（課標專用）天津市2020高考數(shù)學二輪復(fù)習 題型練3 大題專項（一）三角函數(shù)、解三角形綜合問題

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1、題型練3　大題專項(一)　三角函數(shù)、解三角形綜合問題 　題型練第54頁　? 1.(2019全國Ⅲ,理18)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知asinA+C2=bsin A. (1)求B; (2)若△ABC為銳角三角形,且c=1,求△ABC面積的取值范圍. 解:(1)由題設(shè)及正弦定理得sinAsinA+C2=sinBsinA. 因為sinA≠0,所以sinA+C2=sinB. 由A+B+C=180°,可得sinA+C2=cosB2, 故cosB2=2sinB2cosB2. 因為cosB2≠0,故sinB2=12,因此B=60°. (2)由題設(shè)及(1)知△AB

2、C的面積S△ABC=34a. 由正弦定理得a=csinAsinC=sin(120°-C)sinC=32tanC+12. 由于△ABC為銳角三角形,故0°

3、37, ∴sinA=32.∵B∈π2,π,∴A∈0,π2,∴A=π3. (2)在△ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=32×-17+12×437=3314. 如圖所示,在△ABC中,過點B作BD⊥AC于點D. ∵sinC=hBC, ∴h=BC·sinC=7×3314=332, ∴AC邊上的高為332. 3.(2019吉林第三次調(diào)研)在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,△ABC的面積為3a2tanC6sinA. (1)求sin Bcos C的值; (2)若6cos Bsin C=3,a=3,求b+c的最大值. 解

4、:(1)依題意,得12absinC=3a2tanC6sinA,即3bsinAcosC=3a, 由正弦定理,得3sinBsinAcosC=3sinA. ∵A∈(0,π),∴sinA>0, ∴sinBcosC=33. (2)∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC, ∴sinA=33+36=32. ∵A為銳角,∴cosA=12, 由余弦定理,得9=b2+c2-2bc×12,即9+3bc=(b+c)2, ∴(b+c)2≤9+3×b+c22,整理得14(b+c)2≤9, 即b+c≤6,當且僅當b=c=3時取等號. 故b+c的最大值為6. 4.已知函數(shù)f(x

5、)=4tan xsinπ2-xcosx-π3-3. (1)求f(x)的定義域與最小正周期; (2)討論f(x)在區(qū)間-π4,π4上的單調(diào)性. 解:(1)f(x)的定義域為xx≠π2+kπ,k∈Z. f(x)=4tanxcosxcosx-π3-3 =4sinxcosx-π3-3 =4sinx12cosx+32sinx-3 =2sinxcosx+23sin2x-3=sin2x+3(1-cos2x)-3 =sin2x-3cos2x=2sin2x-π3, 所以,f(x)的最小正周期T=2π2=π. (2)令z=2x-π3,函數(shù)y=2sinz的單調(diào)遞增區(qū)間是-π2+2kπ,π2+2k

6、π,k∈Z.由-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z.設(shè)A=-π4,π4,B=x-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z,易知A∩B=-π12,π4.所以,當x∈-π4,π4時,f(x)在區(qū)間-π12,π4上單調(diào)遞增,在區(qū)間-π4,-π12上單調(diào)遞減. 5.已知函數(shù)f(x)=3acos2ωx2+12asin ωx-32a(ω>0,a>0)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示,其中點A為圖象上的最高點,點B,C為圖象與x軸的兩個相鄰交點,且△ABC是邊長為4的正三角形. (1)求ω與a的值; (2)若f(x0)=835,且x0∈-103,23,求

7、f(x0+1)的值. 解:(1)由已知可得f(x)=a32cosωx+12sinωx=asinωx+π3. ∵BC=T2=4, ∴T=8,∴ω=2π8=π4. 由題圖可知,正三角形ABC的高即為函數(shù)f(x)的最大值a, 得a=32BC=23. (2)由(1)知f(x0)=23sinπ4x0+π3=835, 即sinπ4x0+π3=45. ∵x0∈-103,23,∴π4x0+π3∈-π2,π2, ∴cosπ4x0+π3=1-452=35, ∴f(x0+1)=23sinπ4x0+π4+π3 =23sinπ4x0+π3+π4 =23sinπ4x0+π3cosπ4+cosπ4x

8、0+π3sinπ4=23×45×22+35×22=765. 6.在平面直角坐標系xOy中,已知向量m=22,-22,n=(sin x,cos x),x∈0,π2. (1)若m⊥n,求tan x的值; (2)若m與n的夾角為π3,求x的值. 解:(1)∵m=22,-22,n=(sinx,cosx),且m⊥n, ∴m·n=22,-22·(sinx,cosx) =22sinx-22cosx=sinx-π4=0. 又x∈0,π2,∴x-π4∈-π4,π4. ∴x-π4=0,即x=π4. ∴tanx=tanπ4=1. (2)由(1)和已知,得cosπ3=m·n|m|·|n| =sinx-π4222+-222·sin2x+cos2x =sinx-π4=12. 又x-π4∈-π4,π4, ∴x-π4=π6,即x=5π12. 5