人教版八下數(shù)學 期末專項訓練（三）平行四邊形

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1、 人教版八下數(shù)學 期末專項訓練（三）平行四邊形 1. 如圖，在平行四邊形 ABCD 中，DE 平分 ∠ADC，AD=6，BE=2，則平行四邊形 ABCD 的周長是 ?? A． 16 B． 18 C． 20 D． 24 2. 如圖，在平行四邊形 ABCD 中，∠ABC，∠BCD 的平分線 BE，CF 分別與 AD 相交于點 E，F(xiàn)，BE 與 CF 相交于點 G，若 AB=6，BC=10，CF=4，則 BE 的長為 ?? A． 42 B． 8 C． 82 D． 10 3. 如圖，平行四邊形 ABCD 的對角線 AC，BD 相交于點 O，C

2、E 平分 ∠DCB 交 BD 于點 F，且 ∠ABC=60°，AB=2BC，連接 OE，下列結論：① ∠ACD=30°；② S平行四邊形ABCD=AC?BC；③ OE:AC=1:4．其中正確的有 ?? A． 0 個 B． 1 個 C． 2 個 D． 3 個 4. 已知點 A3,0，B-1,0，C2,3，以 A，B，C 為頂點畫平行四邊形，則第四個頂點 D 的坐標是 ． 5. 如圖，在平行四邊形 ABCD 中，對角線 AC，BD 相交于點 O，E，F(xiàn) 為直線 BD 上的兩個動點（點 E，F(xiàn) 始終在平行四邊形 ABCD 的外面），且 DE=12OD，BF=12OB，連接

3、 AE，CE，CF，AF． (1) 求證：四邊形 AFCE 為平行四邊形． (2) 若 AC=6，EF=10，AF=4，則四邊形 AFCE 的周長為 ． 6. 如圖，平行四邊形 ABCD 中，對角線 AC，BD 相交于點 O，下列條件：① ∠1+∠DBC=90°；② OA=OB；③ ∠1=∠2，其中能判定平行四邊形 ABCD 是菱形的條件有 ?? A． 0 個 B． 1 個 C． 2 個 D． 3 個 7. 如圖，將兩個長為 9，寬為 3 的全等矩形疊放在一起，得到四邊形 ABCD，則四邊形 ABCD 面積的最大值是 ?? A． 15 B．

4、16 C． 19 D． 20 8. 如圖，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P 是斜邊 BC 上一動點，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC 于 F，EF 與 AP 相交于點 O，則 OF 的最小值為 ?? A． 4.8 B． 1.2 C． 3.6 D． 2.4 9. 如圖，在菱形 ABCD 中，∠DAB=60°，AD=23．點 P 為對角線 AC 上的一個動點，過點 P 作 EF⊥AC 交 AD 于點 E，交 AB 于點 F，將 △AEF 沿 EF 折疊，點 A 的對應點恰好落在對角線 AC 上的點 G 處，連接 BG．若 △CBG 是

5、等腰三角形，則 AP 的長為 ?? A． 3-3 或 32 B． 3-3 或 2 C． 6-23 或 4 D． 6-23 或 32 10. 如圖，在一張矩形紙片 ABCD 中，點 E，F(xiàn) 分別是邊 CD，AB 的中點．將這張紙片沿 AH 折疊，點 B 落在點 G 處，D，G，H 三點共線． （1）∠DAH= ； （2）若 AB=20?cm，EG= cm． 11. 如圖，在菱形 ABCD 中，∠BAD=120°，以 AC，BD 的交點 O 為圓心，OC 長為半徑作弧交 BC 于點 E，再分別以點 E，C 為圓心，大于 12EC 的長為半

6、徑作弧交于點 F（作圖痕跡如圖所示），作射線 OF 交 BC 于點 M．若 OM=3，則 AC 的長是 ． 12. 如圖，在菱形 ABCD 中，對角線 AC 與 BD 交于點 O．過點 C 作 BD 的平行線，過點 D 作 AC 的平行線，兩直線相交于點 E． (1) 求證：四邊形 OCED 是矩形； (2) 若 CE=1，菱形 ABCD 的周長是 45，求菱形 ABCD 的面積． 13. 如圖，△ABC 中，點 O 是邊 AC 上一個動點，過 O 作直線 MN∥BC．設 MN 交 ∠ACB 的平分線于點 E，交 △ACB 的外角平分線于點 F． (1)

7、 求證：OE=OF； (2) 若 CE=4，CF=3，求 OC 的長； (3) 連接 AF，當點 O 在邊 AC 上運動到什么位置時，四邊形 AECF 是矩形？并說明理由． 14. 已知正方形 ABCD 與正方形 CEFG，M 是 AF 的中點，連接 DM，EM． (1) 如圖（1），點 E 在 CD 上，點 G 在 BC 的延長線上，請判斷 DM，EM 的數(shù)量關系與位置關系，并證明； (2) 如圖（2），點 E 在 DC 的延長線上，點 G 在 BC 上，（1）中結論是否仍然成立？請證明你的結論； (3) 將圖（1）中的正方形 CEFG 繞點 C 旋轉，使

8、 D，E，F(xiàn) 三點在同一條直線上，若（1）中結論仍然成立且 AB=13，CE=5，請畫出圖形，并求出 MF 的長． 答案 1. 【答案】C 【解析】 ∵DE 平分 ∠ADC， ∴∠ADE=∠CDE， ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE=∠CED， ∴∠CDE=∠CED， ∴CE=CD， ∵ 在平行四邊形 ABCD 中，AD=6，BE=2， ∴AD=BC=6， ∴CE=BC-BE=6-2=4， ∴CD=AB=4， ∴ 平行四邊形 ABCD 的周長為 6+6+4+4=20． 故選C． 2. 【答案】C 【

9、解析】 ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∵∠ABC，∠BCD 的平分線 BE，CF 分別與 AD 相交于點 E，F(xiàn)， ∴∠EBC+∠FCB=12∠ABC+12∠DCB=90°， ∴EB⊥FC， ∴∠FGB=90°， 過點 A 作 AM∥FC，交 BC 于點 M，交 BE 于點 O，如圖所示． ∵AM∥FC， ∴∠AOB=∠AOE=∠FGB=90°， ∵BE 平分 ∠ABC， ∴∠ABE=∠EBC， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AB=AE=6，

10、 ∵AO⊥BE， ∴BO=EO， 在 △AOE 和 △MOB 中， ∠AEO=∠MBO,EO=BO,∠AOE=∠MOB, ∴△AOE≌△MOBASA， ∴AO=MO， ∵AF∥CM，AM∥FC， ∴ 四邊形 AMCF 是平行四邊形， ∴AM=FC=4， ∴AO=2， ∴EO=AE2-AO2=62-22=42， ∴BE=82． 故選C． 3. 【答案】C 【解析】 ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BCD=120°． ∵CE 平分 ∠BCD 交 AB 于點 E， ∴∠DCE=∠BCE=6

11、0°， ∴△CBE 是等邊三角形， ∴BE=BC=CE． ∵AB=2BC， ∴AE=BE=CE， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正確． ∵AC⊥BC， ∴S平行四邊形ABCD=AC?BC，故②正確． 在 Rt△ACB 中， ∵∠ACB=90°，∠CAB=30°， ∴AC=3BC． ∵AO=OC，AE=BE， ∴OE=12BC， ∴OE:AC=12BC:3BC=3:6，故③錯誤． 故選C． 4. 【答案】 -2,3 或 0,-3 或 6,3 【解析】如圖， 當以 BC 為對角線時，將 AB 向上平移

12、3 個單位，再向左平移 1 個單位，點 B 的對應點 D1 的坐標為 -2,3； 當以 AB 為對角線時，將 BC 向下平移 3 個單位，再向右平移 1 個單位，點 B 的對應點 D2 的坐標為 0,-3； 當以 AC 為對角線時，將 AB 向上平移 3 個單位，再向右平移 3 個單位，點 A 的對應點 D3 的坐標為 6,3． 綜上，第四個頂點 D 的坐標為 -2,3 或 0,-3 或 6,3． 5. 【答案】 (1) ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴OA=OC，OB=OD． ∵DE=12OD，BF=12OB， ∴DE=BF， ∴OD+DE=O

13、B+BF，即 OE=OF， ∴ 四邊形 AFCE 為平行四邊形． (2) 8+413 【解析】 (2) 由（1）得 OA=OC=12AC=3，OE=OF=12EF=5． ∵AF=4， ∴OA2+AF2=OF2， ∴△AOF 是直角三角形，∠OAF=90°， ∴CF=AF2+AC2=42+62=213． ∵ 四邊形 AFCE 是平行四邊形， ∴CE=AF=4，AE=CF=213， ∴ 四邊形 AFCE 的周長為 2AF+CF=8+413． 6. 【答案】C 【解析】 ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴OA=OC，OB=OD，AD∥

14、BC， ∴∠1=∠BCO， ①若 ∠1+∠DBC=90°，則 ∠BCO+∠DBC=90°， ∴∠BOC=90°， ∴AC⊥BD， ∴ 平行四邊形 ABCD 是菱形，①能判定平行四邊形 ABCD 是菱形； ②若 OA=OB，則 AC=BD， ∴ 平行四邊形 ABCD 是矩形，②不能判定平行四邊形 ABCD 是菱形； ③若 ∠1=∠2，則 ∠2=∠BCO， ∴AB=CB， ∴ 平行四邊形 ABCD 是菱形，③能判定平行四邊形 ABCD 是菱形． 7. 【答案】A 【解析】如圖（1），過 A 作 AE⊥BC 于 E，AF⊥CD 于 F． ∵AD∥BC，

15、AB∥CD， ∴ 四邊形 ABCD 是平行四邊形． ∵ 兩個矩形的寬都是 3， ∴AE=AF=3． ∵S四邊形ABCD=AE?BC=AF?CD， ∴BC=CD， ∴ 平行四邊形 ABCD 是菱形． 如圖（2）， 當菱形的一條對角線為矩形的對角線時，四邊形 ABCD 的面積最大． 設 AB=BC=x，則 BE=9-x． ∵BC2=BE2+CE2， ∴x2=9-x2+32，解得 x=5， ∴ 四邊形 ABCD 面積的最大值是 5×3=15． 8. 【答案】D 【解析】 ∵ 由題意可知四邊形 AEPF 是矩形， ∴EF，AP 互相平分，且

16、EF=AP，OE=OF， ∵ 當 AP 的值最小時，EF 的值最小， ∴OF 的值最小， ∴ 當 AP⊥BC 時，AP 的值最小，即 OF 的值最小， 在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 BC=62+82=10， ∵AB=6，AC=8， ∴AP 的最小值為 6×810=245， ∴OF=12EF=12AP=125． 故選D． 9. 【答案】B 【解析】在菱形 ABCD 中， ∵∠DAB=60°，AD=23， ∴ 易得 AC=6． ①當 CG=BC=23 時，AG=AC-CG=6-23， ∴AP=PG=3-3； ②當 GC=GB 時，易得

17、GC=2， ∴AG=4， ∴AP=12AG=2． 10. 【答案】 60° ； 1033 【解析】（1）∵ 四邊形 ABCD 是矩形，點 E，F(xiàn) 分別是邊 CD，AB 的中點， ∴EF∥AD∥BC，∠DAB=∠B=90°， ∴DG=GH． 由翻折可知，∠AGH=∠B=90°，∠GAH=∠BAH， ∴AG⊥DH， ∴AD=AH， ∴∠DAG=∠HAG， ∴∠BAH=∠HAG=∠DAG=30°， ∴∠DAH=60°． （2）在 Rt△ABH 中， ∵∠HAB=30°，AB=20?cm， ∴ 易得 BH=2033?cm，AH=AD=2BH．

18、 ∵BC=AD， ∴BH=CH=2033?cm． ∵DE=EC，DG=GH， ∴EG=12CH=1033?cm． 11. 【答案】 43 【解析】由題意可得 OM⊥BC， ∵ 四邊形 ABCD 是菱形，∠BAD=120°， ∴AC⊥BD，AO=CO，∠ABC=60°， ∴∠DBC=∠ABD=30°， ∴BO=2OM=6， ∴ 易得 CO=23， ∴AC=2OC=43． 故答案為 43． 12. 【答案】 (1) ∵ 四邊形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠COD=90°． ∵CE∥OD，DE∥OC， ∴

19、 四邊形 OCED 是平行四邊形． 又 ∵∠COD=90°， ∴ 平行四邊形 OCED 是矩形． (2) 由（1）知，平行四邊形 OCED 是矩形． ∵ 四邊形 ABCD 是菱形， ∴AB=AD=CD=BC． ∵ 菱形 ABCD 的周長是 45， ∴CD=5． ∵OD=CE=1， ∴OC=CD2-OD2=2， ∴AC=2OC=4，BD=2OD=2， ∴ 菱形 ABCD 的面積為 12AC?BD=12×4×2=4． 13. 【答案】 (1) 如圖， ∵MN 交 ∠ACB 的平分線于點 E，交 △ACB 的外角平分線于點 F， ∴∠2=

20、∠5，∠4=∠6， ∵MN∥BC， ∴∠1=∠5，∠3=∠6， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴EO=CO，F(xiàn)O=CO， ∴OE=OF． (2) ∵∠2=∠5，∠4=∠6， ∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°． ∵CE=4，CF=3， ∴EF=42+32=5． ∵OE=OF， ∴OC=12EF=52． (3) 當點 O 在邊 AC 上運動到 AC 中點時，四邊形 AECF 是矩形， 理由：當 O 為 AC 的中點時，AO=CO． ∵EO=FO， ∴ 四邊形 AECF 是平行四邊形． ∵∠ECF=90°， ∴ 平行四邊形 AECF

21、是矩形． 14. 【答案】 (1) DM⊥EM，DM=EM． 證明：如圖（1），延長 EM 交 AD 于點 H． ∵ 四邊形 ABCD 是正方形，四邊形 CEFG 是正方形， ∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD， ∴AD∥EF， ∴∠MAH=∠MFE， ∵AM=MF，∠AMH=∠FME， ∴△AMH≌△FMEASA， ∴MH=ME，AH=FE=EC， ∴DH=DE． ∵∠EDH=90°， ∴DM⊥EM，DM=EM． (2) （1）中結論仍然成立．DM⊥EM，DM=EM． 證明：如圖（2），延長 EM 交 DA 的延長線于點 H

22、． ∵ 四邊形 ABCD 是正方形，四邊形 CEFG 是正方形， ∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD， ∴AD∥EF， ∴∠MAH=∠MFE． ∵AM=MF，∠AMH=∠FME， ∴△AMH≌△FMEASA， ∴MH=ME，AH=FE=EC， ∴DH=DE． ∵∠EDH=90°， ∴DM⊥EM，DM=EM． (3) 有以下兩種情況： ①如圖（3），過點 M 作 MR⊥DE 于點 R． 在 Rt△CDE 中，DE=132-52=12． ∵DM=ME，DM⊥ME，MR⊥DE， ∴MR=12DE=6，DR=RE=6， ∴FR=RE+EF=RE+CE=11． 在 Rt△FMR 中，MF=MR2+FR2=62+112=157． ②如圖（4），過點 M 作 MT⊥DE 于點 T． 在 Rt△MTF 中，同理可證 MF=12+62=37． 綜上所述，滿足條件的 MF 的值為 37 或 157．