（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 直線與圓、圓錐曲線 第69講 曲線與方程練習(xí) 理（含解析）新人教A版

《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 直線與圓、圓錐曲線 第69講 曲線與方程練習(xí) 理（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 直線與圓、圓錐曲線 第69講 曲線與方程練習(xí) 理（含解析）新人教A版（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第69講　曲線與方程 夯實(shí)基礎(chǔ)　【p157】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 2．理解解析幾何的基本思想和利用坐標(biāo)法研究幾何問題的基本方法． 3．能熟練地運(yùn)用直接法、定義法、代數(shù)法、參數(shù)法等方法求曲線的軌跡方程． 【基礎(chǔ)檢測(cè)】 1．對(duì)?k∈R，則方程x2＋ky2＝1所表示的曲線不可能是(　　) A．兩條直線B．圓 C．橢圓或雙曲線D．拋物線 【解析】由k＝0，1時(shí)分別表示直線與圓； 及k>0且k≠1時(shí)表示橢圓； k<0時(shí)表示雙曲線， 所以方程x2＋ky2＝1不可能為拋物線． 【答案】D 2．當(dāng)點(diǎn)P在圓x2＋y2＝1上變動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)Q(3

2、，0)相連，線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程是(　　) A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1 C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1 【解析】設(shè)P(x1，y1)，Q(3，0)，設(shè)PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)， 則有?x1＝2x－3，y1＝2y， 又點(diǎn)P在圓x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋(2y)2＝1. 即點(diǎn)M的軌跡方程為(2x－3)2＋4y2＝1. 【答案】C 3．已知圓O1和圓O2的半徑分別為2和4，且|O1O2|＝8，若動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，與圓O2外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡是(　　) A．圓B．橢圓 C．雙曲線的一支D．拋

3、物線 【解析】設(shè)動(dòng)圓M的半徑為R，由題意得|MO1|＝R－2，|MO2|＝R＋4， 所以|MO2|－|MO1|＝6(常數(shù))，且6<8＝|O1O2|， 所以動(dòng)圓圓心M的軌跡是以O(shè)1，O2為焦點(diǎn)的雙曲線的一支． 【答案】C 4．過圓x2＋y2＝4上一點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為H，則線段PH的中點(diǎn)M的軌跡方程為____________． 【解析】設(shè)點(diǎn)M(x，y)，則點(diǎn)P(x，2y)． ∵點(diǎn)P(x，2y)在圓x2＋y2＝4上， ∴x2＋4y2＝4. ∴線段PH的中點(diǎn)M的軌跡方程為x2＋4y2＝4. 【答案】x2＋4y2＝4 5．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O1的方程是x2

4、＋y2－8x＋10＝0，由動(dòng)點(diǎn)P向⊙O和⊙O1所引的切線長(zhǎng)相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是__________． 【解析】設(shè)P(x，y)，分別切⊙O、⊙O1于A，B兩點(diǎn)． 則|PA|＝＝， |PB|＝＝， 因?yàn)閨PA|＝|PB|， 所以＝， 化簡(jiǎn)得x＝. 【答案】x＝ 【知識(shí)要點(diǎn)】 1．曲線的方程、方程的曲線的定義 如果曲線上的點(diǎn)與方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系： (1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)__都是這個(gè)方程的解__(稱曲線具備了純粹性)； (2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)__都在曲線上__(稱曲線具備了完備性)． 那么，我們就稱曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程.

5、2．直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的步驟 (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)，用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)； (2)寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合P＝{M|P(M)}； (3)用坐標(biāo)表示條件P(M)，列出方程f(x，y)＝0； (4)化方程f(x，y)＝0為最簡(jiǎn)形式； (5)說明方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上． 3．求軌跡方程的常用方法 (1)直接法：題目中的條件有明顯的等量關(guān)系，或者可以利用平面幾何知識(shí)推出等量關(guān)系，列出含動(dòng)點(diǎn)(x，y)的解析式． (2)定義法：分析題設(shè)幾何條件，根據(jù)圓錐曲線的定義，判斷軌跡是何種類型的曲線，直接求出該曲線的方程． (3)代入法：如果軌跡動(dòng)點(diǎn)P(x，y

6、)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Q(a，b)，而Q(a，b)又在某已知曲線上，則可先列出關(guān)于x，y，a，b的方程組，利用x，y表示出a，b，把a(bǔ)，b代入已知曲線方程便得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，這種求軌跡的方法也叫做轉(zhuǎn)移法． (4)參數(shù)法：如果軌跡動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到，也沒有相關(guān)點(diǎn)可用時(shí)，可先考慮將x，y用一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)來表示，消去參數(shù)得軌跡方程．參數(shù)法中常選角、斜率等為參數(shù)． 4．“軌跡”與“軌跡方程”的區(qū)別與聯(lián)系 一般說來，若是求“軌跡方程”，求得方程就可以了；若是求“軌跡”，求得方程還不夠，還應(yīng)指出方程所表示的曲線的類型，“軌跡”與“軌跡方程”是兩個(gè)有相關(guān)性的不同概念． 典例剖析　【

7、p157】 考點(diǎn)1　直接法求軌跡方程 (1)已知△ABC的頂點(diǎn)B(0，0)，C(5，0)，AB邊上的中線長(zhǎng)|CD|＝3，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為________． 【解析】設(shè)A(x，y)，由題意可知D.又∵|CD|＝3， ∴＋＝9，即(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三點(diǎn)不共線，∴點(diǎn)A不能落在x軸上，即y≠0，∴點(diǎn)A的軌跡方程為(x－10)2＋y2＝36(y≠0)． 【答案】(x－10)2＋y2＝36(y≠0) (2)與y軸相切并與圓C：x2＋y2－6x＝0也外切的圓的圓心的軌跡方程為________． 【解析】若動(dòng)圓在y軸右側(cè)，設(shè)與y軸相切，且與圓x2＋y2－6x＝0外切的

8、圓的圓心為P(x，y)(x>0)，則半徑長(zhǎng)為|x|，因?yàn)閳Ax2＋y2－6x＝0的圓心為(3，0)，所以＝|x|＋3，則y2＝12x(x>0)，若動(dòng)圓在y軸左側(cè)，則y＝0，即圓心的軌跡方程為y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0)． 【答案】y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0) 【點(diǎn)評(píng)】直接法求曲線方程的關(guān)鍵點(diǎn)和注意點(diǎn) (1)關(guān)鍵點(diǎn)：直接法求曲線方程時(shí)最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯成代數(shù)方程，要注意翻譯的等價(jià)性，通常將步驟簡(jiǎn)記為建系、設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡(jiǎn)、證明這幾個(gè)步驟，但最后的證明可以省略． (2)注意點(diǎn)：求出曲線的方程后還需注意檢驗(yàn)方程的純粹性和完備性． 考點(diǎn)2　定義法

9、求軌跡方程 (1)已知點(diǎn)F，直線l：x＝－，點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn)．若過B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是(　　) A．雙曲線B．橢圓C．圓D．拋物線 【解析】由已知：|MF|＝|MB|.由拋物線定義知，點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線． 【答案】D (2)已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.求C的方程． 【解析】由已知得圓M的圓心為M(－1，0)，半徑r1＝1；圓N的圓心為N(1，0)，半徑r2＝3.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)

10、切， 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>2＝|MN|. 由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為＋＝1(x≠－2)． (3)在△ABC中，||＝4，△ABC的內(nèi)切圓切BC于D點(diǎn)，且||－||＝2，求頂點(diǎn)A的軌跡方程． 【解析】以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，中垂線為y軸，建立如圖所 示的坐標(biāo)系，E、F分別為另兩個(gè)切點(diǎn)． 則|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|， |AE|＝|AF|，∴|AB|－|AC|＝2<4＝|BC|， ∴點(diǎn)A的軌跡為以B，C為焦點(diǎn)的雙曲線的右支(y≠0)且a＝，c＝2，

11、∴b＝， ∴軌跡方程為－＝1(x>)． 【點(diǎn)評(píng)】應(yīng)用定義法求曲線方程的關(guān)鍵在于由已知條件推出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的等量關(guān)系式，由等量關(guān)系結(jié)合曲線定義判斷是何種曲線，再設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法求解． 考點(diǎn)3　代入法求軌跡方程 設(shè)直線x－y＝4a與拋物線y2＝4ax交于兩點(diǎn)A，B(a為定值)，C為拋物線上任意一點(diǎn)，求△ABC的重心的軌跡方程． 【解析】設(shè)△ABC的重心為G(x，y)， 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由方程組： 消去y并整理得：x2－12ax＋16a2＝0. ∴x1＋x2＝12a， y1＋y2＝(x1－4a)＋(x2－4a)＝(x1＋

12、x2)－8a＝4a. ∵G(x，y)為△ABC的重心， ∴∴ 又點(diǎn)C(x0，y0)在拋物線上， ∴將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的方程得： (3y－4a)2＝4a(3x－12a)，即＝(x－4a)． 又點(diǎn)C與A，B不重合，∴x0≠(6±2)a， ∴△ABC的重心的軌跡方程為 ＝(x－4a). 【點(diǎn)評(píng)】“相關(guān)點(diǎn)法”的基本步驟： (1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)被動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，主動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)； (2)求關(guān)系式：求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式 (3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程，便可得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程． 考點(diǎn)4　參數(shù)法求軌跡方程 如圖，在正方形OABC中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

13、點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，10)，分別將線段OA和AB十等分，分點(diǎn)分別記為A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，連接OBi，過Ai作x軸的垂線與OBi交于點(diǎn)Pi(i∈N*，1≤i≤9)． (1)求證：點(diǎn)Pi(i∈N*，1≤i≤9)都在同一條拋物線上，并求該拋物線E的方程； (2)過點(diǎn)C作直線l與拋物線E交于不同的兩點(diǎn)M，N，若△OCM與△OCN的面積比為4∶1，求直線l的方程． 【解析】法一：(1)依題意，過Ai(i∈N*，1≤i≤9)且與x軸垂直的直線方程為x＝i，Bi的坐標(biāo)為(10，i)， 所以直線OBi的方程為y＝x. 設(shè)Pi的坐標(biāo)為(x，y)，由

14、 得y＝x2，即x2＝10y. 所以點(diǎn)Pi(i∈N*，1≤i≤9)都在同一條拋物線上，且拋物線E的方程為x2＝10y. (2)依題意知，直線l的斜率存在， 設(shè)直線l的方程為y＝kx＋10. 由得x2－10kx－100＝0， 此時(shí)Δ＝100k2＋400>0，直線l與拋物線E恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M，N. 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則 因?yàn)镾△OCM∶S△OCN＝4∶1，所以S△OCM＝4S△OCN， 所以|x1|＝4|x2|. 又x1·x2<0，所以x1＝－4x2，③ 把③代入①和②，得 解得k＝±. 所以直線l的方程為y＝±x＋10，即3x－2y＋20＝0或3x

15、＋2y－20＝0. 法二：(1)點(diǎn)Pi(i∈N*，1≤i≤9)都在拋物線E：x2＝10y上． 證明如下：過Ai(i∈N*，1≤i≤9)且與x軸垂直的直線方程為x＝i，Bi的坐標(biāo)為(10，i)， 所以直線OBi的方程為y＝x. 由解得Pi的坐標(biāo)為， 因?yàn)辄c(diǎn)Pi的坐標(biāo)都滿足方程x2＝10y， 所以點(diǎn)Pi(i∈N*，1≤i≤9)都在同一條拋物線上，且拋物線E的方程為x2＝10y. (2)同法一． 【點(diǎn)評(píng)】參數(shù)法求軌跡方程的步驟： (1)選取參數(shù)k，用k表示動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)． (2)得出動(dòng)點(diǎn)M的參數(shù)方程 (3)消去參數(shù)k，得M的軌跡方程． (4)由k的范圍確定x，y的范圍． 方法

16、總結(jié)　　【p158】 1．求曲線的方程是解析幾何主要研究的兩類問題之一．要注意求軌跡與求軌跡方程的區(qū)別，求軌跡不僅要求方程，而且還需說明所求軌跡是什么樣的圖形，即圖形的形狀、位置． 2．求軌跡應(yīng)注意的問題． (1)直接法是求軌跡方程的基本方法；定義法求軌跡的關(guān)鍵是緊扣解析幾何中有關(guān)曲線的定義，靈活應(yīng)用定義；用代入法即相關(guān)點(diǎn)法求軌跡的關(guān)鍵是尋求關(guān)系式：x0＝f(x，y)，y0＝g(x，y)，然后代入已知曲線．而求對(duì)稱曲線(軸對(duì)稱、中心對(duì)稱等)方程實(shí)質(zhì)上也是用代入法(相關(guān)點(diǎn)法)解題． (2)無論用哪種方法求軌跡方程，都應(yīng)注意軌跡方程的完備性和純粹性．求出的軌跡方程中若有的解不符合軌跡條件，

17、從而使軌跡圖形上有不符合軌跡條件的點(diǎn)存在，則該方程及其曲線不滿足純粹性；求出的軌跡方程所表示的曲線若不是所有適合條件的點(diǎn)的集合，即曲線之外還有適合條件的點(diǎn)存在，則該方程及其曲線不滿足完備性．求解軌跡問題時(shí)要避免軌跡方程不滿足純粹性和完備性的錯(cuò)誤． (3)用幾何法求軌跡，常能減少大量的計(jì)算，事半功倍．挖掘圖形的幾何屬性，建立適當(dāng)?shù)牡攘筷P(guān)系，然后聯(lián)系有關(guān)的定義，發(fā)展有用的條件，從而簡(jiǎn)化計(jì)算，這是解題的關(guān)鍵． 走進(jìn)高考　　【p158】 1．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：＋y2＝1上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足＝. (1)求點(diǎn)P的軌跡方程． (2)設(shè)點(diǎn)Q在直

18、線x＝－3上，且·＝1.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F. 【解析】(1)設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，則N(x0，0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)． 由＝得x0＝x，y0＝y(tǒng). 因?yàn)镸(x0，y0)在C上，所以＋＝1. 因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋y2＝2. (2)由題意知F(－1，0)．設(shè)Q(－3，t)，P(m，n)，則 ＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn， ＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)． 由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0. 所以·＝0，即⊥.又過點(diǎn)P存在唯一直線

19、垂直于OQ，所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F. 考點(diǎn)集訓(xùn)　　【p268】 A組題 1．已知橢圓＋＝1(n>0)與雙曲線－＝1(m>0)有相同的焦點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)P(n，m)的軌跡是(　　) A．橢圓的一部分B．雙曲線的一部分 C．拋物線的一部分D．圓的一部分 【解析】∵橢圓＋＝1與雙曲線－＝1有相同的焦點(diǎn)，∴9－n2＝4＋m2，即m2＋n2＝5(0＜n＜3)這是圓的一部分． 【答案】D 2．已知圓O：x2＋y2＝1，P是圓O上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足為P′，點(diǎn)Q在線段PP′上，且＝2，則點(diǎn)Q的軌跡方程是(　　) A．9x2＋y2＝1B．x2＋＝1 C．x2＋

20、9y2＝1D．x2＋＝1 【解析】設(shè)點(diǎn)P(x，y)，P′(x，0)，Q(x0，y0)，根據(jù)＝2，因?yàn)槿c(diǎn)在同一條豎直的線上，故得到y(tǒng)＝3y0，x＝x0，P是圓O上任意一點(diǎn)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入得到x＋9y＝1. 【答案】C 3．已知點(diǎn)P是直線2x－y＋3＝0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(－1，2)，Q是線段PM延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且|PM|＝|MQ|，則Q點(diǎn)的軌跡方程是(　　) A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0 【解析】由題意知，M為PQ中點(diǎn)，設(shè)Q(x，y)，則P為(－2－x，4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0. 【答案】D 4．若

21、動(dòng)點(diǎn)P(x，y)與兩定點(diǎn)M(－a，0)，N(a，0)的連線的斜率之積為常數(shù)k(ka≠0)，則點(diǎn)P的軌跡一定不可能是(　　) A．除M，N兩點(diǎn)外的圓 B．除M，N兩點(diǎn)外的橢圓 C．除M，N兩點(diǎn)外的雙曲線 D．除M，N兩點(diǎn)外的拋物線 【解析】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P(x，y)與兩定點(diǎn)M(－a，0)，N(a，0)的連線的斜率之積為常數(shù)k， 所以·＝k，整理得y2－kx2＝－ka2， 當(dāng)k>0時(shí)，方程的軌跡為雙曲線； 當(dāng)k<0，且k≠－1時(shí)，方程的軌跡為橢圓； 當(dāng)k＝－1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為圓， ∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x或y的指數(shù)必有一個(gè)是1， 故P點(diǎn)的軌跡一定不可能是拋物線． 【答案】D 5

22、．已知圓的方程為x2＋y2＝4，若拋物線過點(diǎn)A(－1，0)、B(1，0)且以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線的焦點(diǎn)軌跡方程是________． 【解析】設(shè)拋物線焦點(diǎn)為F，過A、B、O作準(zhǔn)線的垂線AA1、BB1、OO1，則|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由拋物線定義得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故F點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓(去掉長(zhǎng)軸兩端點(diǎn))． 【答案】＋＝1(y≠0) 6．如圖，點(diǎn)F(a，0)(a>0)，點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，M在x軸上運(yùn)動(dòng)，N為動(dòng)點(diǎn)，且·＝0，＋＝0，則點(diǎn)N的軌跡方程為________． 【解析】由題意，知P

23、M⊥PF且P為線段MN的中點(diǎn)，連接FN，延長(zhǎng)FP至點(diǎn)Q使P恰為QF之中點(diǎn)；連接QM，QN，則四邊形FNQM為菱形，且點(diǎn)Q恒在直線l：x＝－a上，故點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為：y2＝4ax. 【答案】y2＝4ax 7．已知點(diǎn)P(2，2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)求M的軌跡方程； (2)當(dāng)|OP|＝|OM|時(shí)，求l的方程． 【解析】(1)圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16， 所以圓心為C(0，4)，半徑為4. 設(shè)M(x，y)，則＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)

24、． 由題設(shè)知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2. (2)由(1)可知M的軌跡是以點(diǎn)N(1，3)為圓心，為半徑的圓． 由于|OP|＝|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ON⊥PM. 因?yàn)镺N的斜率為3，所以l的斜率為－，故l的方程為x＋3y－8＝0. 8．如圖，動(dòng)圓C1：x2＋y2＝t2，1

25、橢圓C2：＋y2＝1，知A1(－3，0)，A2(3，0)． 設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)，由曲線的對(duì)稱性， 得B(x0，－y0)， 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)， 直線AA1的方程為y＝(x＋3)．① 直線A2B的方程為y＝(x－3)．② 由①②得y2＝(x2－9)．③ 又點(diǎn)A(x0，y0)在橢圓C2上，故y＝1－.④ 將④代入③得－y2＝1(x<－3，y<0)． 因此點(diǎn)M的軌跡方程為－y2＝1(x<－3，y<0)． B組題 1．已知二面角α－l－β的平面角為θ，點(diǎn)P在二面角內(nèi)，PA⊥α，PB⊥β，A，B為垂足，且PA＝4，PB＝5，設(shè)A，B到棱l的距離分別為x，y，當(dāng)θ變化

26、時(shí)，點(diǎn)(x，y)的軌跡方程是(　　) A．x2－y2＝9(x≥0) B．x2－y2＝9(x≥0，y≥0) C．y2－x2＝9(y≥0) D．y2－x2＝9(x≥0，y≥0) 【解析】實(shí)際上就是求x，y所滿足的一個(gè)等式，設(shè)平面PAB與二面角的棱的交點(diǎn)是C，則AC＝x，BC＝y(tǒng)，在兩個(gè)直角三角形Rt△PAC，Rt△PBC中其斜邊相等，根據(jù)勾股定理即可得到x，y所滿足的關(guān)系式．如圖，x2＋42＝y(tǒng)2＋52，即x2－y2＝9(x≥0，y≥0)． 【答案】B 2．如圖，已知橢圓＋＝1的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，C為圓x2＋y2＝4上非x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，線段CA，CB與橢圓分別交于點(diǎn)D，E，

27、線段EA與DB相交于點(diǎn)F. (1)當(dāng)點(diǎn)C在y軸的正半軸上時(shí)，求△ADF與△BEF的面積和； (2)求證：直線AF與BF的斜率之積為定值，并求點(diǎn)F的軌跡方程． 【解析】(1)當(dāng)C在y軸上時(shí)，C(0，2)，直線AC的方程為y＝x＋2， 由消去x得3y2－4y＝0，得D， 同理得E， ∴直線BD的方程：y＝(x－2)，∴F(0，1)， ∴S△ADF＝S△ABD－S△ABF＝·4·－·4·1＝， 由對(duì)稱性知：∴S△ADF＋S△BEF＝2S△ADF＝. (2)設(shè)D(x1，y1)，E(x2，y2)，F(xiàn)(x，y)，＋＝1?y＝， ∴kADkBD＝·＝＝－， 同理∴kEAkEB＝－，

28、 而kACkBC＝－1，∴kFAkFB＝＝－為定值． 即·＝－?＋y2＝1. 點(diǎn)F的軌跡方程為＋y2＝1(y≠0)． 3．已知常數(shù)m>0，向量a＝(0，1)，b＝(m，0)，經(jīng)過點(diǎn)A(m，0)，以λa＋b為方向向量的直線與經(jīng)過點(diǎn)B(－m，0)，以λb－4a為方向向量的直線交于點(diǎn)P，其中λ∈R. (1)求點(diǎn)P的軌跡方程，并指出軌跡E. (2)若點(diǎn)C(1，0)，當(dāng)m＝2時(shí)，M為軌跡E上任意一點(diǎn)，求|MC|的最小值． 【解析】(1)由題意得λa＋b＝(m，λ)， ∴直線AP的方程為y＝－(x－m)，① 又λb－4a＝(λm，－4)， ∴直線BP的方程為y＝(x＋m)，② 由①，

29、②消去參數(shù)λ，得y2＝－(x2－m2)， 整理得＋＝1， 故點(diǎn)P的軌跡方程為＋＝1(m>0)． 當(dāng)m＝2時(shí)，軌跡E是以(0，0)為圓心、半徑為2的圓； 當(dāng)m>2時(shí)，軌跡E是以(±，0)為焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2m的橢圓； 當(dāng)0

30、不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E. (1)證明＋為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程； (2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍． 【解析】(1)因?yàn)閨AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC， 所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|. 又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋y2＝16，從而|AD|＝4， 所以|EA|＋|EB|＝4. 由題設(shè)得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為＋＝1(

31、y≠0)． (2)當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0. 則x1＋x2＝，x1x2＝. 所以|MN|＝|x1－x2|＝. 過點(diǎn)B(1，0)且與l垂直的直線m：y＝－(x－1)，A到m的距離為， 所以|PQ|＝2＝4. 故四邊形MPNQ的面積 S＝|MN||PQ|＝12. 可得當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，四邊形MPNQ面積的取值范圍是[12，8)． 當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，其方程為x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四邊形MPNQ的面積為12. 綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍是[12，8)． 16