24、2，它的周長(zhǎng)是4 cm，求圓心角的弧度數(shù)和弦長(zhǎng)AB.
解：設(shè)圓的半徑為r cm，
弧長(zhǎng)為l cm，
則解得
則圓心角α＝＝2.
如圖，過(guò)O作OH⊥AB于H.則∠AOH＝1，
故AH＝1sin 1＝sin 1 cm，故AB＝2sin 1 cm.
12．角α終邊上的點(diǎn)P與A(a,2a)關(guān)于x軸對(duì)稱(a＞0)，角β終邊上的點(diǎn)Q與A關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，求sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β的值．
解：由題意得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，－2a)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2a，a)．
所以，sin α＝＝－，
cos α＝＝，
tan α＝＝－2，
sin β＝
25、＝，
cos β＝＝，
tan β＝＝，
故有sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β
＝＋＋(－2)＝－1.
1．(1)把－1 480寫成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π；
(2)在0～720的范圍內(nèi)，找出與終邊相同的角．
解：(1)∵－1 480＝－1 480rad＝－rad，
又－＝－10π＋＝－52π＋，
故－1480＝＋(－5)2 π.
(2)∵＝180＝72，∴終邊與相同的角為θ＝72＋k360(k∈Z)．當(dāng)k＝0時(shí)，θ＝72；當(dāng)k＝1時(shí)，θ＝432，∴在0～720的范圍內(nèi)，與終邊相同的角為72，432.
2．(1)如
26、果點(diǎn)P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，試判斷角θ所在的象限．
(2)若θ是第二象限角，試判斷的符號(hào)是什么？
解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，
所以sin θcos θ＜0,2cos θ＜0，即
所以θ為第二象限角．
(2)∵2kπ＋＜θ＜2kπ＋π(k∈Z)，
∴－1＜cos θ＜0,4kπ＋π＜2θ＜4kπ＋2π(k∈Z)，
－1≤sin 2θ＜0，
∴sin(cos θ)＜0，cos(sin 2θ)＞0.
∴＜0.∴的符號(hào)是負(fù)號(hào)．
3．已知一扇形的圓心角為α(α＞0)，所在圓的半徑為R.若扇形的周長(zhǎng)是一定值C(C
27、＞0)，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？
解：∵扇形周長(zhǎng)C＝2R＋l＝2R＋αR，
∴R＝，
∴S扇＝αR2＝α2
＝α＝≤，
當(dāng)且僅當(dāng)α2＝4，即α＝2時(shí)，扇形面積有最大值.
4．設(shè)θ是第二象限角，試比較sin ，cos ，tan 的大小．
解：∵θ是第二象限角，
∴＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z，
∴是第一或第三象限的角．
(如圖陰影部分)，結(jié)合單位圓上的三角函數(shù)線可得：
①當(dāng)是第一象限角時(shí)，
sin＝AB，cos ＝OA，tan ＝CT，
從而得，cos＜sin＜tan；
②當(dāng)是第三象限角時(shí)，
sin＝EF，cos＝OE
28、，tan＝CT，
得sin＜cos＜tan .
綜上所得，當(dāng)在第一象限時(shí)，cos＜sin ＜tan；
當(dāng)在第三象限時(shí)，sin＜cos＜tan.
第二節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式
[備考方向要明了]
考 什 么
怎 么 考
1.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出α，πα的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式．
2.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.
1.以選擇題或填空題的形式考查利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式解決條件求值問(wèn)題，主要包括知角求值、知值求角和知值求值，如2012年遼寧T7等．
2.作為一種運(yùn)用與
29、三角恒等變換相結(jié)合出現(xiàn)在解答題中，主要起到化簡(jiǎn)三角函數(shù)關(guān)系式的作用.
[歸納知識(shí)整合]
1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商數(shù)關(guān)系：tan α＝.
[探究] 1.如何理解基本關(guān)系中“同角”的含義？
提示：只要是同一個(gè)角，基本關(guān)系就成立，不拘泥于角的形式，如sin2＋cos2＝1，tan 4α＝等都是成立的，而sin2θ＋cos2φ＝1就不成立．
2．誘導(dǎo)公式
組數(shù)
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin_α
－sin_α
－s
30、in_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos_α
－cos_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tan_α
tan_α
－tan_α
－tan_α
口訣
函數(shù)名不變符號(hào)看象限
函數(shù)名改變符號(hào)看象限
即α＋k2π(k∈Z)，－α，πα的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)；α的正弦(余弦)函數(shù)值，分別等于α的余弦(正弦)函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)．
[探究] 2.有人說(shuō)sin(kπ－α)＝sin(π－α)＝sin α(k∈Z)，你認(rèn)為正確嗎？
提
31、示：不正確．當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，sin(kπ－α)＝sin(2nπ－α)＝sin(－α)＝－sin α；
當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，sin(kπ－α)＝sin[(2n＋1)π－α]＝sin(2nπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α.
3．誘導(dǎo)公式的口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”中的“符號(hào)”是否與α的大小有關(guān)？
提示：無(wú)關(guān)，只是把α從形式上看作銳角，從而2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α，－α，＋α分別是第一，三，四，二，一，二象限角．
[自測(cè)牛刀小試]
1．(教材習(xí)題改編)已知cos(π＋α)＝，則sin α的值為( )
A． B.
C.
32、 D．
解析：選D cos(π＋α)＝－cos α＝，∴cos α＝－，
∴sin α＝＝.
2．tan 690的值為( )
A．－ B.
C. D．－
解析：選A tan 690＝tan(－30＋2360)
＝tan(－30)＝－tan 30＝－.
3．(教材習(xí)題改編)若tan α＝2，則的值為( )
A．－ B．－
C. D.
解析：選C?。剑剑?
4．(教材習(xí)題改編)已知tan α＝，π＜α＜π，則cos α－sin α＝________.
解析：∵tan α＝，π＜α＜π，∴α＝π，
∴cos α－sin α＝cos π－sin π
33、＝－cos ＋sin ＝－＋＝.
答案：
5．計(jì)算sin－cos＋tan＝________.
解析：原式＝sin－cos－tan
＝sin－cos－tan
＝－sin＋cos－＝－＋1.
答案：－＋1
同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用
[例1] 已知α是三角形的內(nèi)角，且sin α＋cos α＝.
(1)求tan α的值；
(2)把用tan α表示出來(lái)，并求其值．
[自主解答] (1)法一：
聯(lián)立方程
由①得cos α＝－sin α，
將其代入②，整理得
25sin2α－5sin α－12＝0.
∵α是三角形內(nèi)角，
∴∴tan α＝－.
法二：∵s
34、in α＋cos α＝，
∴(sin α＋cos α)2＝2，即1＋2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝－，
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.
∵sin αcos α＝－<0且0<α<π，
∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0.
∴sin α－cos α＝.
由得
∴tan α＝－.
(2)＝＝＝.
∵tan α＝－，
∴＝＝＝－.
保持本例條件不變，求：(1)；
(2)sin2α＋2sin αcos α的值．
解：由例題可知
tan α＝－.
(1)
＝＝＝.
(2)sin
35、2α＋2sin αcos α＝
＝＝＝－.
———————————————————
同角三角函數(shù)關(guān)系式及變形公式的應(yīng)用
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化．
(2)應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個(gè)式子，利用(sin αcos α)2＝12sin αcos α，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
1．已知sin α＝2sin
36、β，tan α＝3tan β，求cos α.
解：∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，
∴sin2α＝4sin2β，①
tan2α＝9tan2β.②
由①②得：9cos2α＝4cos2β.③
由①＋③得sin2α＋9cos2α＝4.
又sin2α＋cos2α＝1，
∴cos2α＝，∴cos α＝.
誘導(dǎo)公式的應(yīng)用
[例2] (1)已知cos＝，求cos的值；
(2)已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)tan的值．
[自主解答] (1)∵＋＝π，
∴－α＝π－.
∴cos＝cos
＝－cos＝－，
即cos＝－
37、.
(2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝.
∴sin(3π＋α)tan
＝sin(π＋α)
＝sin αtan＝sin α
＝sin α＝cos α＝.
———————————————————
利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)的思路和要求
(1)思路方法：①分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)公式；②利用公式化成單角三角函數(shù)；③整理得最簡(jiǎn)形式．
(2)化簡(jiǎn)要求：①化簡(jiǎn)過(guò)程是恒等變形；②結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)單，能求值的要求出值.
2．(1)已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角
38、，則＝( )
A. B．－
C．－ D.
(2)設(shè)f(α)＝，則f＝________.
解析：(1)選B ∵方程5x2－7x－6＝0的根為x1＝2，x2＝－，
由題知sin α＝－，∴cos α＝－，tan α＝.
∴原式＝＝－tan2α＝－.
(2)∵f(α)＝
＝＝＝，
∴f＝＝＝＝.
答案：
誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用
[例3] 在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三個(gè)內(nèi)角．
[自主解答] 由已知得
①2＋②2得2cos2A＝1
即cos A＝或cos A＝－.
39、(1)∵當(dāng)cos A＝時(shí)，cos B＝，
又A、B是三角形的內(nèi)角，∴A＝，B＝，
∴C＝π－(A＋B)＝.
(2)∵當(dāng)cos A＝－時(shí)，cos B＝－.
又A、B是三角形的內(nèi)角，
∴A＝，B＝，不合題意．
綜上知，A＝，B＝，C＝.
———————————————————
1．三角形中的誘導(dǎo)公式
在三角形ABC中常用到以下結(jié)論：
sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，
sin＝sin＝cos ，
cos＝cos＝sin.
2．求角的一般步驟
求角時(shí)，
40、一般先求出該角的某一三角函數(shù)值，再確定該角的范圍，最后求角．
3．在△ABC中，sin A＋cos A＝，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三個(gè)內(nèi)角．
解：∵sin A＋cos A＝，
∴1＋2sin Acos A＝2，∴sin2A＝1.
∵A為△ABC的內(nèi)角，
∴2A＝，∴A＝.
∵cos A＝－cos(π－B)，
∴cos＝cos B，
∴cos B＝.
∵0＜B＜π，∴B＝.
∵A＋B＋C＝π，∴C＝.
∴A＝，B＝，C＝.
1個(gè)口訣——誘導(dǎo)公式的記憶口訣
奇變偶不變，符號(hào)看象限．
1個(gè)原則——誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則
負(fù)化正、大化小、化
41、到銳角為終了．
3種方法——三角函數(shù)求值與化簡(jiǎn)的常用方法
(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．
(2)和積轉(zhuǎn)換法：利用(sin θcos θ)2＝12sin θcos θ的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化．
(3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝….
3個(gè)防范——應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式與誘導(dǎo)公式應(yīng)注意的問(wèn)題
(1)利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí)，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負(fù)—脫周—化銳．
特別注意函數(shù)名稱和符號(hào)的確定．
(2)在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開(kāi)方，要特別注意判斷符號(hào)．
(3
42、)注意求值與化簡(jiǎn)后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化.
易誤警示——應(yīng)用同角三角函數(shù)平方關(guān)系的誤區(qū)
[典例] (2011重慶高考)若cos α＝－，且α∈，則tan α＝________.
[解析] 依題意得sin α＝－＝－，
tan α＝＝.
[答案]
1．解答本題時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)以下兩種失誤
(1)忽視題目中已知條件α的范圍，求得sin α的兩個(gè)值而致誤；
(2)只注意到α的范圍，但判斷錯(cuò)sin α的符號(hào)而導(dǎo)致tan α的值錯(cuò)誤．
2．由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求sin α或cos α?xí)r，要注意以下兩點(diǎn)
(1)題目中若沒(méi)有限定角α的范圍，則sin α或co
43、s α的符號(hào)應(yīng)有兩種情況，不可漏掉．
(2)若已給出α的范圍，則要準(zhǔn)確判斷在給定范圍內(nèi)sin α或cos α的符號(hào)，不合題意的一定要舍去．
1．(2013福州模擬)已知α∈，tan α＝2，則cos α＝________.
解析：依題意得由此解得cos2α＝，又α∈，因此cos α＝－.
答案：－
2．(2013泰州模擬)若θ∈，sin 2θ＝，則cos θ－sin θ的值是________．
解析：(cos θ－sin θ)2＝1－sin 2θ＝.
∵＜θ＜，∴cos θ＜sin θ.∴cos θ－sin θ＝－.
答案：－
一、選擇題(本大題共6小題，每小題5
44、分，共30分)
1．α是第一象限角，tan α＝，則sin α＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：選B tan α＝＝，sin2 α＋cos2α＝1，且α是第一象限角，所以sin α＝.
2．若sin＝，則cos＝( )
A．－ B.
C. D．－
解析：選B cos＝cos＝sin＝.
3．(2013安徽名校模擬)已知tan x＝2，則sin2x＋1＝( )
A．0 B.
C. D.
解析：選B sin2x＋1＝＝＝.
4．已知f(α)＝，則f的值為( )
A. B．－
C．－ D.
解析：選C
45、∵f(α)＝＝－cos α，
∴f＝－cos＝－cos
＝－cos＝－.
5．(2013西安模擬)已知2tan αsin α＝3，－＜α＜0，則sin α＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：選B 由2tan αsin α＝3得，＝3，
即2cos2α＋3cos α－2＝0，又－＜α＜0，
解得cos α＝(cos α＝－2舍去)，
故sin α＝－.
6．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的兩根，則m的值為( )
A．1＋ B．1－
C．1 D．－1－
解析：選B 由題意知：sin θ＋cos θ＝－，
sin θcos
46、 θ＝.∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，
∴＝1＋，解得m＝1，又Δ＝4m2－16m≥0，
∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.
二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)
7．化簡(jiǎn)＋＝________.
解析：原式＝＋
＝－sin α＋sin α＝0.
答案：0
8．若cos(2π－α)＝，且α∈，則sin(π－α)＝________.
解析：由誘導(dǎo)公式可知cos(2π－α)＝cos α，sin(π－α)＝sin α，由sin2α＋cos2α＝1可得，sin α＝，
∵α∈，∴sin α＝－.
答案：－
9．已知sin(π－α)－cos(
47、π＋α)＝.則sin α－cos α＝________.
解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，
得sin α＋cos α＝，①
將①兩邊平方得1＋2sin αcos α＝，
故2sin αcos α＝－.
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－＝.
又∵＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.
∴sin α－cos α＝.
答案：
三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)
10．已知sin(3π＋θ)＝，求＋的值．
解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝，
∴sin θ＝－.
∴原式＝＋
＝＋
＝＋＝
＝＝＝
48、18.
11．已知關(guān)于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的兩根sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的兩根及此時(shí)θ的值．
解：(1)原式＝＋
＝＋
＝＝sin θ＋cos θ.
由條件知sin θ＋cos θ＝，
故＋＝.
(2)由sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝1＋2sin θcos θ
＝(sin θ＋cos θ)2，得m＝.
(3)由知
或
又θ∈(0,2π)，故θ＝或θ＝.
12．是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同時(shí)成立？
49、
若存在，求出α，β的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：假設(shè)存在α、β使得等式成立，即有
由誘導(dǎo)公式可得
③2＋④2得
sin2α＋3cos2α＝2，解得cos2α＝.
又∵α∈，∴α＝或α＝－.
將α＝代入④得cos β＝.又β∈(0，π)，
∴β＝，代入③可知符合．
將α＝－代入④得cos β＝.又β∈(0，π)．
∴β＝，代入③可知不符合．
綜上可知，存在α＝，β＝滿足條件．
1．記cos(－80)＝k，那么tan 100＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：選B ∵cos(－80)＝cos 80＝k，
sin 80＝，
∴tan
50、 80＝，tan 100＝－tan 80＝－.
2．sin 585的值為( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：選A 注意到585＝360＋180＋45，因此sin 585＝sin(360＋180＋45)＝－sin 45＝－.
3．若cos α＋2sin α＝－，則tan α＝( )
A. B．2
C．－ D．－2
解析：選B ∵cos α＋2sin α＝－，結(jié)合sin2α＋cos2α＝1得(sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－，cos α＝－，
∴tan α＝2.
4．求值：sin(－1 200)cos 1 290＋cos(－1 020)sin(
51、－1 050)＋tan 945.
解：原式＝－sin 1 200cos 1 290＋cos 1 020
(－sin 1 050)＋tan 945
＝－sin 120cos 210＋cos 300(－sin 330)＋tan 225
＝(－sin 60)(－cos 30)＋cos 60sin 30＋tan 45
＝＋＋1＝2.
5．若sin θ，cos θ是關(guān)于x的方程5x2－x＋a＝0(a是常數(shù))的兩根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．
解：∵由題意知：sin θ＋cos θ＝，
∴(sin θ＋cos θ)2＝.
∴sin 2θ＝－，
即2sin θcos θ＝－＜0
52、，
則sin θ與cos θ異號(hào)．
又sin θ＋cos θ＝＞0，∴＜θ＜，∴π＜2θ＜.
故cos 2θ＝－＝－.
第三節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
[備考方向要明了]
考 什 么
怎 么 考
1.能畫出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性．
2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值以及與x軸的交點(diǎn)等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.
1.以選擇題或填空題的形式考查三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性及對(duì)稱性．如2012年新課標(biāo)全國(guó)T9等．
2.以選擇題或填空題的形式考查三角函數(shù)的值域或
53、最值問(wèn)題．如2012年湖南T6等．
3.與三角恒等變換相結(jié)合出現(xiàn)在解答題中．如2012年北京T15等.
[歸納知識(shí)整合]
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)
函數(shù)
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
圖象
定義域
R
R
k∈Z}
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
單調(diào)性
遞增區(qū)間：(k∈Z)
遞減區(qū)間：(k∈Z)
遞增區(qū)間：[2kπ－π，2kπ] (k∈Z)
遞減區(qū)間：[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)
遞增區(qū)間：(k∈Z)
最 值
x＝2kπ＋(k∈Z)時(shí)，ymax＝1 x＝2kπ－(k∈Z)時(shí)，y
54、min＝－1
x＝2kπ(k∈Z)時(shí)，ymax＝1 x＝2kπ＋π(k∈Z) 時(shí)，ymin＝－1
無(wú)最值
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
對(duì)稱性
對(duì)稱中心(kπ，0)，k∈Z
對(duì)稱中心，k∈Z
對(duì)稱中心(k∈Z)
對(duì)稱軸l x＝kπ＋，k∈Z
對(duì)稱軸l x＝kπ，k∈Z
無(wú)對(duì)稱軸
周期
2π
2π
π
[探究] 1.正切函數(shù)y＝tan x在定義域內(nèi)是增函數(shù)嗎？
提示：不是．正切函數(shù)y＝tan x在每一個(gè)區(qū)間(k∈Z)上都是增函數(shù)，但在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，故不是增函數(shù)．
2．當(dāng)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)時(shí)，φ的取值是什么？對(duì)于函
55、數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)呢？
提示：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時(shí)是奇函數(shù)，當(dāng)φ＝kπ＋(k∈Z)時(shí)是偶函數(shù)；函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)φ＝kπ＋(k∈Z)時(shí)是奇函數(shù)．
[自測(cè)牛刀小試]
1．(教材習(xí)題改編)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin，x∈R，則f(x)是( )
A．最小正周期為π的奇函數(shù)
B．最小正周期為π的偶函數(shù)
C．最小正周期為的奇函數(shù)
D．最小正周期為的偶函數(shù)
解析：選B ∵f(x)＝sin(2x－)＝－cos 2x，
∴f(x)是最小正周期為π的偶函數(shù)．
2．(教材習(xí)題改編)函數(shù)y＝4sin x，x∈[－
56、π，π]的單調(diào)性是( )
A．在[－π，0]上是增函數(shù)，在[0，π]上是減函數(shù)
B．在上是增函數(shù)，在和上都是減函數(shù)
C．在[0，π]上是增函數(shù)，在[－π，0]上是減函數(shù)
D．在∪上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)
解析：選B 由函數(shù)y＝4sin x，x∈[－π，π]的圖象可知，該函數(shù)在上是增函數(shù)，在和上是減函數(shù)．
3．函數(shù)y＝ 的定義域?yàn)? )
A.
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D．R
解析：選C ∵cosx－≥0，得cos x≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
4．(教材習(xí)題改編)函數(shù)f(x)＝sin，x∈R的最小正周期為_(kāi)_______．
解析：函數(shù)f(x)＝sin
57、的最小正周期為
T＝＝4π.
答案：4π
5．函數(shù)y＝3－2cos的最大值為_(kāi)_______，此時(shí)x＝________.
解析：函數(shù)y＝3－2cos的最大值為3＋2＝5，此時(shí)x＋＝π＋2kπ，即x＝＋2kπ(k∈Z)．
答案：5?。?kπ(k∈Z)
三角函數(shù)的定義域和值域
[例1] (1)求函數(shù)y＝lg(2sin x－1)＋的定義域；
(2)求函數(shù)y＝2cos2x＋5sin x－4的值域．
[自主解答] (1)要使函數(shù)有意義，必須有
即
解得(k∈Z)，
即＋2kπ≤x＜＋2kπ(k∈Z)．
故所求函數(shù)的定義域?yàn)?k∈Z)．
(2)y＝2cos2
58、x＋5sin x－4
＝2(1－sin2x)＋5sin x－4
＝－2sin2x＋5sin x－2
＝－2(sin x－)2＋.
故當(dāng)sin x＝1時(shí)，ymax＝1，
當(dāng)sin x＝－1時(shí)，ymin＝－9，
故y＝2cos2x＋5sin x－4的值域?yàn)閇－9,1]．
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1．三角函數(shù)定義域的求法
求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡(jiǎn)單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來(lái)求解．
2．三角函數(shù)值域的求法
求解三角函數(shù)的值域(最值)常見(jiàn)到以下幾種類型的題目：①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k
59、的形式，再求最值(值域)；②形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)sin x＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；③形如y＝asin xcos x＋b(sin xcos x)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sin xcos x，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)．
1．(1)求函數(shù)y＝＋的定義域；
(2)設(shè)a∈R，f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos2滿足f＝f(0)，求函數(shù)f(x)在上的最大值和最小值．
解：(1)要使函數(shù)有意義
則即
利用數(shù)軸可得：
所以函數(shù)的定義域是.
(2)f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋c
60、os2
＝asin xcos x－cos2x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x.
由于f＝f(0)，
所以sin－cos＝－1，
即－a＋＝－1，得a＝2.
于是f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
由于x∈，所以2x－∈，
因此當(dāng)2x－＝即x＝時(shí)f(x)取得最大值f＝2，
當(dāng)2x－＝即x＝時(shí)f(x)取得最小值f＝.
三角函數(shù)的單調(diào)性
[例2] 求下列函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間：
(1)y＝2sin；(2)y＝tan.
[自主解答] (1)由2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.
故函數(shù)y＝2sin的單調(diào)減區(qū)間為
61、(k∈Z)．
(2)把函數(shù)y＝tan變?yōu)閥＝－tan.
由kπ－<2x－
62、A＞0(A＜0)時(shí)，所列不等式的方向與y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的單調(diào)區(qū)間對(duì)應(yīng)的不等式方向相同(反)．對(duì)于y＝Atan(ωx＋φ)(A、ω、φ為常數(shù))，其周期T＝，單調(diào)區(qū)間利用ωx＋φ∈，解出x的取值范圍，即為其單調(diào)區(qū)間．
2．復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法
對(duì)于復(fù)合函數(shù)y＝f(v)，v＝φ(x)，其單調(diào)性判定方法是：若y＝f(v)和v＝φ(x)同為增(減)函數(shù)時(shí)，y＝f(φ(x))為增函數(shù)；若y＝f(v)和v＝φ(x)一增一減時(shí)，y＝f(φ(x))為減函數(shù)．
3．含絕對(duì)值的三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法
求含有絕對(duì)值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時(shí)，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定．
63、
2．若函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω＞0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則ω等于( )
A．3 B．2
C. D.
解析：選C ∵y＝sin ωx(ω＞0)過(guò)原點(diǎn)，
∴當(dāng)0≤ωx≤，即0≤x≤時(shí)．
y＝sin ωx是增函數(shù)；
當(dāng)≤ωx≤，即≤x≤時(shí)，
y＝sin ωx是減函數(shù)．
由y＝sin ωx(ω＞0)在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減知，＝，故ω＝.
三角函數(shù)的周期性、奇偶性與對(duì)稱性
[例3] (1)(2012福建高考)函數(shù)f(x)＝sin的圖象的一條對(duì)稱軸是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝－
64、 D．x＝－
(2)(2012新課標(biāo)全國(guó)卷)已知ω>0,0<φ<π，直線x＝和x＝是函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸，則 φ＝( )
A. B.
C. D.
(3)(2012大綱全國(guó)卷)若函數(shù)f(x)＝sin (φ∈[0,2π])是偶函數(shù)，則φ＝( )
A. B.
C. D.
[自主解答] (1)法一：(圖象特征)
∵正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱軸過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，
故令x－＝kπ＋，k∈Z，∴x＝kπ＋，k∈Z.取k＝－1，則x＝－.
法二：(驗(yàn)證法)
x＝時(shí)，y＝sin＝0，不合題意，排除A；x＝時(shí)，y＝sin＝
65、，不合題意，排除B；x＝－時(shí)，y＝sin＝－1，符合題意，C項(xiàng)正確；而x＝－時(shí)，y＝sin＝－，不合題意，故D項(xiàng)也不正確．
(2)由于直線x＝和x＝是函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T＝2π，所以ω＝1，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)．
又0<φ<π，所以φ＝.
(3)若f(x)為偶函數(shù)，則f(0)＝1，
即sin ＝1，∴＝kπ＋(k∈Z)．
∴φ＝3kπ＋(k∈Z)．只有C項(xiàng)符合．
[答案] (1)C (2)A (3)C
本例(1)中函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心是什么？
提示：令x－＝kπ，k∈Z，則x＝＋kπ，k∈Z.
故函數(shù)f(x)＝sin的對(duì)稱中心為(k∈Z)．
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函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性及對(duì)稱性
(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得最大或最小值．
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)＝0.
(2)對(duì)于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，其對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此在判斷直線x＝x0或點(diǎn)(x0，0)是否是函數(shù)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí)，可通過(guò)檢驗(yàn)f(x0)的值進(jìn)行判斷.
3．(1)函數(shù)y
【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)訓(xùn)練 理 新人教A版
