2019-2020年高三下學(xué)期教學(xué)情況調(diào)研（二）數(shù)學(xué).doc

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2019-2020年高三下學(xué)期教學(xué)情況調(diào)研（二）數(shù)學(xué) 數(shù) 學(xué) Ⅰ 試 題 xx.5 注意事項(xiàng)： 1．本試卷共4頁，包括填空題（第1題～第14題）、解答題（第15題～第20題）兩部分．本試卷滿分160分，考試時(shí)間120分鐘． 2．答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、考試號(hào)用毫米黑色字跡的簽字筆填寫在答題卡的指定位置． 3．答題時(shí)，必須用毫米黑色字跡的簽字筆填寫在答題卡的指定位置，在其它位置作答一律無效． 4．如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請(qǐng)加黑加粗，描寫清楚． 5. 請(qǐng)保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損．一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆． 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．不需要寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填在答題卡相應(yīng)位置上． 1．已知集合，，則 ▲ ． 2．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，，且，則 ▲ ． 3．下表是一個(gè)容量為10的樣本數(shù)據(jù)分組后的頻數(shù)分布．若利用組中值近似計(jì)算本組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則的值為　 ▲ ． 數(shù)據(jù) 頻數(shù) 2 1 3 4 4．已知直線為雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的離心率的值為 ▲ ． 輸入 輸出 5．據(jù)記載，在公元前3世紀(jì)，阿基米德已經(jīng)得出了前n個(gè)自然數(shù)平方和的一般公式．右圖是一個(gè)求前n個(gè)自然數(shù)平方和的算法流程圖，若輸入的值為1，則輸出的值為 ▲ ． 6．已知是集合所表示的區(qū)域，是集合所表示的區(qū)域，向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)的投一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率為 ▲ ． 7．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公比，，則 ▲ ． 8．已知直四棱柱底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，側(cè)面對(duì)角線的長(zhǎng)為，則該直四棱柱的側(cè)面積為 ▲ ． 9．已知是第二象限角，且，，則 ▲ ． 10．已知直線：，圓：，當(dāng)直線被圓所截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，實(shí)數(shù) ▲ ． 11．在△中，角對(duì)邊分別是，若滿足，則角的大小為 ▲ ． 12．在△中，，，，是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若 ，則△PBC面積的最小值為 ▲ ． 13．已知函數(shù) 若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b 的取值范圍為 ▲ ． 14．已知均為正數(shù)，且，則的最小值為 ▲ ． 二、解答題：本大題共6小題，共90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟． 15．（本小題滿分14分） 已知向量,． （1）當(dāng)時(shí)，求的值； （2）若，且，求的值． P G F E D C B A 16．（本小題滿分14分） 如圖，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面ACD， E，F(xiàn)，G分別為AB，AD，AC的中點(diǎn)，， ． （1）求證：AB⊥平面EDC； （2）若P為FG上任一點(diǎn)，證明EP∥平面BCD． 17．（本小題滿分14分） 某科研小組研究發(fā)現(xiàn)：一棵水蜜桃樹的產(chǎn)量（單位：百千克）與肥料費(fèi)用（單位：百元）滿足如下關(guān)系：，且投入的肥料費(fèi)用不超過5百元．此外，還需要投入其他成本（如施肥的人工費(fèi)等）百元．已知這種水蜜桃的市場(chǎng)售價(jià)為16元/千克（即16百元/百千克），且市場(chǎng)需求始終供不應(yīng)求．記該棵水蜜桃樹獲得的利潤(rùn)為（單位：百元）． （1）求利潤(rùn)函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域； （2）當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少時(shí)，該水蜜桃樹獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？ 18．（本小題滿分16分） 已知函數(shù)，a，b為實(shí)數(shù)，， e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，…． （1）當(dāng)，時(shí)，設(shè)函數(shù)的最小值為，求的最大值； （2）若關(guān)于x 的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，求的取值范圍． 19．（本小題滿分16分） 已知橢圓的左焦點(diǎn)為，左準(zhǔn)線方程為． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）已知直線交橢圓于，兩點(diǎn)． ①若直線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且滿足，．求證：為定值； 　 ②若A，B兩點(diǎn)滿足（O為 坐標(biāo)原點(diǎn)），求△AOB面積的取值范圍． 20．（本小題滿分16分） 已知數(shù)列滿足,其中,,為非零常數(shù)． （1）若，求證：為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若數(shù)列是公差不等于零的等差數(shù)列． ①求實(shí)數(shù)的值； ②數(shù)列的前n項(xiàng)和構(gòu)成數(shù)列，從中取不同的四項(xiàng)按從小到大排列組成四項(xiàng)子數(shù)列．試問：是否存在首項(xiàng)為的四項(xiàng)子數(shù)列，使得該子數(shù)列中的所有項(xiàng)之和恰好為xx？若存在，求出所有滿足條件的四項(xiàng)子數(shù)列；若不存在，請(qǐng)說明理由． xx蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二） 數(shù)學(xué)Ⅱ（附加）試題 xx.5 注意事項(xiàng)： 1．本試卷只有解答題，供理工方向考生使用．本試卷第21題有4個(gè)小題供選做，每位考生在4個(gè)選做題中選答2題，如多答，則按選做題中的前2題計(jì)分．第22，23題為必答題．每小題10分，共40分．考試用時(shí)30分鐘． 2．答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、考試號(hào)用毫米黑色字跡的簽字筆填寫在試卷的指定位置． 3．答題時(shí)，必須用毫米黑色字跡的簽字筆填寫在試卷的指定位置，在其它位置作答一律無效． 4．如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請(qǐng)加黑加粗，描寫清楚． 5．請(qǐng)保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損．一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆． 21．【選做題】本題包括，，，四小題，每小題10分. 請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩題評(píng)分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟． A．（選修4－1：幾何證明選講） A B C DO E O 如圖，直線切圓于點(diǎn)，直線交圓于兩點(diǎn)，于點(diǎn)， 且，求證：． B．（選修4—2：矩陣與變換） 已知矩陣的一個(gè)特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量． 求矩陣的逆矩陣． C．（選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程） 在平面直角坐標(biāo)系中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度，建立極坐標(biāo)系.已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù))，曲線的極坐標(biāo)方程為（）．若曲線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值． D.（選修4—5：不等式選講） 已知為正實(shí)數(shù)，求證：． 【必做題】第22，23題，每小題10分，共20分. 請(qǐng)把答案寫在答題卡的指定區(qū)域內(nèi)，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 22．（本小題滿分10分） 已知袋中裝有大小相同的2個(gè)白球、2個(gè)紅球和1個(gè)黃球．一項(xiàng)游戲規(guī)定：每個(gè)白球、紅球和黃球的分值分別是0分、1分和2分，每一局從袋中一次性取出三個(gè)球，將3個(gè)球?qū)?yīng)的分值相加后稱為該局的得分，計(jì)算完得分后將球放回袋中．當(dāng)出現(xiàn)第局得分（）的情況就算游戲過關(guān)，同時(shí)游戲結(jié)束，若四局過后仍未過關(guān)，游戲也結(jié)束． （1）求在一局游戲中得3分的概率； （2）求游戲結(jié)束時(shí)局?jǐn)?shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望． 23．（本小題滿分10分） 已知， 其中． （1）試求，，的值； （2）試猜測(cè)關(guān)于n的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論． xx蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二） 數(shù)學(xué)參考答案 xx.5 一、填空題． 1． 2．1 3．19.7 4． 5．14 6． 7． 8． 9． 10．-1 11． 12． 13． 14．7 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分． 15．解：（1）當(dāng)時(shí)，，， ……………………………4分 　　　　所以．…………………………………………………………6分 （2） 　　　　　 ， ………………………8分 　　　若，則，即， 　　　因?yàn)椋?，所以?……………10分 　　　則 ……………12分 　　　　　 ． ……………………………14分 16．（1）因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面ACD，，即CD⊥AC， 　　平面ABC 平面ACD=AC，CD平面ACD， 所以CD⊥平面ABC， ………………………………………………………………3分 又AB平面ABC，所以CD⊥AB， ………………………………………………4分 　　因?yàn)?，E為AB的中點(diǎn)，所以CE⊥AB， …………………………………6分 又，CD平面EDC，CE平面EDC， 所以AB⊥平面EDC． …………………………………………………………………7分 （2）連EF，EG，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)， 　　所以EF∥BD，又平面BCD，平面BCD， 　　所以EF∥平面BCD， ………………………………………………………………10分 　　同理可證EG∥平面BCD，且EFEG=E，EF平面BCD，EG平面BCD， 　　所以平面EFG∥平面BCD， ………………………………………………………12分 又P為FG上任一點(diǎn)，所以EP平面EFG，所以EP∥平面BCD．……………14分 17．解：（1）（）．………………4分 （2）法一： ．……………………………………8分 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)．……………………………10分 故．………………………………………………………………12分 答：當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為300元時(shí)，種植該果樹獲得的最大利潤(rùn)是4300元．…14分 法二：，由得，．……………………………7分 故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；…………………10分 故．………………………………………………………………12分 答：當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為300元時(shí)，種植該果樹獲得的最大利潤(rùn)是4300元．…14分 18．解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)， 則， ………………………………………………………2分 令，得，因?yàn)闀r(shí)，， 0 + 極小值 所以， ……………………………4分 令， 則，令，得， 且當(dāng)時(shí)，有最大值1， 所以的最大值為1（表格略），(分段寫單調(diào)性即可)，此時(shí)．………6分 （2）由題意得，方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解， 所以在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解， 即函數(shù)圖像與函數(shù)圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，…………………9分 因?yàn)椋?，得? 0 + 3e 所以當(dāng)時(shí)，，……………………………………………14分 當(dāng)時(shí)，， 所以滿足的關(guān)系式為 ，即的取值范圍為．…………16分 19．解：（1）由題設(shè)知，，即，……………………1分 　　 代入橢圓得到，則，，…………………2分 　 　∴． ……………………………………………………………………3分 （2）①由題設(shè)知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則． 設(shè)，直線代入橢圓得，整理得， ，∴． ……………5分 　　由，知，， ……………………………7分 　 ∴（定值）．………9分 ?、诋?dāng)直線分別與坐標(biāo)軸重合時(shí)，易知△AOB的面積，……………10分 　　當(dāng)直線的斜率均存在且不為零時(shí)，設(shè)， 　　設(shè)，將代入橢圓得到， 　　∴，同理， …………………12分 　　 △AOB的面積． ………………………………13分 　　令，， 　　令，則． ……………15分 　　 綜上所述，． ………………………………………………………16分 20．解：（1）當(dāng)時(shí)，， 　 ∴．……………………………………………………………………2分 　又，不然，這與矛盾，…………………………………3分 　 ∴為2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列， 　 ∴，∴． …………………………………………………4分 （2）①設(shè)， 　　由得， ∴， …………………………5分 　　∴ 　　對(duì)任意恒成立． ………………………………………………………………7分 　 ∴即∴．…………9分 　　綜上，． ……………………………………………………10分 　?、谟散僦? 設(shè)存在這樣滿足條件的四元子列，觀察到xx為奇數(shù)，這四項(xiàng)或者三個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)、或者一個(gè)奇數(shù)三個(gè)偶數(shù)． 若三個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，設(shè)是滿足條件的四項(xiàng)， 　　則， ∴，這與1007為奇數(shù)矛盾，不合題意舍去． ……11分 若一個(gè)奇數(shù)三個(gè)偶數(shù)，設(shè)是滿足條件的四項(xiàng)， 則，∴． ……………………………12分 由504為偶數(shù)知，中一個(gè)偶數(shù)兩個(gè)奇數(shù)或者三個(gè)偶數(shù)． 1）若中一個(gè)偶數(shù)兩個(gè)奇數(shù)，不妨設(shè) 則，這與251為奇數(shù)矛盾． ………………………13分 2）若均為偶數(shù)，不妨設(shè)， 則，繼續(xù)奇偶分析知中兩奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)， 不妨設(shè)，，，則． …14分 因?yàn)榫鶠榕紨?shù)，所以為奇數(shù)，不妨設(shè)， 當(dāng)時(shí)，，，檢驗(yàn)得，，， 當(dāng)時(shí)，，，檢驗(yàn)得，，， 當(dāng)時(shí)，，，檢驗(yàn)得，，， 即或者或者滿足條件， 綜上所述，，，為全部滿足條件的四元子列．…………………………………………………………………………………………16分 （第Ⅱ卷 理科附加卷） 21．【選做題】本題包括，，，四小題，每小題10分. A．（選修4－1　幾何證明選講）. 解：連結(jié)OD，設(shè)圓的半徑為R，，則，． …………2分 在Rt△ODE中，∵，∴，即， ① 又∵直線DE切圓O于點(diǎn)D，則，即，② ………6分 ∴，代入①，，， ……………………………8分 ∴， ∴． ……………………………………………………………………10分 B．（選修4—2：矩陣與變換） 解：由題知，……………………4分 ∴，.…………………………………………………………6分 ， …………………………………………………8分 ∴． ………………………………………………………………10分 C．（選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程） 解：， ∴曲線的普通方程為． ……………………………………4分 ， 　　∴曲線的直角坐標(biāo)方程為， ……………………………………6分 　　曲線圓心到直線的距離為， ………………………8分 ∴，∴或．………………………………10分（少一解，扣一分） D．（選修4—5：不等式選講） 解法一：基本不等式 　　　∵，，， 　　　∴， ………………………………………6分 　　　∴， ………………………………………………………10分 解法二：柯西不等式， 　　∴， …………………………………………………………10分 【必做題】第22，23題，每小題10分，計(jì)20分. 22．解：（1）設(shè)在一局游戲中得3分為事件， 　　　則．… …………………………………………………………2分 　　答：在一局游戲中得3分的概率為．………………………………………………3分 （2）的所有可能取值為． 在一局游戲中得2分的概率為，…………………………………5分 ； ； ； ． 1 2 3 4 所以 ………………………………………………………………………………………………8分 ∴．…………………………………10分 23．解：(1)；………………………………………1分 ； ………………………………………2分 ． ………………………………………3分 （2）猜測(cè)：． …………………………………………………………………4分 　而，， 　　所以．　 …………………………………………………………………5分 用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立． ①當(dāng)時(shí)，，所以結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即． 當(dāng)時(shí)， （） 　　由歸納假設(shè)知（）式等于． 　　所以當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立． 綜合①②，成立． ………………………………………………………10分