這件事.
2．將數(shù)字1,2,3,4,5,6按第一行1個(gè)數(shù)，第二行2個(gè)數(shù)，第三行3個(gè)數(shù)的形式隨機(jī)排列，設(shè)Ni(i＝1,2,3)表示第i行中最大的數(shù)，則滿足N1
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