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1、
人教版八下數(shù)學(xué) 第17章 勾股定理 微專題三 立體圖形中的最短線路問(wèn)題
1. 如圖，圓柱的底面半徑為 6?cm，高為 10?cm，螞蟻在圓柱表面爬行，從點(diǎn) A 爬到點(diǎn) B 的最短路程是多少厘米（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？
2. 如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)是 14?cm，圓柱高為 24?cm，一只螞蟻如果要沿著圓柱的表面從下底面點(diǎn) A 爬到與之相對(duì)的上底面點(diǎn) B，那么它爬行的最短路程為 ??
A． 14?cm B． 15?cm C． 24?cm D． 25?cm
3. 如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽路不計(jì)）的高為 12?cm，底面周長(zhǎng)為 10?cm，在
2、容器內(nèi)壁離容器底部 3?cm 的點(diǎn) B 處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且在離容器上部 3?cm 的點(diǎn) A 處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路程是 ??
A． 13?cm B． 261?cm C． 61?cm D． 234?cm
4. 如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為 2?cm 和 4?cm，高為 5?cm．若一只螞蟻從 P 點(diǎn)開始經(jīng)過(guò) 4 個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá) Q 點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為 ??
A． 13?cm B． 12?cm C． 10?cm D． 8?cm
5. 我國(guó)古代有這樣一道數(shù)學(xué)問(wèn)題：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤
3、自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問(wèn)葛藤之長(zhǎng)幾何？”題意：如圖所示，把枯木看作一個(gè)圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為 20 尺，底面周長(zhǎng)為 3 尺，有葛藤自點(diǎn) A 處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn) B 處．則問(wèn)題中葛藤的最短長(zhǎng)度是 尺．
6. 如圖①，圓柱的底面半徑為 4?cm，圓柱高 AB 為 2?cm，BC 是底面直徑，求一只螞蟻從點(diǎn) A 出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn) C 的最短路線，小明設(shè)計(jì)了兩條路線：
路線 1：高線 AB+ 底面直徑 BC，如圖①所示，設(shè)長(zhǎng)度為 l1．
路線 2：側(cè)面展開圖中的線段 AC，如圖②所示，設(shè)長(zhǎng)度為 l2．
請(qǐng)按照小明的思路補(bǔ)充下面解題過(guò)程：
4、
(1) 解：l1=AB+BC=2+8=10，
l2=AB2+BC2=22+4π2=4+16π2；
∵l12-l22= ．
(2) 小明對(duì)上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱底面半徑為 2?cm，高 AB 為 4?cm”繼續(xù)按前面的路線進(jìn)行計(jì)算．（結(jié)果保留 π）
①此時(shí)，路線 1:l1= ；
路線 2:l2= ．
②選擇哪條路線較短？試說(shuō)明理由．
答案
1. 【答案】答圖略，將圓柱展開，側(cè)面為矩形，
∴AB=6π2+102≈21.3cm．
答：螞蟻從點(diǎn) A 爬到點(diǎn) B 的最短路程約是 21.3?cm．
2. 【答案】D
3. 【答案】A
4. 【答案】A
5. 【答案】 25
6. 【答案】
(1) 96-16π2
(2) ① 8；24+π2
② ∵l12-l22=82-16+4π2=48-4π2=412-π2>0．
∴l(xiāng)12>l22，即 l1>l2．
所以選擇路線 2 較短．
【解析】
(1) l1=AB+BC=2+8=10，
l2=AB2+BC2=22+4π2=4+16π2，
∵l12-l22=102-4+16π2=96-16π2=166-π2<0，
∴l(xiāng)12
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