高考數(shù)學一輪總復習 第五章 第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和課件.ppt

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第五章 數(shù) 列,第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和,,1．理解等比數(shù)列的概念． 2．掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式． 3．能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關系，并能用有關知識解決相應的問題． 4．了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系.,[要點梳理] 1．等比數(shù)列的定義 如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示． 2．等比數(shù)列的通項公式 設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則它的通項an＝a1·qn－1.,,,,,,,,,,,3．等比中項 若__________________，那么G叫做a與b的等比中項． 質疑探究：b2＝ac是a、b、c成等比數(shù)列的什么條件？ 提示：必要而不充分條件，因為b2＝ac時，不一定有a、b、c成等比數(shù)列(如a＝0，b＝0，c＝1)，而a、b、c成等比數(shù)列，則必有b2＝ac.,G2＝a·b(ab≠0),4．等比數(shù)列的常用性質 (1)通項公式的推廣：an＝ am ·__________，(n，m∈N＋)． (2)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N＋)，則_____________.,qn－m,ak·al＝am·an,6．等比數(shù)列前n項和的性質 公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為___.,qn,[基礎自測] 1．給出下列命題： ①滿足an＋1＝qan(n∈N＋，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列． ②數(shù)列{an}是公比q≠±1的等比數(shù)列，則{nan}是等比數(shù)列． ③如果{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列． ④如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{lnan}是等差數(shù)列． 其中錯誤的命題是( ),A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④ [解析] ①錯誤．q＝0時{an}不是等比數(shù)列． ②錯誤. 若{an}是公比q≠±1的等比數(shù)列，則{nan}不是等比數(shù)列． ③錯誤．如數(shù)列1，－1,1，－1，…. ④錯誤．數(shù)列{an}中可能有小于零的項．故選D. [答案] D,[答案] D,2．已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10等于( ) A．7 B．5 C．－5 D．－7,[答案] D,4．(2015·揚州中學期中)設等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，若a1＝1，a3＝4，Sk＝63，則k＝________.,[答案] 6,5．(2013·北京高考)若等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，則公比q＝________；前n項和Sn＝________.,[答案] 2 2n＋1－2,考向一 等比數(shù)列基本量的計算 例1 (1)(2013·新課標高考全國卷)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝( ),,(2)(2015·荊州市質檢)設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，且a2＋a5＝2am，則m＝________. 思路點撥 建立關于a1和q的方程(組)求所需要的量．,[答案] (1)C (2)8,拓展提高 (1)等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，q，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題． (2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和q是等比數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法．,思路點撥 構造an＋1－an與an－an－1的關系用累加法求an.,(3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均為不為0的常數(shù)，n∈N＋)，則{an}是等比數(shù)列． (4)前n項和公式法：若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列． 提醒：(1)前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，常用于證明，而后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定. (2)若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可．,考向三 等比數(shù)列的性質及應用 例3 (1)(2015·遼寧沈陽一模)已知各項不為0的等差數(shù)列{an}滿足2a2－a＋2a12＝0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b3b11等于( ) A．16 B．8 C．4 D．2,拓展提高 等比數(shù)列性質應用中的常見題型與求解策略：,規(guī)范答題5 等差、等比數(shù)列綜合問題的規(guī)范答題 典例 (本小題滿分12分)(2013·新課標高考全國卷)已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比數(shù)列． (1)求{an}的通項公式； (2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 審題視角 (1)先設出公差d，根據(jù)已知條件求出公差，可得出通項公式；(2)所求的和構成了一個新的數(shù)列，求出該數(shù)列的首項和公差，運用數(shù)列的前n項和公式求解．,,[滿分展示] [解] (1)設{an}的公差為d，由題意得a＝a1a13， 即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．(第1步)(3分) 于是d(2a1＋25d)＝0. 又a1＝25，所以d＝0(舍去)，d＝－2. 故an＝－2n＋27.(第2步)(3分),【答題模板】 第一步：依等差數(shù)列設未知量，依等比數(shù)列建立等式關系． 第二步：求d，求通項． 第三步：判斷{a3n－2}為等差數(shù)列． 第四步：依據(jù)公式求和． 提醒：①本題求等差數(shù)列an，就設等差數(shù)列中的未知量，用等比數(shù)列建立關于d的方程，分清兩個使用層次． ②在第二問中，必須指明數(shù)列a1，a4，a7，…，a3n－2所具有的特點．,(2)由bn＝3n－1，知an＝(2n－1)3n－1，于是數(shù)列{an}的前n項和Sn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1,3Sn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n，將兩式相減得－2Sn＝1＋2×(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝－2－(2n－2)×3n， 所以Sn＝(n－1)3n＋1.,[思維升華] 【方法與技巧】,,,【失誤與防范】,1．特別注意q＝1時，Sn＝na1這一特殊情況． 2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗證a1≠0. 3．在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導致解題失誤．,