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1、5 從力做的功到向量的數(shù)量積,2020/8/29,物理中我們學過功的概念，一個物體在力 的作用 下產(chǎn)生位移 （如圖）,,,,力 所做的功W可用下式計算: 其中是 與 的夾角.,2020/8/29,當090時，W0, 即力F做正功； 當90時，W0，即力F不做功； 當90180時，W0，即力F做負功.,從力所做的功出發(fā)，我們引入向量的數(shù)量積的概念.,2020/8/29,1.通過物理中“功”等實例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義、幾何意義.（重點） 2.體會平面向量的數(shù)量積與向量射影的關系.,3.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律和它的一些簡單應用.（重點） 4.能運用數(shù)量積表
2、示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系.（難點）,2020/8/29,兩個非零向量 和 ，作 ， ，則 （ ）叫作向量 與 的夾角,思考1 如何定義向量的夾角？,計算向量的夾角時要將兩個向量起點放在一起.,探究點1 向量的數(shù)量積,2020/8/29,由于零向量的方向是任意的，為方便起見， 規(guī)定:零向量可與任一向量垂直.,,2020/8/29,，過點B 作BB1垂直于直線OA，垂足為 B1，則,| | cos叫作向量 在 方向 上的射影(也叫投影),當為銳角時， | | cos_____0,,思考2 什么是向量的射影？,B1,,2020/8/29,,,O,B,A
3、,當=0時， | |cos=_____,| |,當為鈍角時， | | cos___0.,當為直角時， | |cos____0,,=,2020/8/29,,,O,B,A,當=180時， | | cos=_____,,B1,物理實例中，與位移 方向一致的分力 的長度為 cos，即是力 在 方向上的射影.,,,,,,,,,,,,-| |,2020/8/29,思考3 平面向量的數(shù)量積的定義如何？ 已知兩個向量 與 ，它們的夾角為，我們把 | || |cos叫作 與 的數(shù)量積（或內(nèi)積）.記作 =| || | cos,注意：向量的數(shù)量積是一個數(shù)量.,特別地:零向量與任一向量 的數(shù)量積為0.,20
4、20/8/29, 已知 =(1,1), =(2,0), 與 的夾角= 45. 求 .,例1 已知| |=3，| |=4，且 與 的夾角=150，求 .,解： =| || |cos=34cos150 =34（- ）=6,解： | | = , | |=2, =45, 所以 =| || |cos= 2cos45= 2.,2020/8/29,思考4 數(shù)量積的幾何意義是什么？,,,,,,,2020/8/29,特別提醒： 1. 2.若 是單位向量,則,2020/8/29,重要性質(zhì)： 1.若 是單位向量，則： 2. 3. 4. 5. 當且僅當 時等號成立.,2020/8/29,,思考5 數(shù)量積
5、的物理意義是什么？,2020/8/29,反之成立嗎？,解答：不成立.,解答：成立.,思考：,探究點2 向量的數(shù)量積的運算律,2020/8/29,練習：判斷下列說法的正誤,,,,,,,,3若 ， =0，則 =,2若 ，則對任一非零向量 ,有 0,1若 = ，則對任一向量 ，有 = 0 ,4若 =0，則 , 中至少有一個為 ,5若 ， = ，則 =,6若 = ,且 ,當且僅當 = 時成立,7對任意向量 有,2020/8/29,例2 在ABC中，設邊BC，CA，AB的長度分別為a，b，c，證明： a=b+c2 bccosA， b=c+a2cacosB， c=a+b2abcosC.
6、,,,,證明：設 則,同理可證其他兩式，我們把這個結(jié)果稱為余弦定理.,=b+c2 bccosA.,2020/8/29,向量法證明幾何問題的步驟： 1.將三角形的邊用有向線段表示. 2.根據(jù)向量的運算及向量的幾何意義，寫出向量之間的關系. 3.通過平方和向量的數(shù)量積整理出所要的結(jié)果.,2020/8/29,例3 證明菱形的兩條對角線互相垂直.,證明：菱形ABCD中，AB=AD，由于,可得,=0， 所以，,即菱形的兩條對角線互相垂直.,A,B,C,D,O,2020/8/29,證明線段垂直的方法： 1.取兩個不共線的向量作基底. 2.將要證明的向量用這兩個向量表示. 3.利用 進行證明.
7、,【提升總結(jié)】,2020/8/29,例4 已知單位向量 , 的夾角為60，求向量 , 的夾角.,解：由單位向量 , 的夾角為60，得,又,2020/8/29,設 與 的夾角為 ， 由可得,又 所以 . 即向量 與 的夾角為 .,2020/8/29,技巧點撥： 1.以 ， 為基底,計算 的值. 2.利用向量的夾角公式計算.,2020/8/29,1.判斷下列說法的正誤: （1）平面向量的數(shù)量積可以比較大小. ( ) （2） ( ) （3）已知 為非零向量,因為0 = ， = 0, 所以 = ( ) (4) ( ),,,,,2020/8/29,2.ABC中， 則該三角形為( ) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不能確定 【解析】由 知ABC為銳角； 由 知,ACB為鈍角.,C,2020/8/29,3.在ABC中，M是線段BC的中點，AM=3，BC=10， 則,_______.,-16,-2,4.若|a|=1,|b|=2，且a，b反向，則ab=_______.,2020/8/29,,解：,,2020/8/29,本節(jié)課主要學習了： 1.向量的夾角. 2.向量的射影. 3.向量的數(shù)量積. 4.向量的數(shù)量積的幾何意義和物理意義. 5.向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運算律.,
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