高考數學人教A版（理）一輪復習：第九篇 第1講 直線方程和兩直線的位置關系

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第九篇 解析幾何 第1講 直線方程和兩直線的位置關系 A級　基礎演練(時間：30分鐘　滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．直線2x－my＋1－3m＝0，當m變化時，所有直線都過定點 (　　)． A. B. C. D. 解析　原方程可化為(2x＋1)－m(y＋3)＝0，令解得x＝－，y＝－3，故所有直線都過定點. 答案　D 2．若直線l：y＝kx－與直線2x＋3y－6＝0的交點位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是 (　　)． A. B. C. D. 解析　如圖，直線l：y＝kx－，過定點P(0，－)，又A(3,0)，∴kPA＝，則直線PA的傾斜角為，滿足條件的直線l的傾斜角的范圍是. 答案　B 3．(2013·泰安一模)過點A(2,3)且垂直于直線2x＋y－5＝0的直線方程為(　　)． A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0 解析　由題意可設所求直線方程為：x－2y＋m＝0，將A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直線方程為x－2y＋4＝0. 答案　A 4．(2013·江西八所重點高中聯考)“a＝0”是“直線l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0與直線l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的 (　　)． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　當a＝0時，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，此時l1∥l2， 所以“a＝0”是“直線l1與l2平行”的充分條件； 當l1∥l2時，a(a＋1)－2a2＝0，解得a＝0或a＝1. 當a＝1時，l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y－3＝0， 此時l1與l2重合，所以a＝1不滿足題意，即a＝0. 所以“a＝0”是“直線l1∥l2”的必要條件． 答案　C 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．一條直線經過點A(－2,2)，并且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為________． 解析　設所求直線的方程為＋＝1， ∵A(－2,2)在直線上，∴－＋＝1. ① 又因直線與坐標軸圍成的三角形面積為1， ∴|a|·|b|＝1. ② 由①②可得(1)或(2) 由(1)解得或方程組(2)無解． 故所求的直線方程為＋＝1或＋＝1， 即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0為所求直線的方程． 答案　x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0 6．(2012·東北三校二模)已知直線l1：ax＋3y－1＝0與直線l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，則實數a＝________. 解析　由兩直線垂直的條件得2a＋3(a－1)＝0，解得a＝. 答案　 三、解答題(共25分) 7．(12分)已知兩直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值． (1)l1⊥l2，且直線l1過點(－3，－1)； (2)l1∥l2，且坐標原點到這兩條直線的距離相等． 解　(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0. 又∵直線l1過點(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0. 故a＝2，b＝2. (2)∵直線l2的斜率存在，l1∥l2，∴直線l1的斜率存在． ∴k1＝k2，即＝1－a. 又∵坐標原點到這兩條直線的距離相等， ∴l(xiāng)1，l2在y軸上的截距互為相反數，即＝b. 故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2. 8．(13分)已知直線l經過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點． (1)點A(5,0)到l的距離為3，求l的方程； (2)求點A(5,0)到l的距離的最大值． 解　(1)經過兩已知直線交點的直線系方程為(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ∴＝3.解得λ＝2或λ＝. ∴l(xiāng)的方程為x＝2或4x－3y－5＝0. (2)由解得交點P(2,1)， 如圖，過P作任一直線l，設d為點A到l的距離， 則d≤|PA|(當l⊥PA時等號成立)． ∴dmax＝|PA|＝. B級　能力突破(時間：30分鐘　滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．將一張坐標紙折疊一次，使得點(0,2)與點(4,0)重合，點(7,3)與點(m，n)重合，則m＋n＝ (　　)． A．4 B．6 C. D. 解析　由題可知紙的折痕應是點(0,2)與點(4,0)連線的中垂線，即直線y＝2x－3，它也是點(7,3)與點(m，n)連線的中垂線，于是 解得故m＋n＝. 答案　C 2．(2013·長沙模擬)若動點A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，則AB的中點M到原點的距離的最小值為 (　　)． A．3 B．2 C．3 D．4 解析　依題意知AB的中點M的集合為與直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距離都相等的直線，則M到原點的距離的最小值為原點到該直線的距離，設點M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0，根據平行線間的距離公式得＝?|m＋7|＝|m＋5|?m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根據點到直線的距離公式，得M到原點的距離的最小值為＝3. 答案　A 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．若兩平行直線3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之間的距離為，則的值為________． 解析　由題意得，＝≠，∴a＝－4且c≠－2， 則6x＋ay＋c＝0可化為3x－2y＋＝0， 由兩平行線間的距離，得＝， 解得c＝2或c＝－6，所以＝±1. 答案　±1 4．(2013·鹽城檢測)已知直線x＋2y＝2分別與x軸、y軸相交于A，B兩點，若動點P(a，b)在線段AB上，則ab的最大值為________． 解析　直線方程可化為＋y＝1，故直線與x軸的交點為A(2,0)，與y軸的交點為B(0,1)，由動點P(a，b)在線段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，從而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－22＋，由于0≤b≤1，故當b＝時，ab取得最大值. 答案　 三、解答題(共25分) 5．(12分)已知直線l過點P(2,3)，且被兩條平行直線l1：3x＋4y－7＝0，l2：3x＋4y＋8＝0截得的線段長為d. (1)求d的最小值； (2)當直線l與x軸平行，試求d的值． 解　(1)因為3×2＋4×3－7>0,3×2＋4×3＋8>0，所以點P在兩條平行直線l1，l2外． 過P點作直線l，使l⊥l1，則l⊥l2，設垂足分別為G，H，則|GH|就是所求的d的最小值．由兩平行線間的距離公式，得d的最小值為|GH|＝＝3. (2)當直線l與x軸平行時，l的方程為y＝3，設直線l與直線l1，l2分別交于點A(x1,3)，B(x2,3)，則3x1＋12－7＝0,3x2＋12＋8＝0，所以3(x1－x2)＝15，即x1－x2＝5，所以d＝|AB|＝|x1－x2|＝5. 6．(13分)已知直線l1：x－y＋3＝0，直線l：x－y－1＝0.若直線l1關于直線l的對稱直線為l2，求直線l2的方程． 解　法一　因為l1∥l，所以l2∥l， 設直線l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)． 直線l1，l2關于直線l對稱， 所以l1與l，l2與l間的距離相等． 由兩平行直線間的距離公式得＝， 解得m＝－5或m＝3(舍去)． 所以直線l2的方程為x－y－5＝0. 法二　由題意知l1∥l2，設直線l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)． 在直線l1上取點M(0,3)， 設點M關于直線l的對稱點為M′(a，b)， 于是有解得即M′(4，－1)． 把點M′(4，－1)代入l2的方程，得m＝－5， 所以直線l2的方程為x－y－5＝0. 特別提醒：教師配贈習題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設計·高考總復習》光盤中內容.