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1、專題訓(xùn)練(二) 特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定
班別 姓名
1．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且DE∥AC，AE∥BD.
求證：四邊形AODE是矩形．
2．如圖，在?ABCD中，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊CD上，CF＝AE，連接AF，BF.
(1)求證：四邊形BFDE是矩形；
(2)若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求證：AF是∠DAB的平分線．
3．
2、如圖1，在?ABCD中，AF平分∠BAD交BC于點(diǎn)F，CE平分∠BCD交AD于點(diǎn)E.
(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形；
(2)如圖2，若BE⊥EC，求證：四邊形ABFE是菱形．
圖1 圖2
4．(1)如圖1，在紙片?ABCD中，AD＝5，S?ABCD＝15，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCE′的位置，拼成四邊形AEE′D，則四邊形AEE′D的形狀為( )
A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形
3、 D．正方形
(2)如圖2，在(1)中的四邊形紙片AEE′D中，在EE′上取一點(diǎn)F，使EF＝4，剪下△AEF，將它平移至△DE′F′的位置，拼成四邊形AFF′D.
①求證：四邊形AFF′D是菱形；
②求四邊形AFF′D的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)．
5．如圖所示，E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)．
(1)當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，四邊形EFGH是菱形，請(qǐng)說明理由；
(2)當(dāng)四邊形ABCD滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH為正方形？并說明理由．
4、
6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點(diǎn)E.
(1)求證：四邊形ADCE為矩形；
(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形？并給出證明．
參考答案
1．(吉林中考)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相
5、交于點(diǎn)O，且DE∥AC，AE∥BD.求證：四邊形AODE是矩形．
證明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四邊形AODE是平行四邊形．
又∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，即∠AOD＝90°.
∴四邊形AODE是矩形．
2．如圖，在?ABCD中，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊CD上，CF＝AE，連接AF，BF.
(1)求證：四邊形BFDE是矩形；
(2)若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求證：AF是∠DAB的平分線．
證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵CF＝AE，
∴BE＝DF.
∴四邊形BFDE為平行四邊
6、形．
∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.
∴四邊形BFDE是矩形．
(2)∵四邊形BFDE是矩形，
∴∠BFD＝90°.∴∠BFC＝90°.
在Rt△BFC中，由勾股定理得
BC＝＝＝10.
∴AD＝BC＝10.
又∵DF＝10，∴AD＝DF.
∴∠DAF＝∠DFA.
∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠FAB.
∴∠DAF＝∠FAB.
∴AF是∠DAB的平分線．
3．如圖1，在?ABCD中，AF平分∠BAD交BC于點(diǎn)F，CE平分∠BCD交AD于點(diǎn)E.
圖1 圖2
(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形；
(2)如圖2，若BE⊥EC，求證
7、：四邊形ABFE是菱形．
證明：(1)∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD，
∴∠FAE＝∠BAE，∠FCE＝∠FCD.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAE＝∠FCD，AD∥BC.
∴∠FAE＝∠FCE，∠FCE＝∠CED.
∴∠FAE＝∠CED.
∴AF∥EC.
又∵AE∥CF，
∴四邊形AFCE為平行四邊形．
(2)∵AF∥EC，BE⊥EC，
∴∠AOE＝∠BEC＝90°.
∴∠AOE＝∠AOB＝90°.
在△ABO和△AEO中，
∴△ABO≌△AEO(ASA)．
∴BO＝EO.
同理可得△ABO≌△FBO，
∴AO＝FO.
∴四邊形ABFE
8、是平行四邊形．
又∵AF⊥BE，
∴平行四邊形ABFE是菱形．
4．(南昌中考)(1)如圖1，在紙片?ABCD中，AD＝5，S?ABCD＝15，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCE′的位置，拼成四邊形AEE′D，則四邊形AEE′D的形狀為(C)
A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
(2)如圖2，在(1)中的四邊形紙片AEE′D中，在EE′上取一點(diǎn)F，使EF＝4，剪下△AEF，將它平移至△DE′F′的位置，拼成四邊形AFF′D.
①求證：四邊形
9、AFF′D是菱形；
②求四邊形AFF′D的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)．
解：①證明：∵在紙片?ABCD中，AD＝5，S?ABCD＝15，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，
∴AE＝3.
∵△DE′F′是由△AEF平移得到的，
∴AF∥DF′，AF＝DF′.
∴四邊形AFF′D是平行四邊形．
在Rt△AEF中，由勾股定理，得
AF＝＝＝5，
∴AF＝AD＝5.
∴四邊形AFF′D是菱形．
②連接AF′，DF，
在Rt△DE′F中，E′F＝FF′－E′F′＝5－4＝1，
E′D＝3，
∴DF＝＝＝.
在Rt△AEF′中，EF′＝EF＋FF′＝4＋5＝9，AE＝3，
∴AF′＝＝＝3
10、.
5．如圖所示，E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)．
(1)當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，四邊形EFGH是菱形，請(qǐng)說明理由；
(2)當(dāng)四邊形ABCD滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH為正方形？并說明理由．
解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD.
∵EF＝AC，EH＝BD，
∴EF＝EH.
同理可得：EF＝EH＝GH
＝GF.
∴四邊形EFGH是菱形．
(2)當(dāng)四邊形ABCD滿足AC＝BD且AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH為正方形．
證明：∵E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AB，BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AC，EF＝AC.
同理：EH∥
11、BD，EH＝BD，GF＝BD，GH＝AC.
又∵AC＝BD，∴EF＝EH＝GH＝GF.
∴四邊形EFGH是菱形．
∵AC⊥BD，∴EF⊥EH.
∴四邊形EFGH是正方形．
6．(安順中考)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點(diǎn)E.
(1)求證：四邊形ADCE為矩形；
(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形？并給出證明．
解：(1)證明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC.
∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分線，
∴∠MAE＝∠CAE.
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝×180°＝90°.
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°.
∴四邊形ADCE為矩形．
(2)當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，四邊形ADCE是正方形．
證明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠ACD＝∠DAC＝45°.∴DC＝AD.
又由(1)知，四邊形ADCE為矩形，
∴四邊形ADCE是正方形．
八年級(jí)數(shù)學(xué)備課組 8
專題訓(xùn)練(二) 特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定
