人教版八下數(shù)學(xué)期末高頻考點(diǎn)6 新定義

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1、 人教版八下數(shù)學(xué) 期末高頻考點(diǎn)6 新定義 1. 通過對(duì)《勾股定理》的學(xué)習(xí)，我們知道：如果一個(gè)三角形中，兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形一定是直角三角形．如果我們新定義一種三角形一一兩邊的平方和等于第三邊平方的 2 倍的三角形叫做奇異三角形． (1) 根據(jù)奇異三角形的定義，判斷：等邊三角形一定是奇異三角形嗎？ ；（填“是”或“不是”） (2) 若某三角形的三邊長(zhǎng)分別為 1，7，2，則該三角形是不是奇異三角形？請(qǐng)作出判斷并寫出判斷依據(jù)； (3) 在 Rt△ABC 中，三邊長(zhǎng)分別為 a，b，c，且 a2=50，c2=100，則這個(gè)三角形是不是奇異三角形？請(qǐng)

2、作出判斷并寫出判斷依據(jù)； (4) 探究：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且 b>a，若 Rt△ABC 是奇異三角形，求 a2:b2:c2． 2. 定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意兩點(diǎn) Aa,b，Bc,d，若點(diǎn) Tx,y 滿足 x=a+c3，y=b+d3，那么稱點(diǎn) T 是點(diǎn) A，B 的三分點(diǎn)． 例如：A-1,5，B7,7，當(dāng)點(diǎn) Tx,y 滿足 x=-1+73=2，y=5+73=4 時(shí)，點(diǎn) T2,4 是點(diǎn) A，B 的三分點(diǎn)． (1) 已知點(diǎn) C-1,8，D1,2，E4,-2，請(qǐng)說明其中一個(gè)點(diǎn)是另外兩個(gè)點(diǎn)的三分點(diǎn)． (2) 如圖，點(diǎn) A 的坐標(biāo)

3、為 3,0，點(diǎn) Bt,2t+3 是直線 l 上任意一點(diǎn)，點(diǎn) Tx,y 是點(diǎn) A，B 的三分點(diǎn)． ①試確定 y 與 x 的關(guān)系式. ②若①中的函數(shù)圖象交 y 軸于點(diǎn) M，直線 l 交 y 軸于點(diǎn) N，當(dāng)以 M，N，B，T 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn) B 的坐標(biāo)． ③若直線 AT 與線段 MN 有交點(diǎn)，直接寫出 t 的取值范圍． 3. 我們規(guī)定：經(jīng)過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)且將三角形的周長(zhǎng)分成相等的兩部分的直線叫做該三角形的“等周線”，“等周線”被這個(gè)三角形截得的線段叫做該三角形的“等周徑”．例如，等腰三角形底邊上的中線即為它的“等周徑”． (1) 若等邊三角形的“等周徑”長(zhǎng)為

4、 3，則它的邊長(zhǎng)為 ； (2) 如圖，點(diǎn) E 為四邊形 ABCD 的邊 AB 上一點(diǎn)，已知 ∠DEC=∠A=∠B，AE=BC，過點(diǎn) E 作 EF⊥CD 于點(diǎn) F，求證：直線 EF 為 △DEC 的“等周線”； (3) Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，若直線 l 為 △ABC 的“等周線”，請(qǐng)直接寫出 △ABC 的所有“等周徑”長(zhǎng)． 4. 如圖①，對(duì)于平面內(nèi)的點(diǎn) A，P，如果將線段 PA 繞點(diǎn) P 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90° 能得到線段 PB，就稱點(diǎn) B 是點(diǎn) A 關(guān)于點(diǎn) P 的“旋垂點(diǎn)”． (1) 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) S-3,1 關(guān)于

5、原點(diǎn) O 的“旋垂點(diǎn)”是 ； (2) 如圖②，∠AOB=90°，OC 平分 ∠AOB，將直角三角板的直角頂點(diǎn) P 放在 OC 上，兩直角邊分別交 OA，OB 于點(diǎn) M，N，試說明：點(diǎn) N 是點(diǎn) M 關(guān)于點(diǎn) P 的“旋垂點(diǎn)”； (3) 如圖③，直線 y=kx+3 與 x 軸交于點(diǎn) P，與 y 軸交于點(diǎn) Q，點(diǎn) Q 關(guān)于點(diǎn) P 的“旋垂點(diǎn)”記為點(diǎn) Tm,n，若點(diǎn) P 在 x 軸正半軸上，且 0

6、異三角形． (3) 當(dāng) c 為斜邊時(shí)，b2=c2-a2=50，Rt△ABC 不是奇異三角形． 當(dāng) b 為斜邊時(shí)，b2=c2+a2=150， ∵50+150=2×100， ∴a2+b2=2c2， ∴Rt△ABC 是奇異三角形． (4) Rt△ABC 中，∠C=90°， ∴a2+b2=c2， ∵c>b>a， ∴2c2>b2+a2，2a2

7、 ∵-1+43=1，8-23=2， ∴ 點(diǎn) D1,2 是點(diǎn) C，E 的三分點(diǎn)． (2) ① ∵ 點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 3,0，點(diǎn) Bt,2t+3 是直線 l 上任意一點(diǎn)，點(diǎn) Tx,y 是點(diǎn) A，B 的三分點(diǎn)， ∴x=3+t3,y=0+2t+33, ∴y=2x-1． ② ∵y=2x-1 的圖象交 y 軸于點(diǎn) M，直線 l 交 y 軸于點(diǎn) N， ∴ 點(diǎn) M0,-1，點(diǎn) N0,3， 當(dāng)四邊形 MTBN 是平行四邊形時(shí)，BT∥MN， ∵Bt,2t+3，T3+t3,2t+33， ∴t=3+t3， ∴t=32， ∴ 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 32,6． 當(dāng)四邊形 MTNB

8、 是平行四邊形時(shí)， 設(shè) BT 與 MN 交于點(diǎn) P，則點(diǎn) P 為 BT 與 MN 的中點(diǎn)， ∴ 點(diǎn) P0,1， ∵Bt,2t+3，T3+t3,2t+33， ∴t+3+t3=0， ∴t=-34， ∴ 點(diǎn) B-34,32， 綜上所述，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 32,6 或 -34,32． ③ -3≤t≤1． 【解析】 (2) ③當(dāng)直線 AT 過點(diǎn) M 時(shí)， ∵ 點(diǎn) A3,0，點(diǎn) M0,-1， ∴ 直線 AM 的函數(shù)解析式為 y=13x-1， ∵ 點(diǎn) T 在直線 AM 上， ∴2t+33=13×3+t3-1， ∴t=-3， 當(dāng)直線 AT 過點(diǎn) N 時(shí)，

9、 ∵ 點(diǎn) A3,0，點(diǎn) N0,3， ∴ 直線 AN 的函數(shù)解析式為 y=-x+3， ∵ 點(diǎn) T 在直線 AN 上， ∴2t+33=-3+t3+3， ∴t=1， ∵ 直線 AT 與線段 MN 有交點(diǎn)， ∴-3≤t≤1． 3. 【答案】 (1) 2 (2) ∵∠DEB=∠DEC+∠CEB=∠A+∠ADE，∠DEC=∠A=∠B， ∴∠ADE=∠CEB， ∵∠A=∠B，AE=BC， ∴△DAE≌△EBCAAS， ∴DE=EC， ∵EF⊥CD， ∴DF=FC， ∴ 直線 EF 為 △DEC 的“等周線”． (3) 655

10、或 25 或 32． 【解析】 (3) 如答圖①，當(dāng)“等周線”經(jīng)過點(diǎn) C 時(shí)，直線 l 交 AB 于點(diǎn) E， 設(shè) BE=x，則 AE=5-x．作 CH⊥AB 于點(diǎn) H． 由題意得 3+x=4+5-x，解得 x=3， ∵CH=BC?ACAB=125， ∴BH=BC2-CH2=95， ∴EH=3-95=65， 在 Rt△ECH 中，CE=CH2+EH2=655， ∴“等周徑”長(zhǎng)為 655． 如答圖②，當(dāng)“等周線”經(jīng)過點(diǎn) A 時(shí)，直線 l 交 BC 于點(diǎn) E， 設(shè) BE=x，則 CE=3-x． 由題意得 4+3-x=5+x，解得 x=1， ∴EC=2， 在 R

11、t△ACE 中，AE=EC2+AC2=25， ∴“等周徑”長(zhǎng)為 25． 如答圖③，當(dāng)“等周線”經(jīng)過點(diǎn) B 時(shí)，直線 l 交 AC 于點(diǎn) E， 設(shè) AE=x，則 CE=4-x． 由題意得 3+4-x=5+x，解得 x=1， ∴CE=3， 在 Rt△BCE 中，BE=BC2+CE2=32， ∴“等周徑”長(zhǎng)為 32． 綜上所述，滿足條件的“等周徑”長(zhǎng)為 655 或 25 或 32． 4. 【答案】 (1) -1,-3 (2) 如答圖①，過點(diǎn) P 作 PG⊥OA 于點(diǎn) G，作 PH⊥OB 于點(diǎn) H． ∵OC 平分 ∠AOB， ∴PG=PH． ∵

12、∠AOB=∠PGO=∠PHO=90°， ∴∠GPH=90°， ∵∠MPN=90°， ∴∠GPM=∠HPN， ∴△PGM≌△PHNASA， ∴PM=PN， ∴ 點(diǎn) N 是點(diǎn) M 關(guān)于點(diǎn) P 的“旋垂點(diǎn)”． (3) ∵ 點(diǎn) Q 關(guān)于點(diǎn) P 的“旋垂點(diǎn)”記為點(diǎn) Tm,n， ∴PQ⊥PT，PQ=PT． 如答圖②，過點(diǎn) T 作 TE⊥x 軸于點(diǎn) E． 當(dāng) x=0 時(shí)，y=3，當(dāng) y=0 時(shí)，kx+3=0，x=-3k， ∴Q0,3，P-3k,0， ∴OQ=3，OP=-3kk<0， 由（1）同理得 △QOP≌△PETAAS， ∴PE=OQ=3， ∴OP=3-OE=3--m=3+m， ∴m=OP-3， ∵0