（新課改省份專用）2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時跟蹤檢測（三十八）空間幾何體及表面積與體積（含解析）

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1、課時跟蹤檢測（三十八） 空間幾何體及表面積與體積 [A級　保分題——準(zhǔn)做快做達(dá)標(biāo)] 1.關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，下列說法中不正確的是(　　) A．棱柱的側(cè)棱長都相等 B．棱錐的側(cè)棱長都相等 C．三棱臺的上、下底面是相似三角形 D．有的棱臺的側(cè)棱長都相等 解析：選B　根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征知，棱錐的側(cè)棱長不一定都相等． 2．一個球的表面積為16π，那么這個球的體積為(　　) A.π　　　　　　 B.π C．16π D．24π 解析：選B　設(shè)球的半徑為R，則由4πR2＝16π，解得R＝2，所以這個球的體積為πR3＝π. 3．如圖所示，等腰△A′B′C′是△ABC的直觀圖，那

2、么△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形 解析：選B　由題圖知A′C′∥y′軸，A′B′∥x′軸，由斜二測畫法知，在△ABC中，AC∥y軸，AB∥x軸，∴AC⊥AB.又因為A′C′＝A′B′，∴AC＝2AB≠AB，∴△ABC是直角三角形． 4．下列說法中正確的是(　　) A．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐 B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐 C．棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是六棱錐 D．圓錐的頂點與底面圓周上的任一點的連線都是母線 解析：選D　當(dāng)一個幾何體由

3、具有相同的底面且頂點在底面兩側(cè)的兩個三棱錐構(gòu)成時，盡管各面都是三角形，但它不是三棱錐，故A錯誤；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊所在直線，所得幾何體就不是圓錐，故B錯誤；若六棱錐的所有棱都相等，則底面多邊形是正六邊形，由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，則棱長必然要大于底面邊長，故C錯誤．選D. 5．(2018·全國卷Ⅰ)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長方體的體積為(　　) A．8 B．6 C．8 D．8 解析：選C　如圖，連接AC1，BC1，AC.∵AB⊥平面BB1C1C，∴∠AC1B為直線AC

4、1與平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝＝4.在Rt△ACC1中，CC1＝＝＝2，∴V長方體＝AB×BC×CC1＝2×2×2＝8. 6．下列幾何體是棱臺的是________(填序號)． 解析：①③都不是由棱錐截成的，不符合棱臺的定義，故①③不滿足題意．②中的截面不平行于底面，不符合棱臺的定義，故②不滿足題意．④符合棱臺的定義，故填④. 答案：④ [B級　難度題——適情自主選做] 1.用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個正方形，則原來的圖形是(　　) 解析：選A　由直觀圖可知，在直觀圖中

5、多邊形為正方形，對角線長為，所以原圖形為平行四邊形，位于y軸上的對角線長為2. 2．平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為(　　) A.π B．4π C．4π D．6π 解析：選B　設(shè)球的半徑為R，由球的截面性質(zhì)得R＝＝，所以球的體積V＝πR3＝4π. 3．若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為l的扇形，則這個圓錐的表面積與側(cè)面積的比為(　　) A．3∶2 B．2∶1 C．4∶3 D．5∶3 解析：選C　底面半徑r＝l＝l，故圓錐的S側(cè)＝πl(wèi)2，S表＝πl(wèi)2＋π2＝πl(wèi)2，所以表面積與側(cè)面積的比為4∶3. 4．(2018·全國卷Ⅰ)已知圓柱的

6、上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為(　　) A．12π B．12π C．8π D．10π 解析：選B　設(shè)圓柱的軸截面的邊長為x，則x2＝8，得x＝2，∴S圓柱表＝2S底＋S側(cè)＝2×π×()2＋2π××2＝12π.故選B. 5．已知正四棱錐的頂點都在同一球面上．若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為(　　) A. B．16π C．9π D. 解析：選A　如圖，設(shè)球心為O，半徑為r，則在Rt△AOF中，(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝，所以該球的表面積為4πr2＝4π×2＝. 6．(2018·

7、全國卷Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D-ABC體積的最大值為(　　) A．12 B．18 C．24 D．54 解析：選B　由等邊△ABC的面積為9，可得AB2＝9，所以AB＝6，所以等邊△ABC的外接圓的半徑為r＝AB＝2.設(shè)球的半徑為R，球心到等邊△ABC的外接圓圓心的距離為d，則d＝＝＝2.所以三棱錐D-ABC高的最大值為2＋4＝6，所以三棱錐D-ABC體積的最大值為×9×6＝18. 7．(2018·江蘇高考)如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為________． 解析：由題意知所給的

8、幾何體是棱長均為的八面體，它是由兩個有公共底面的正四棱錐組合而成的，正四棱錐的高為1，所以這個八面體的體積為2V正四棱錐＝2××()2×1＝. 答案： 8.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，六根等長的正四棱柱分成三組，經(jīng)90°榫卯起來．若正四棱柱的高為5，底面正方形的邊長為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為________．(容器壁的厚度忽略不計，結(jié)果保留π) 解析：該球形容器最小時，兩個正四棱柱組成的四棱柱與球內(nèi)接，此時球的直徑2R等于四棱柱的體對角線，即2R＝＝，故球

9、形容器的表面積為4πR2＝30π. 答案：30π 9．(2018·全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°，若△SAB的面積為5，則該圓錐的側(cè)面積為________． 解析：如圖，∵SA與底面成45°角，∴△SAO為等腰直角三角形． 設(shè)OA＝r，則SO＝r，SA＝SB＝r. 在△SAB中，cos∠ASB＝， ∴sin∠ASB＝， ∴S△SAB＝SA·SB·sin∠ASB＝×(r)2×＝5，解得r＝2， ∴SA＝r＝4，即母線長l＝4， ∴S圓錐側(cè)＝πrl＝π×2×4＝40π. 答案：40π [C級　難度題——適情自主選

10、做] 1.如圖，一個圓錐的底面半徑為2，高為4，在其中有一個高為x的內(nèi)接圓柱． (1)求圓柱的側(cè)面積； (2)當(dāng)x為何值時，圓柱的側(cè)面積最大？ 解：(1)如圖，設(shè)內(nèi)接圓柱底面半徑為r.S圓柱側(cè)＝2πr·x.① ∵＝，∴r＝(4－x)．② ②代入①，S圓柱側(cè)＝2πx·(4－x)＝π(－x2＋4x)(0

11、弓形的柱體包裝盒(如圖乙所示，重疊部分忽略不計)，其中OEMF是以O(shè)為圓心、∠EOF＝120°為圓心角的扇形，且弧，分別與邊BC，AD相切于點M，N. (1)當(dāng)BE的長為1分米時，求折成的包裝盒的容積； (2)當(dāng)BE的長是多少分米時，折成的包裝盒的容積最大？ 解：(1)在題圖甲中，連接MO交EF于點T.設(shè)OE＝OF＝OM＝R分米， 在Rt△OET中，因為∠EOT＝∠EOF＝60°， 所以O(shè)T＝，則MT＝OM－OT＝. 從而BE＝MT＝，即R＝2BE＝2. 故所得柱體的底面積S＝S扇形OEF－S△OEF ＝πR2－R2sin 120°＝平方分米． 又柱體的高EG＝4分米

12、， 所以V＝S·EG＝立方分米． 故當(dāng)BE長為1分米時，折成的包裝盒的容積為立方分米． (2)設(shè)BE＝x分米，則R＝2x分米， 所以所得柱體的底面積 S＝S扇形OEF－S△OEF＝πR2－R2sin 120°＝x2平方分米． 又柱體的高EG＝(6－2x)分米， 所以V＝S·EG＝(－x3＋3x2)，其中0＜x＜3. 令f(x)＝－x3＋3x2，x∈(0,3)， 則由f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)＝0，解得x＝2. 當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下： x (0,2) 2 (2,3) f′(x) ＋ 0 － f(x)  極大值  所以當(dāng)x＝2時，f(x)取得極大值，也是最大值． 故當(dāng)BE的長為2分米時，折成的包裝盒的容積最大． 7