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1、3.2 平面向量基本定理 1.了解平面向量基本定理及其意義 .(重點 ) 2.了解基底的含義 . 3.會用任意一組基底表示指定的向量 .(難點 ) 思考 :（ 1）向量 是否可以用含有 , 的式子來表示呢？怎樣表示？ （ 2）若向量 能夠用 , 表示，這種 表示是否唯一？ a 1e 2e a 1e 2e 請進入本節(jié)課的學習！ b 1e 2e b ab a + b a + 2 b 2a + b A C 設(shè) ， 是 同 一 平 面 內(nèi) 的 兩 個 不 共 線 的 向 量 ， 用 平 行 四 邊 形 法 則 作 探 究 點 一 出 ， ： ， （ 用 來 表 示 ） 2.過點
2、C作平行于 OB的直 線，與直線 OA相交于 M； 過點 C作平行于 OA的直線， 與直線 OB 相交于 N； O A N C M B 則 O M O N O C 1. ab c c a b 設(shè) ， 是 同 一 平 面 內(nèi) 的 兩 個 不 共 線 的 向 量 ， 是 這 一 平 面 內(nèi) 的 向 量 ， 我 們 能 否 把 用 ： ， 表 探 究 點 二 示 出 來 ？ B O A N C M 3.又 與 共線 , 與 共線 . OM OA ON OB 所以有且只有一個實數(shù) 1，使得 1OM OA ， 有且只有一個實數(shù) 2，使得 2ON OB ， 即 12OC OA O
3、B ，亦即 12c a b . 平面向量基本定理 特別地： 1=0， 20 時， 共線 . 2 2 2a e , a e 與 10 ， 2=0 時， 共線 . 1 1 1a e , a e 與 1= 2=0 時， a 0. 我們把不共線的向量 叫作表示這一 平面內(nèi)所有向量的一組 基底 . 12ee， 思考 1： 在平面向量基本定理中 ,為什么要 求向量 e1, e2 不共線 ？ 可以作為基底嗎 ？ 0 思考 2： 平面向量的基底唯一嗎？ 提示： 平面向量的基底不唯一，只要兩 個向量不共線，都可以作為平面向量的 一組基底 . (2
4、)作平行四邊形 OACB B O A C 2e1e 分析 :因為 ABCD為平行四邊形 ,可知 M 為 AC 與 BD的中點 .所以 例 2 如右圖所示，平行四邊形 ABCD的 兩條對角線相交于點 M,且 用 表示 A B a , A D b, a,b MA MB MC MD .,, 和 M C M A , MB MD , A C A B A D a b, 1M C A C , 2 1M B D B , 2 D B A B A D a b . M C A B D a b 解 :在平行四邊形 ABCD中，因為 ， 所以 又因為 所以 M C A B D a b 說
5、明： 同上題一樣，我們要找到與未知相關(guān)聯(lián)的 量來解決問題，避免做無用功！ OP： 求 ，分 析 由 圖 可 知 A P = t A B O P = O A + A P = O A + t A B = O A + t O B O A = 1- t O A +t O B 解 ： 因 為 所 以 （ ） （ ） ， . |AG|因為 =10（ kg） 10（ m/s2） =100（ N）， 1| A F | | A G | si n 3 0 1 0 0 5 0 ( N ) , 2 A F E G N M 答：物體所受滑動摩擦力大小為 50N，方向與 斜面平行向上；所
6、受斜面支持力大小為 方向與斜面垂直向上 . 5 0 3 N , 3| A E | | A G | c o s 3 0 1 0 0 5 0 3 ( N ) , 2 , | A M | | A F | 5 0 N , | A N | | A E | 5 0 3 N . 所 以 D B C A E F 1.下列說法中，正確的有（ ） 一個平面內(nèi)只有一對不共線向量可以作為表示 該平面所有向量的基底； 一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可以作為表 示該平面所有向量的基底； 零向量不可以為基底中的向量 . 2.如圖，在 ABC中， AN= NC， P是 BN上的一點，
7、 若 AP = mAB+ AC，則實數(shù) m的值為（ ） A. B. C. D. 1 3 2 11 911 511 2 11 311 分析： 由已知 ABC中， AN= NC， P是 BN上的一點， 設(shè) BP=BN后，我們易將 AP表示為 (1-) AB+ AC 的形式，根據(jù)平面向量的基本定理我們易構(gòu)造關(guān)于 ， m的方程組，解方程組后即可得到 m的值 . 1 3 4 D 3.如圖，已知梯形 ABCD， ABCD ，且 AB=2DC,M,N分別 是 DC,AB的中點 .請大家動手 ,從圖中的線段 AD,AB,BC, DC,MN對應(yīng)的向量中確定一組基底，將其他向量用這
8、 組基底表示出來 . A N M C D B 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 A B e , A D e D C e ; 2 11 B C B A A D D C e e e e e , 22 1 1 1 M N M D D A A N e e e e e . 4 2 4 取 為 基 底 ,則 有解 ： 1.平面向量基本定理 2.基底 （ 1）零向量不能作基底 . （ 2）平面中的任意不共線向量都可以作為基底，一 旦選定一組基底，則給定向量沿著基底的分解是唯一 的 . 平面中的任一向量都可表示為其他的兩個不共 線向量的線性組合 ,根據(jù)向量的加法和減法法則及其 幾何特點即可解題 . 不用相當?shù)莫毩⒐Ψ颍徽撛谀膫€嚴重的 問題上都不能找出真理；誰怕用功夫，誰 就無法找到真理 . 列寧
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