《廣西2020版高考數(shù)學一輪復習 考點規(guī)范練26 平面向量的數(shù)量積與平面向量的應用 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《廣西2020版高考數(shù)學一輪復習 考點規(guī)范練26 平面向量的數(shù)量積與平面向量的應用 文（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、考點規(guī)范練26 平面向量的數(shù)量積與平面向量的應用
一、基礎鞏固
1.對任意平面向量a,b,下列關系式中不恒成立的是( )
A.|a·b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b||
C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(a-b)=a2-b2
答案B
解析A項,設向量a與b的夾角為θ,
則a·b=|a||b|cosθ≤|a||b|,所以不等式恒成立;
B項,當a與b同向時,|a-b|=||a|-|b||;當a與b非零且反向時,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;
C項,(a+b)2=|a
2、+b|2恒成立;
D項,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,
故等式恒成立.
綜上,選B.
2.已知a,b為單位向量,其夾角為60°,則(2a-b)·b=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案B
解析由已知得|a|=|b|=1,a與b的夾角θ=60°,
則(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cosθ-|b|2
=2×1×1×cos60°-12=0,故選B.
3.已知向量a=(1,2),b=(m,-4),若|a||b|+a·b=0,則實數(shù)m等于( )
A.-4 B.4 C.-2 D.2
答案C
解析設a,b的夾角為θ,
3、
∵|a||b|+a·b=0,∴|a||b|+|a||b|cosθ=0,
∴cosθ=-1,即a,b的方向相反.
又向量a=(1,2),b=(m,-4),
∴b=-2a,∴m=-2.
4.若向量BA=(1,2),CA=(4,5),且CB·(λBA+CA)=0,則實數(shù)λ的值為( )
A.3 B.-92 C.-3 D.-53
答案C
解析∵BA=(1,2),CA=(4,5),
∴CB=CA+AB=CA-BA=(3,3),
λBA+CA=(λ+4,2λ+5).
又CB·(λBA+CA)=0,
∴3(λ+4)+3(2λ+5)=0,解得λ=-3.
5.在四邊形ABCD中,AC
4、=(1,2),BD=(-4,2),則該四邊形的面積為( )
A.5 B.25 C.5 D.10
答案C
解析依題意得,AC·BD=1×(-4)+2×2=0,∴AC⊥BD.
∴四邊形ABCD的面積為12|AC||BD|=12×5×20=5.
6.在△ABC中,邊AB上的高為CD,若CB=a,CA=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,則AD=( )
A.13a-13b B.23a-23b
C.35a-35b D.45a-45b
答案D
解析∵a·b=0,∴CA⊥CB.
∵|a|=1,|b|=2,∴AB=5.
又CD⊥AB,∴由射影定理,得AC2=AD·AB.
∴AD
5、=45=455.∴ADAB=4555=45.
∴AD=45AB=45(CB-CA)=45(a-b),故選D.
7.已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,則|2a-b|a·(a+b)等于( )
A.-53 B.1 C.2 D.54
答案B
解析∵a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,
∴a·b=2m-2=0,解得m=1,
∴a=(1,2),2a-b=(0,5),|2a-b|=5.
又a+b=(3,1),a·(a+b)=1×3+2×1=5,
∴|2a-b|a·(a+b)=55=1.
8.設m,n為非零向量,則“存在負數(shù)λ,使得m=λn”是“m·n<0”的(
6、 )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
答案A
解析m,n為非零向量,若存在λ<0,使m=λn,即兩向量反向,夾角是180°,則m·n=|m||n|cos180°=-|m||n|<0.反過來,若m·n<0,則兩向量的夾角為(90°,180°],并不一定反向,即不一定存在負數(shù)λ,使得m=λn,所以“存在負數(shù)λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分不必要條件.故選A.
9.已知A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),則向量AB在向量CD方向上的投影為( )
A.105 B.2105 C.3105 D.4105
7、答案B
解析由A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),得AB=(2,2),CD=(-1,3),AB·CD=2×(-1)+2×3=4,|CD|=1+9=10,則向量AB在向量CD方向上的投影為AB·CD|CD|=410=2105.
10.(2018江蘇蘇州調(diào)研)已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=5,若(a+b)·c=52,則a,c的夾角大小為 .?
答案120°
解析設a,c的夾角為θ.
∵a=(1,2),b=(-2,-4),∴b=-2a,
∴(a+b)·c=-a·c=52.∴a·c=-52.
∴cosθ=a·c|a||c|=-525×
8、5=-12.
∵0°≤θ≤180°,∴θ=120°.
11.已知|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9.
(1)求向量a與b的夾角θ;
(2)求|a+b|及向量a在a+b方向上的投影.
解(1)因為|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9,
所以4a2-3b2-4a·b=9,即16-8cosθ-3=9.
所以cosθ=12.
因為θ∈[0,π],所以θ=π3.
(2)由(1)可知a·b=|a||b|cosπ3=1,
所以|a+b|=a2+b2+2a·b=7,
a·(a+b)=a2+a·b=5.
所以向量a在a+b方向上的投影為a·(a+
9、b)|a+b|=57=577.
二、能力提升
12.已知非零向量m,n滿足4|m|=3|n|,向量m與n的夾角為θ,且cos θ=13.若n⊥(tm+n),則實數(shù)t的值為( )
A.4 B.-4 C.94 D.-94
答案B
解析由4|m|=3|n|,可設|m|=3k,|n|=4k(k>0),
因為n⊥(tm+n),所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m|·|n|cosθ+|n|2=t×3k×4k×13+(4k)2=4tk2+16k2=0.
所以t=-4,故選B.
13.在矩形ABCD中,AB=1,AD=3,P為矩形內(nèi)一點,且AP=32.若AP=λAB+μAD(λ,μ
10、∈R),則λ+3μ的最大值為( )
A.32 B.62 C.3+34 D.6+324
答案B
解析因為AP=λAB+μAD,
所以|AP|2=|λAB+μAD|2.
所以322=λ2|AB|2+μ2|AD|2+2λμAB·AD.
因為AB=1,AD=3,AB⊥AD,所以34=λ2+3μ2.
又34=λ2+3μ2≥23λμ,
所以(λ+3μ)2=34+23λμ≤34+34=32.
所以λ+3μ的最大值為62,當且僅當λ=64,μ=24時等號成立.
14.已知AB⊥AC,|AB|=1t,|AC|=t.若點P是△ABC所在平面內(nèi)的一點,且AP=AB|AB|+4AC|AC|,則P
11、B·PC的最大值等于( )
A.13 B.15 C.19 D.21
答案A
解析以點A為原點,AB,AC所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系,如圖,則A(0,0),B1t,0,C(0,t),
∴AB|AB|=(1,0),AC|AC|=(0,1),
∴AP=AB|AB|+4AC|AC|=(1,0)+4(0,1)=(1,4),
∴點P的坐標為(1,4),
PB=1t-1,-4,PC=(-1,t-4),
∴PB·PC=1-1t-4t+16
=-1t+4t+17≤-4+17=13.
當且僅當1t=4t,即t=12時等號成立,
∴PB·PC的最大值為13.
15.
12、
如圖,在平面四邊形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若點E為邊CD上的動點,則AE·BE的最小值為( )
A.2116 B.32
C.2516 D.3
答案A
解析如圖,取AB的中點F,連接EF.
AE·BE=(AE+BE)2-(AE-BE)24
=(2FE)2-AB24=|FE|2-14.
當EF⊥CD時,|EF|最小,即AE·BE取最小值.
過點A作AH⊥EF于點H,由AD⊥CD,EF⊥CD,可得EH=AD=1,∠DAH=90°.
因為∠DAB=120°,所以∠HAF=30°.
在Rt△AFH中,易知AF=12,HF=14
13、,
所以EF=EH+HF=1+14=54.
所以(AE·BE)min=542-14=2116.
16.
如圖,在?ABCD中,已知AB=8,AD=5,CP=3PD,AP·BP=2,則AB·AD的值是 .?
答案22
解析∵CP=3PD,∴AP=AD+14AB,BP=AD-34AB.
又AB=8,AD=5,
∴AP·BP=AD+14AB·AD-34AB
=|AD|2-12AB·AD-316|AB|2
=25-12AB·AD-12=2.
∴AB·AD=22.
三、高考預測
17.已知兩個平面向量a,b滿足|a|=1,|a-2b|=21,且a與b的夾角為120°,則|b|= .?
答案2
解析∵向量a,b滿足|a|=1,|a-2b|=21,且a與b的夾角為120°,
∴(a-2b)2=a2-4a·b+4b2=1-4×1×|b|cos120°+4|b|2=21,
化簡得2|b|2+|b|-10=0,解得|b|=2(負值舍去).
8
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