高中數(shù)學 第一章 推理與證明 1_4 數(shù)學歸納法自我小測 北師大版選修2-21

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高中數(shù)學 第一章 推理與證明 1.4 數(shù)學歸納法自我小測 北師大版選修2-2 1.設f(n)＝＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)． A． B． C． D． 2．滿足12＋23＋34＋…＋n(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然數(shù)有(　　)． A．1 B．1或2 C．1,2,3 D．1,2,3,4 3．用數(shù)學歸納法證明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除”的過程中，利用歸納假設證明n＝k＋1時，只需展開(　　)． A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3 4．證明＜1＋＋…＋＜n＋1(n＞1)，當n＝2時，中間式等于(　　)． A．1 B．1＋ C．1＋ D．1＋ 5．凸n邊形有f(n)條對角線，則凸(n＋1)邊形的對角線的條數(shù)f(n＋1)為(　　)． A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 6．若命題A(n)(n∈N＋)，當n＝k(k∈N＋)時，命題成立，則有n＝k＋1時，命題成立．現(xiàn)知命題對n＝n0(n0∈N＋)時，命題成立，則有(　　)． A．命題對所有正整數(shù)都成立 B．命題對小于n0的整數(shù)不成立，對大于或等于n0的正整數(shù)都成立 C．命題對小于n0的正整數(shù)成立與否不能確定，對大于或等于n0的正整數(shù)都成立 D．以上說法都錯 7．用數(shù)學歸納法證明“n3＋5n能被6整除”的過程中，當n＝k＋1時，對式子(k＋1)3＋5(k＋1)應變形為__________． 8．用數(shù)學歸納法證明“當n為正偶數(shù)時，xn－yn能被x＋y整除”，第一步應驗證n＝__________時，命題成立；第二步歸納假設成立，應寫成______________． 9．用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線的條數(shù)：f(n)＝n(n－3)(n≥3且n∈N＋)． 10．已知n≥2，n∈N＋，求證：….  參考答案 1.答案：D　解析：f(n)＝ f(n＋1)＝， ∴f(n＋1)－f(n)＝. 2.答案：B　解析：當n＝1時，左邊＝12＝2，右邊＝3－3＋2＝2，等式成立． 當n＝2時，左邊＝12＋23＝8，右邊＝322－32＋2＝8，等式成立． 當n＝3時，左邊＝12＋23＋34＝20，右邊＝332－33＋2＝20，等式成立． 當n＝4時，左邊＝12＋23＋34＋45＝40，右邊＝342－34＋2＝38，等式不成立． 3.答案：A　解析：當n＝k時，k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除， 當n＝k＋1時，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3－k3，只需展開(k＋3)3即可． 4.答案：D　解析：當n＝2時，分母從1依次到4，則中間式為1＋. 5.答案：B　解析：增加的對角線條數(shù)為n－1. 6.答案：B　解析：只能對大于或等于n0的所有正整數(shù)成立，而小于n0的正整數(shù)不確定． 7.答案：k3＋5k＋3k(k＋1)＋6　解析：采用配湊法，必須利用歸納假設． 8.答案：2　x2k－y2k能被x＋y整除　解析：因為n為正偶數(shù)，故第一個值應為n＝2，第二步假設n取第k個正偶數(shù)，即n＝2k時成立，故應假設x2k－y2k能被x＋y整除． 9.答案：證明：(1)∵三角形沒有對角線， ∴n＝3時，f(3)＝0，命題成立． (2)假設n＝k(k≥3且k∈N＋)時命題成立，即f(k)＝k(k－3)． 則當n＝k＋1時，凸k邊形由原來k個頂點變?yōu)閗＋1個頂點，對角線條數(shù)增加k－1. ∴f(k＋1)＝f(k)＋k－1＝k(k－3)＋k－1＝ (k＋1)[(k＋1)－3]． ∴當n＝k＋1時，命題成立． ∴對于任意的n∈N＋且n≥3，凸n邊形對角線的條數(shù)為f(n)＝n(n－3)． 10.證明：(1)當n＝2時，左邊＝1＋，右邊＝，原不等式成立． (2)假設n＝k時，原不等式成立． 即. 那么當n＝k＋1時， 要使n＝k＋1時，原不等式成立，只需證明， 即，只需證2k＋1＋＋2＞2k＋3，即＞0. ∵k≥2，∴＞0. 顯然成立，即當n＝k＋1時，原不等式成立． 由(1)(2)可知，對任何n∈N＋(n≥2)，原不等式均成立．