中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)鞏固專題復(fù)習(xí)（十）圓

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1、 中考初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)鞏固復(fù)習(xí)專題(十) 圓 【知識(shí)要點(diǎn)】 知識(shí)點(diǎn)1：知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系 知識(shí)點(diǎn)2：圓的有關(guān)性質(zhì)和計(jì)算 ①弧、弦、圓心角之間的關(guān)系： 在同圓或等圓中，如果兩條劣弧（優(yōu)?。?、兩個(gè)圓心角中有一組量對(duì)應(yīng)相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也分別對(duì)應(yīng)相等． ②垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。? 垂徑定理的推論： 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧． 弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧． 平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。? ③在同一圓內(nèi)，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于該弧所對(duì)的圓

2、心角的一半． ④圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)： 圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角． 知識(shí)點(diǎn)3：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 ①設(shè)點(diǎn)與圓心的距離為，圓的半徑為， 則點(diǎn)在圓外； 點(diǎn)在圓上； 點(diǎn)在圓內(nèi)． ②過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)圓． 一個(gè)三角形有且只有一個(gè)外接圓． ③三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)． 三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等． 知識(shí)點(diǎn)4：直線與圓的位置關(guān)系 ①設(shè)圓心到直線的距離為，圓的半徑為， 則直線與圓相離；直線與圓相切；直線與圓相交． ②切線的性質(zhì)：與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)； 圓心到切線的距離等于半徑； 圓的切線垂直于過(guò)切

3、點(diǎn)的半徑． ③切線的識(shí)別：如果一條直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這條直線是圓的切線． 到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線． 經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． ④三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)． 三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等． ⑤切線長(zhǎng)：圓的切線上某一點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)． ⑥切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等． 這一點(diǎn)和圓心的連線平分這兩條切線的夾角． 知識(shí)點(diǎn)5：圓與圓的位置關(guān)系 ①圓與圓的位置關(guān)系有五種：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含． 設(shè)兩圓心的距離為，兩圓的半徑為，則兩圓外離

4、 兩圓外切 兩圓相交 兩圓內(nèi)切 兩圓內(nèi)含 ②兩個(gè)圓構(gòu)成軸對(duì)稱圖形，連心線（經(jīng)過(guò)兩圓圓心的直線）是對(duì)稱軸． 由對(duì)稱性知：兩圓相切，連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．兩圓相交，連心線垂直平分公共弦． ③兩圓公切線的定義：和兩個(gè)圓都相切的直線叫做兩圓的公切線． 兩個(gè)

5、圓在公切線同旁時(shí)，這樣的公切線叫做外公切線． 兩個(gè)圓在公切線兩旁時(shí)，這樣的公切線叫做內(nèi)公切線． ④公切線上兩個(gè)切點(diǎn)的距離叫做公切線的長(zhǎng)． 知識(shí)點(diǎn)6：與圓有關(guān)的計(jì)算 ①弧長(zhǎng)公式： 　　　　 扇形面積公式： （其中為圓心角的度數(shù)，為半徑） ②圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形． 圓柱體也可以看成是一個(gè)矩形以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)而形成的幾何體． 圓柱的側(cè)面積＝底面周長(zhǎng)高 圓柱的全面積＝側(cè)面積＋2底面積 ③圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)． 圓錐體可以看成是由一個(gè)直角三角形以一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體． ④圓錐的側(cè)面積＝底面

6、周長(zhǎng)母線；圓錐的全面積＝側(cè)面積＋底面積 【復(fù)習(xí)點(diǎn)撥】 （1）掌握?qǐng)A的有關(guān)概念和計(jì)算 ①知道圓由圓心與半徑確定，了解圓的對(duì)稱性． ②通過(guò)圖形直觀識(shí)別圓的弦、弧、圓心角等基本元素． ③利用圓的對(duì)稱性探索弧、弦、圓心角之間的關(guān)系，并會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算和說(shuō)理． ④探索并了解圓周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對(duì)圓周角的特征． ⑤掌握垂徑定理及其推論，并能進(jìn)行計(jì)算和說(shuō)理． ⑥了解三角形外心、三角形外接圓和圓內(nèi)接三角形的概念． ⑦掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì) （2）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 ①能根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離和半徑的大小關(guān)系確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系． ②知道“不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓”并會(huì)作圖．

7、 （3）直線與圓的位置關(guān)系 ①能根據(jù)圓心到直線的距離和半徑的大小關(guān)系確定直線與圓的位置關(guān)系． ②了解切線的概念． ③能運(yùn)用切線的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算和說(shuō)理． ④掌握切線的識(shí)別方法． ⑤了解三角形內(nèi)心、三角形內(nèi)切圓和圓的外切三角形的概念． ⑥能過(guò)圓上一點(diǎn)畫(huà)圓的切線并能利用切線長(zhǎng)定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的切線計(jì)算． （4）圓與圓的位置關(guān)系 ①了解圓與圓的五種位置關(guān)系及相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系． ②能根據(jù)兩圓的圓心距與兩圓的半徑之間的數(shù)量關(guān)系判定兩圓的位置關(guān)系． ③掌握兩圓公切線的定義并能進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算 （5）圓中的計(jì)算問(wèn)題 ①掌握弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，由弧長(zhǎng)、半徑、圓心角中已知兩個(gè)量求第三個(gè)量． ②掌

8、握求扇形面積的兩個(gè)計(jì)算公式，并靈活運(yùn)用． ③了解圓錐的高、母線等概念． ④結(jié)合生活中的實(shí)例（模型）了解圓柱、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖． ⑤會(huì)求圓柱、圓錐的側(cè)面積、全面積，并能結(jié)合實(shí)際問(wèn)題加以應(yīng)用． ⑥能綜合運(yùn)用基本圖形的面積公式求陰影部分面積． 【典例解析】 例題1：（2021山東棗莊）如圖，在網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1）中選取9個(gè)格點(diǎn)（格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)），如果以A為圓心，r為半徑畫(huà)圓，選取的格點(diǎn)中除點(diǎn)A外恰好有3個(gè)在圓內(nèi)，則r的取值范圍為（　?。? A．2＜r＜ B．＜r＜3 C．＜r＜5 D．5＜r＜ 【考點(diǎn)】M8：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；KQ：勾股定理． 【分析】利用勾股定理

9、求出各格點(diǎn)到點(diǎn)A的距離，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可得出結(jié)論． 【解答】解：給各點(diǎn)標(biāo)上字母，如圖所示． AB==2，AC=AD==，AE==3，AF==，AG=AM=AN==5， ∴＜r＜3時(shí)，以A為圓心，r為半徑畫(huà)圓，選取的格點(diǎn)中除點(diǎn)A外恰好有3個(gè)在圓內(nèi)． 故選B． 例題2：如圖，OA、OC是⊙O的半徑，點(diǎn)B在⊙O上，連接AB、BC，若∠ABC=40，則∠AOC=　80　度． 【分析】直接根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵∠ABC與AOC是同弧所對(duì)的圓周角與圓心角，∠ABC=40， ∴∠AOC=2∠ABC=80． 故答案為：80． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周

10、角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵． 例題3：（2021浙江衢州）如圖，AB為半圓O的直徑，C為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD切半圓O于點(diǎn)D，連接OD．作BE⊥CD于點(diǎn)E，交半圓O于點(diǎn)F．已知CE=12，BE=9． （1）求證：△COD∽△CBE． （2）求半圓O的半徑r的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；MC：切線的性質(zhì)． 【分析】（1）由切線的性質(zhì)和垂直的定義得出∠E=90=∠CDO，再由∠C=∠C，得出△COD∽△CBE． （2）由勾股定理求出BC==15，由相似三角形的性質(zhì)得出比例式，即可得出答案．

11、 【解答】（1）證明：∵CD切半圓O于點(diǎn)D， ∴CD⊥OD， ∴∠CDO=90， ∵BE⊥CD， ∴∠E=90=∠CDO， 又∵∠C=∠C， ∴△COD∽△CBE． （2）解：在Rt△BEC中，CE=12，BE=9， ∴BC==15， ∵△COD∽△CBE． ∴，即， 解得：r=． 例題4：（2021山東棗莊）如圖，在?ABCD中，AB為⊙O的直徑，⊙O與DC相切于點(diǎn)E，與AD相交于點(diǎn)F，已知AB=12，∠C=60，則的長(zhǎng)為　π　． 【考點(diǎn)】MC：切線的性質(zhì)；L5：平行四邊形的性質(zhì)；MN：弧長(zhǎng)的計(jì)算． 【分析】先連接OE、OF，再求出圓心角∠EOF的度數(shù)，然后根

12、據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求出的長(zhǎng)． 【解答】解：如圖連接OE、OF， ∵CD是⊙O的切線， ∴OE⊥CD， ∴∠OED=90， ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠C=60， ∴∠A=∠C=60，∠D=120， ∵OA=OF， ∴∠A=∠OFA=60， ∴∠DFO=120， ∴∠EOF=360﹣∠D﹣∠DFO﹣∠DEO=30， 的長(zhǎng)==π． 故答案為：π． 例題5：（2021浙江衢州）運(yùn)用圖形變化的方法研究下列問(wèn)題：如圖，AB是⊙O的直徑，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8．則圖中陰影部分的面積是（　?。? A．π B．10π C．24

13、+4π D．24+5π 【考點(diǎn)】MO：扇形面積的計(jì)算；M5：圓周角定理． 【分析】作直徑CG，連接OD、OE、OF、DG，則根據(jù)圓周角定理求得DG的長(zhǎng)，證明DG=EF，則S扇形ODG=S扇形OEF，然后根據(jù)三角形的面積公式證明S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，則S陰影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圓，即可求解． 【解答】解：作直徑CG，連接OD、OE、OF、DG． ∵CG是圓的直徑， ∴∠CDG=90，則DG===8， 又∵EF=8， ∴DG=EF， ∴=， ∴S扇形ODG=S扇形OEF， ∵AB∥CD∥EF， ∴S△OCD=

14、S△ACD，S△OEF=S△AEF， ∴S陰影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圓=π52=π． 故選A． 　 例題6：（2021山東棗莊）如圖，在△ABC中，∠C=90，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)． （1）試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由； （2）若BD=2，BF=2，求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）． 【考點(diǎn)】MB：直線與圓的位置關(guān)系；MO：扇形面積的計(jì)算． 【分析】（1）連接OD，證明OD∥AC，即可證得∠ODB=90，從而證得BC是圓的切線；

15、 （2）在直角三角形OBD中，設(shè)OF=OD=x，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為圓的半徑，求出圓心角的度數(shù)，直角三角形ODB的面積減去扇形DOF面積即可確定出陰影部分面積． 【解答】解：（1）BC與⊙O相切． 證明：連接OD． ∵AD是∠BAC的平分線， ∴∠BAD=∠CAD． 又∵OD=OA， ∴∠OAD=∠ODA． ∴∠CAD=∠ODA． ∴OD∥AC． ∴∠ODB=∠C=90，即OD⊥BC． 又∵BC過(guò)半徑OD的外端點(diǎn)D， ∴BC與⊙O相切． （2）設(shè)OF=OD=x，則OB=OF+BF=x+2， 根據(jù)勾股定理得：OB2=OD2+BD2

16、，即（x+2）2=x2+12， 解得：x=2，即OD=OF=2， ∴OB=2+2=4， ∵Rt△ODB中，OD=OB， ∴∠B=30， ∴∠DOB=60， ∴S扇形AOB==， 則陰影部分的面積為S△ODB﹣S扇形DOF=22﹣=2﹣． 故陰影部分的面積為2﹣． 例題7：（2021江西）如圖1，⊙O的直徑AB=12，P是弦BC上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），∠ABC=30，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OP交⊙O于點(diǎn)D． （1）如圖2，當(dāng)PD∥AB時(shí)，求PD的長(zhǎng)； （2）如圖3，當(dāng)=時(shí)，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E，使BE=AB，連接DE． ①求證：DE是⊙O的切線； ②求PC的長(zhǎng)． 【考

17、點(diǎn)】MR：圓的綜合題． 【分析】（1）根據(jù)題意首先得出半徑長(zhǎng)，再利用銳角三角三角函數(shù)關(guān)系得出OP，PD的長(zhǎng)； （2）①首先得出△OBD是等邊三角形，進(jìn)而得出∠ODE=∠OFB=90，求出答案即可； ②首先求出CF的長(zhǎng)，進(jìn)而利用直角三角形的性質(zhì)得出PF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案． 【解答】解：（1）如圖2，連接OD， ∵OP⊥PD，PD∥AB， ∴∠POB=90， ∵⊙O的直徑AB=12， ∴OB=OD=6， 在Rt△POB中，∠ABC=30， ∴OP=OB?tan30=6=2， 在Rt△POD中， PD===2； （2）①證明：如圖3，連接OD，交CB于點(diǎn)F，連接BD，

18、 ∵=， ∴∠DBC=∠ABC=30， ∴∠ABD=60， ∵OB=OD， ∴△OBD是等邊三角形， ∴OD⊥FB， ∵BE=AB， ∴OB=BE， ∴BF∥ED， ∴∠ODE=∠OFB=90， ∴DE是⊙O的切線； ②由①知，OD⊥BC， ∴CF=FB=OB?cos30=6=3， 在Rt△POD中，OF=DF， ∴PF=DO=3（直角三角形斜邊上的中線，等于斜邊的一半）， ∴CP=CF﹣PF=3﹣3． 例題8：（2021湖南株洲） ．如圖示AB為⊙O的一條弦，點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn)，E為優(yōu)弧AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上，且BE=EF，線段CE交弦A

19、B于點(diǎn)D． ①求證：CE∥BF； ②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：，求△BCD的面積（注：根據(jù)圓的對(duì)稱性可知OC⊥AB）． 【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；M2：垂徑定理． 【分析】①連接AC，BE，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得出∠F=∠AEB，由圓周角定理得出∠AEC=∠BEC，證出∠AEC=∠F，即可得出結(jié)論； ②證明△ADE∽△CBE，得出，證明△CBE∽△CDB，得出，求出CB=2，得出AD=6，AB=8，由垂徑定理得出OC⊥AB，AG=BG=AB=4，由勾股定理求出CG==2，即可得出△BCD的面積． 【解答】①證明：連接AC，BE，作直

20、線OC，如圖所示： ∵BE=EF， ∴∠F=∠EBF； ∵∠AEB=∠EBF+∠F， ∴∠F=∠AEB， ∵C是的中點(diǎn)，∴， ∴∠AEC=∠BEC， ∵∠AEB=∠AEC+∠BEC， ∴∠AEC=∠AEB， ∴∠AEC=∠F， ∴CE∥BF； ②解：∵∠DAE=∠DCB，∠AED=∠CEB， ∴△ADE∽△CBE， ∴，即， ∵∠CBD=∠CEB，∠BCD=∠ECB， ∴△CBE∽△CDB， ∴，即， ∴CB=2， ∴AD=6， ∴AB=8， ∵點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn)， ∴OC⊥AB，AG=BG=AB=4， ∴CG==2， ∴△BCD的面積=BD?C

21、G=22=2． 【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】 一、選擇題 1. （2021張家界）如圖，在⊙O中，AB是直徑，AC是弦，連接OC，若∠ACO=30，則∠BOC的度數(shù)是（　?。? A．30 B．45 C．55 D．60 【考點(diǎn)】M5：圓周角定理． 【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得出∠A=∠ACO=30，再由圓周角定理即可得出答案． 【解答】解：∵OA=OC， ∴∠A=∠ACO=30， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠BOC=2∠A=230=60． 故選D． 2. ．(2021湖北宜昌)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接⊙O，AC平分∠BAD，則下列結(jié)論正確的是（　?。? A．AB=AD B．BC=

22、CD C． D．∠BCA=∠DCA 【考點(diǎn)】M4：圓心角、弧、弦的關(guān)系． 【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可． 【解答】解：A、∵∠ACB與∠ACD的大小關(guān)系不確定，∴AB與AD不一定相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本選項(xiàng)正確； C、∵∠ACB與∠ACD的大小關(guān)系不確定，∴與不一定相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、∠BCA與∠DCA的大小關(guān)系不確定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選B． 3. （2021青海西寧）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)P，AP=2，BP=6，∠APC=30，則CD的長(zhǎng)為（　?。? A．

23、B．2 C．2 D．8 【考點(diǎn)】M2：垂徑定理；KO：含30度角的直角三角形；KQ：勾股定理． 【分析】作OH⊥CD于H，連結(jié)OC，如圖，根據(jù)垂徑定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可計(jì)算出半徑OA=4，則OP=OA﹣AP=2，接著在Rt△OPH中根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)計(jì)算出OH=OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理計(jì)算出CH=，所以CD=2CH=2． 【解答】解：作OH⊥CD于H，連結(jié)OC，如圖， ∵OH⊥CD， ∴HC=HD， ∵AP=2，BP=6， ∴AB=8， ∴OA=4， ∴OP=OA﹣AP=2， 在Rt△OPH中，∵∠OPH=3

24、0， ∴∠POH=30， ∴OH=OP=1， 在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1， ∴CH==， ∴CD=2CH=2． 故選C． 4. (2021湖北咸寧)如圖，⊙O的半徑為3，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接OB、OD，若∠BOD=∠BCD，則的長(zhǎng)為（　?。? A．π B． C．2π D．3π 【考點(diǎn)】MN：弧長(zhǎng)的計(jì)算；M6：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)． 【分析】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理求出∠A=60，得出∠BOD=120，再由弧長(zhǎng)公式即可得出答案． 【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O， ∴∠BCD+∠A=180， ∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠B

25、CD， ∴2∠A+∠A=180， 解得：∠A=60， ∴∠BOD=120， ∴的長(zhǎng)==2π； 故選：C． 5. （2021甘肅天水）如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，∠BCD=30，CD=4，則S陰影=（　?。? A．2π B．π C．π D．π 【考點(diǎn)】M5：圓周角定理；M2：垂徑定理；MO：扇形面積的計(jì)算． 【分析】根據(jù)垂徑定理求得CE=ED=2，然后由圓周角定理知∠DOE=60，然后通過(guò)解直角三角形求得線段OD、OE的長(zhǎng)度，最后將相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入S陰影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC． 【解答】解：如圖，假設(shè)線段CD、AB交于點(diǎn)E， ∵AB是⊙O的直徑

26、，弦CD⊥AB， ∴CE=ED=2， 又∵∠BCD=30， ∴∠DOE=2∠BCD=60，∠ODE=30， ∴OE=DE?cot60=2=2，OD=2OE=4， ∴S陰影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC=﹣OEDE+BE?CE=﹣2+2=． 故選B． 二、填空題： 6. （2021浙江義烏）如圖，一塊含45角的直角三角板，它的一個(gè)銳角頂點(diǎn)A在⊙O上，邊AB，AC分別與⊙O交于點(diǎn)D，E，則∠DOE的度數(shù)為　90　． 【考點(diǎn)】M5：圓周角定理． 【分析】直接根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵∠A=45， ∴∠DOE=2∠A=90． 故答案為：90．

27、 7. （2021甘肅張掖）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠OAB=32，則∠C=　58?。? 【考點(diǎn)】M5：圓周角定理． 【分析】由題意可知△OAB是等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠AOB，再利用圓周角定理確定∠C． 【解答】解：如圖，連接OB， ∵OA=OB， ∴△AOB是等腰三角形， ∴∠OAB=∠OBA， ∵∠OAB=32， ∴∠OAB=∠OAB=32， ∴∠AOB=116， ∴∠C=58． 故答案為58． 8. （2021甘肅張掖）如圖，在△ABC中，∠ACB=90，AC=1，AB=2，以點(diǎn)A為圓心、AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB邊于點(diǎn)D，則弧CD的長(zhǎng)

28、等于　?。ńY(jié)果保留π） 【考點(diǎn)】MN：弧長(zhǎng)的計(jì)算；KO：含30度角的直角三角形． 【分析】先根據(jù)ACB=90，AC=1，AB=2，得到∠ABC=30，進(jìn)而得出∠A=60，再根據(jù)AC=1，即可得到弧CD的長(zhǎng)． 【解答】解：∵∠ACB=90，AC=1，AB=2， ∴∠ABC=30， ∴∠A=60， 又∵AC=1， ∴弧CD的長(zhǎng)為=， 故答案為：． 9. （2021湖南岳陽(yáng)）我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，認(rèn)為圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，周長(zhǎng)就越接近圓周長(zhǎng)，由此求得了圓周率π的近似值，設(shè)半徑為r的圓內(nèi)接正n邊形的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，圓的直徑為d，如圖所示，當(dāng)n=6時(shí)，π≈=

29、=3，那么當(dāng)n=12時(shí)，π≈=　3.10?。ńY(jié)果精確到0.01，參考數(shù)據(jù)：sin15=cos75≈0.259） 【分析】圓的內(nèi)接正十二邊形被半徑分成頂角為30的十二個(gè)等腰三角形，作輔助線構(gòu)造直角三角形，根據(jù)中心角的度數(shù)以及半徑的大小，求得L=6.207r，d=2r，進(jìn)而得到π≈=≈3.10． 【解答】解：如圖，圓的內(nèi)接正十二邊形被半徑分成如圖所示的十二個(gè)等腰三角形，其頂角為30，即∠O=30，∠ABO=∠A=75， 作BC⊥AO于點(diǎn)C，則∠ABC=15， ∵AO=BO=r， ∴BC=r，OC=r， ∴AC=（1﹣）r， ∵Rt△ABC中，cosA=， 即0.259=，

30、∴AB≈0.517r， ∴L=120.517r=6.207r， 又∵d=2r， ∴π≈=≈3.10， 故答案為：3.10 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正多邊形和圓以及解直角三角形的運(yùn)用，把一個(gè)圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)正多邊形的外接圓． 10. （2021湖南岳陽(yáng)）如圖，⊙O為等腰△ABC的外接圓，直徑AB=12，P為弧上任意一點(diǎn)（不與B，C重合），直線CP交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，⊙O在點(diǎn)P處切線PD交BQ于點(diǎn)D，下列結(jié)論正確的是?、冖邰堋。▽?xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)） ①若∠PAB=30，則弧的長(zhǎng)為π；②若PD∥

31、BC，則AP平分∠CAB； ③若PB=BD，則PD=6；④無(wú)論點(diǎn)P在弧上的位置如何變化，CPCQ為定值． 【分析】①根據(jù)∠POB=60，OB=6，即可求得弧的長(zhǎng)；②根據(jù)切線的性質(zhì)以及垂徑定理，即可得到=，據(jù)此可得AP平分∠CAB；③根據(jù)BP=BO=PO=6，可得△BOP是等邊三角形，據(jù)此即可得出PD=6；④判定△ACP∽△QCA，即可得到=，即CPCQ=CA2，據(jù)此可得CPCQ為定值． 【解答】解：如圖，連接OP， ∵AO=OP，∠PAB=30， ∴∠POB=60， ∵AB=12， ∴OB=6， ∴弧的長(zhǎng)為=2π，故①錯(cuò)誤； ∵PD是⊙O的切線， ∴OP⊥PD， ∵P

32、D∥BC， ∴OP⊥BC， ∴=， ∴∠PAC=∠PAB， ∴AP平分∠CAB，故②正確； 若PB=BD，則∠BPD=∠BDP， ∵OP⊥PD， ∴∠BPD+∠BPO=∠BDP+∠BOP， ∴∠BOP=∠BPO， ∴BP=BO=PO=6，即△BOP是等邊三角形， ∴PD=OP=6，故③正確； ∵AC=BC， ∴∠BAC=∠ABC， 又∵∠ABC=∠APC， ∴∠APC=BAC， 又∵∠ACP=∠QCA， ∴△ACP∽△QCA， ∴=，即CPCQ=CA2（定值），故④正確； 故答案為：②③④． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，切線

33、的性質(zhì)以及弧長(zhǎng)公式的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造三角形，解題時(shí)注意：垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的?。? 三、解答題 11. 12. 13. （2021甘肅張掖）如圖，AN是⊙M的直徑，NB∥x軸，AB交⊙M于點(diǎn)C． （1）若點(diǎn)A（0，6），N（0，2），∠ABN=30，求點(diǎn)B的坐標(biāo)； （2）若D為線段NB的中點(diǎn)，求證：直線CD是⊙M的切線． 【考點(diǎn)】MD：切線的判定；D5：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【分析】（1）在Rt△ABN中，求出AN、AB即可解決問(wèn)題； （2）連接MC，NC．只要證明∠MCD=90即可； 【解答】解：（1）∵A的坐標(biāo)為（0，6），

34、N（0，2）， ∴AN=4， ∵∠ABN=30，∠ANB=90， ∴AB=2AN=8， ∴由勾股定理可知：NB==， ∴B（，2）． （2）連接MC，NC ∵AN是⊙M的直徑， ∴∠ACN=90， ∴∠NCB=90， 在Rt△NCB中，D為NB的中點(diǎn)， ∴CD=NB=ND， ∴∠CND=∠NCD， ∵M(jìn)C=MN， ∴∠MCN=∠MNC， ∵∠MNC+∠CND=90， ∴∠MCN+∠NCD=90， 即MC⊥CD． ∴直線CD是⊙M的切線． 14. （2

35、021張家界）在等腰△ABC中，AC=BC，以BC為直徑的⊙O分別與AB，AC相交于點(diǎn)D，E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F． （1）求證：DF是⊙O的切線； （2）分別延長(zhǎng)CB，F(xiàn)D，相交于點(diǎn)G，∠A=60，⊙O的半徑為6，求陰影部分的面積． 【考點(diǎn)】ME：切線的判定與性質(zhì)；KH：等腰三角形的性質(zhì)；MO：扇形面積的計(jì)算． 【分析】（1）連接OD，由等腰三角形的性質(zhì)證出∠A=∠ODB，得出OD∥AC，證出DF⊥OD，即可得出結(jié)論； （2）證明△OBD是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠BOD=60，求出∠G=30，由直角三角形的性質(zhì)得出OG=2OD=26=12，由勾股定理得出D

36、G=6，陰影部分的面積=△ODG的面積﹣扇形OBD的面積，即可得出答案． 【解答】（1）證明：連接OD，如圖所示： ∵AC=BC，OB=OD， ∴∠ABC=∠A，∠ABC=∠ODB， ∴∠A=∠ODB， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴DF⊥OD， ∵OD是⊙O的半徑， ∴DF是⊙O的切線； （2）解：∵AC=BC，∠A=60， ∴△ABC是等邊三角形， ∴ABC=60， ∵OD=OB， ∴△OBD是等邊三角形， ∴∠BOD=60， ∵DF⊥OD， ∴∠ODG=90， ∴∠G=30， ∴OG=2OD=26=12， ∴DG=OD=6， ∴陰影部分的面積

37、=△ODG的面積﹣扇形OBD的面積=66﹣=18﹣6π． 15. （2021甘肅天水）如圖，△ABD是⊙O的內(nèi)接三角形，E是弦BD的中點(diǎn)，點(diǎn)C是⊙O外一點(diǎn)且∠DBC=∠A，連接OE延長(zhǎng)與圓相交于點(diǎn)F，與BC相交于點(diǎn)C． （1）求證：BC是⊙O的切線； （2）若⊙O的半徑為6，BC=8，求弦BD的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】MD：切線的判定． 【分析】（1）連接OB，由垂徑定理的推論得出BE=DE，OE⊥BD， =，由圓周角定理得出∠BOE=∠A，證出∠OBE+∠DBC=90，得出∠OBC=90即可； （2）由勾股定理求出OC，由△OBC的面積求出BE，即可得出弦BD的長(zhǎng)． 【解答】（1）證明：連接OB，如圖所示： ∵E是弦BD的中點(diǎn)， ∴BE=DE，OE⊥BD， =， ∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90， ∵∠DBC=∠A， ∴∠BOE=∠DBC， ∴∠OBE+∠DBC=90， ∴∠OBC=90， 即BC⊥OB， ∴BC是⊙O的切線； （2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB， ∴OC==10， ∵△OBC的面積=OC?BE=OB?BC， ∴BE===4.8， ∴BD=2BE=9.6， 即弦BD的長(zhǎng)為9.6． 精品 Word 可修改 歡迎下載