九年級數學上學期期末試卷（含解析） 新人教版2 (3)

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2015-2016學年浙江省寧波市鄞州區(qū)九年級（上）期末數學試卷 一、選擇題：每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中只有一個選項符合題意． 1．計算：cos245+sin245=（　?。? A． B．1 C． D． 2．已知⊙O的半徑為5，若PO=4，則點P與⊙O的位置關系是（　?。? A．點P在⊙O內 B．點P在⊙O上 C．點P在⊙O外 D．無法判斷 3．一枚質地均勻的骰子，骰子的六個面上分別刻有1到6的點數，投擲這樣的骰子一次，向上一面點數是偶數的結果有（　?。? A．1種 B．2種 C．3種 D．6種 4．如圖，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，則下列結論中不正確的是（　　） A．AD=AE B．DB=EC C．∠ADE=∠C D．DE=BC 5．如圖，在半徑為5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于點C，則OC的值為（　?。? A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 6．設二次函數y=（x﹣3）2﹣4圖象的對稱軸為直線l，若點M在直線l上，則點M的坐標可能是（　　） A．（1，0） B．（3，0） C．（﹣3，0） D．（0，﹣4） 7．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是邊AD的中點，EC交對角線BD于點F，則EF：FC等于（　?。? A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2 8．如圖，P是∠α的邊OA上一點，點P的坐標為（12，5），則tanα等于（　?。? A． B． C． D． 9．如圖，在⊙O中，弦AC∥半徑OB，∠BOC=50，則∠OAB的度數為（　?。? A．25 B．50 C．60 D．30 10．如圖，AB為半圓O在直徑，AD、BC分別切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，連接OD、OC，下列結論：①∠DOC=90，②AD+BC=CD，③S△AOD：S△BOC=AD2：AO2，④OD：OC=DE：EC，⑤OD2=DE?CD，正確的有（　?。? A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 11．將正方形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉30，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于點E，AB=，則四邊形AB1ED的內切圓半徑為（　?。? A． B． C． D． 12．設二次函數y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的圖象與一次函數y2=dx+e（d≠0）的圖象交于點（x1，0），若函數y=y1+y2的圖象與x軸僅有一個交點，則（　?。? A．a（x1﹣x2）=d B．a（x2﹣x1）=d C．a（x1﹣x2）2=d D．a（x1+x2）2=d 　 二、填空題：每題4分，共24分． 13．若x：y=1：2，則=______． 14．一個圓錐的底面周長為2π米，母線長為2米，則該圓錐的高是______米（結果保留根號）． 15．如圖，已知C，D是以AB為直徑的半圓周上的兩點，O是圓心，半徑OA=2，∠COD=120，則圖中陰影部分的面積等于______． 16．如圖，在網格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則∠ABC的正切值是______． 17．如圖，如果邊長為1的等邊△PQR沿著邊長為1的正方形ABCD的外部的邊如圖位置開始順時針連續(xù)滾動，當它滾動4次時，點P所經過的路程是______． 18．如圖，在圓心角為90的扇形OAB中，半徑OA=2cm，C為的中點，D、E分別是OA、OB的中點，則圖中陰影部分的面積為______cm2． 　 三、解答題：共78分． 19．計算：2sin245+（）0﹣|﹣1| 20．如圖，平臺AB高為12m，在B處測得樓房CD頂部點D的仰角為45，底部點C的俯角為30，求樓房CD的高度（=1.7）． 21．有甲、乙兩個不透明的布袋，甲袋中裝有3個完全相同的小球，分別標有數字0，1，2；乙袋中裝有3個完全相同的小球，分別標有數字﹣1，﹣2，0．現從甲袋中隨機抽取一個小球，記錄標有的數字為x，再從乙袋中隨機抽取一個小球，記錄標有數字為y，確定點M坐標為（x，y）． （1）用樹狀圖或列表法列舉點M所有可能的坐標． （2）求點M（x，y）在函數y=﹣x2﹣1的圖象上的概率． 22．如圖，△ABC是等邊三角形，D、E在BC邊所在的直線上，且BC2=BD?CE． （1）求∠DAE的度數． （2）求證：AD2=DB?DE． 23．九年級數學興趣小組經過市場調查，得到某種運動服每月的銷量與售價的相關信息如下表： 售價（元/件） 100 110 120 130 … 月銷量（件） 200 180 160 140 … 已知該運動服的進價為每件60元，設售價為x元． （1）請用含x的式子表示：①銷售該運動服每件的利潤是 （______）元；②月銷量是 （______）件；（直接寫出結果） （2）設銷售該運動服的月利潤為y元，那么售價為多少時，當月的利潤最大，最大利潤是多少？ 24．如圖，CE是⊙O的直徑，BD切⊙O于點D，DE∥BO，CE的延長線交BD于點A． （1）求證：直線BC是⊙O的切線； （2）若AE=2，tan∠DEO=，求AO的長． 25．閱讀理解： 如圖1，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與點A、點B重合），分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強相似點． 解決問題： （1）如圖1，∠A=∠B=∠DEC=55，試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由； （2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點均在正方形網格（網格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個強相似點E； 拓展探究： （3）如圖3，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處．若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，試探究AB和BC的數量關系． 26．如圖，⊙E的圓心E（3，0），半徑為5，⊙E與y軸相交于A、B兩點（點A在點B的上方），與x軸的正半軸交于點C，直線l的解析式為y=x+4，與x軸相交于點D，以點C為頂點的拋物線過點B． （1）求拋物線的解析式； （2）判斷直線l與⊙E的位置關系，并說明理由； （3）動點P在拋物線上，當點P到直線l的距離最小時．求出點P的坐標及最小距離． 　  2015-2016學年浙江省寧波市鄞州區(qū)九年級（上）期末數學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中只有一個選項符合題意． 1．計算：cos245+sin245=（　　） A． B．1 C． D． 【考點】特殊角的三角函數值． 【分析】首先根據cos45=sin45=，分別求出cos245、sin245的值是多少；然后把它們求和，求出cos245+sin245的值是多少即可． 【解答】解：∵cos45=sin45=， ∴cos245+sin245 = = =1． 故選：B． 　 2．已知⊙O的半徑為5，若PO=4，則點P與⊙O的位置關系是（　　） A．點P在⊙O內 B．點P在⊙O上 C．點P在⊙O外 D．無法判斷 【考點】點與圓的位置關系． 【分析】已知圓O的半徑為r，點P到圓心O的距離是d，①當r＞d時，點P在⊙O內，②當r=d時，點P在⊙O上，③當r＜d時，點P在⊙O外，根據以上內容判斷即可． 【解答】解：∵⊙O的半徑為5，若PO=4， ∴4＜5， ∴點P與⊙O的位置關系是點P在⊙0內， 故選A． 　 3．一枚質地均勻的骰子，骰子的六個面上分別刻有1到6的點數，投擲這樣的骰子一次，向上一面點數是偶數的結果有（　?。? A．1種 B．2種 C．3種 D．6種 【考點】專題：正方體相對兩個面上的文字． 【分析】由一枚質地均勻的正方體骰子的六個面上分別刻有1到6的點數，擲一次這枚骰子，向上的一面的點數為偶數的有3種情況． 【解答】解：一枚質地均勻的正方體骰子的六個面上分別刻有1到6的點數，擲一次這枚骰子，向上的一面的點數為偶數的有3種情況， 故選：C． 　 4．如圖，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，則下列結論中不正確的是（　?。? A．AD=AE B．DB=EC C．∠ADE=∠C D．DE=BC 【考點】等腰三角形的判定與性質；平行線的性質． 【分析】由DE與BC平行，得到三角形ADE與三角形ABC相似，由相似得比例，根據AB=AC，得到AD=AE，進而確定出DB=EC，再由兩直線平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代換得到∠ADE=∠C，而DE不一定為中位線，即DE不一定為BC的一半，即可得到正確選項． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴=，∠ADE=∠B， ∵AB=AC， ∴AD=AE，DB=EC，∠B=∠C， ∴∠ADE=∠C， 而DE不一定等于BC， 故選D． 　 5．如圖，在半徑為5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于點C，則OC的值為（　?。? A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 【考點】垂徑定理；勾股定理． 【分析】連接OA，先根據垂徑定理求出AC的長，再由勾股定理求出OC的長即可． 【解答】解：連接OA， ∵弦AB=6cm，OC⊥AB于點C， ∴AC=AB=3cm． ∵OA=5cm， ∴OC===4cm． 故選C． 　 6．設二次函數y=（x﹣3）2﹣4圖象的對稱軸為直線l，若點M在直線l上，則點M的坐標可能是（　?。? A．（1，0） B．（3，0） C．（﹣3，0） D．（0，﹣4） 【考點】二次函數的性質． 【分析】根據二次函數的解析式可得出直線l的方程為x=3，點M在直線l上則點M的橫坐標一定為3，從而選出答案． 【解答】解：∵二次函數y=（x﹣3）2﹣4圖象的對稱軸為直線x=3， ∴直線l上所有點的橫坐標都是3， ∵點M在直線l上， ∴點M的橫坐標為3， 故選B． 　 7．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是邊AD的中點，EC交對角線BD于點F，則EF：FC等于（　?。? A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2 【考點】相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質． 【分析】根據題意得出△DEF∽△BCF，進而得出=，利用點E是邊AD的中點得出答案即可． 【解答】解：∵?ABCD，故AD∥BC， ∴△DEF∽△BCF， ∴=， ∵點E是邊AD的中點， ∴AE=DE=AD， ∴=． 故選：D． 　 8．如圖，P是∠α的邊OA上一點，點P的坐標為（12，5），則tanα等于（　?。? A． B． C． D． 【考點】銳角三角函數的定義；坐標與圖形性質． 【分析】過P作PE⊥x軸于E，根據P（12，5）得出PE=5，OE=12，根據銳角三角函數定義得出tanα=，代入求出即可． 【解答】 解：過P作PE⊥x軸于E， ∵P（12，5）， ∴PE=5，OE=12， ∴tanα==， 故選C． 　 9．如圖，在⊙O中，弦AC∥半徑OB，∠BOC=50，則∠OAB的度數為（　?。? A．25 B．50 C．60 D．30 【考點】圓周角定理；平行線的性質． 【分析】由圓周角定理求得∠BAC=25，由AC∥OB，∠BAC=∠B=25，由等邊對等角得出∠OAB=∠B=25，即可求得答案． 【解答】解：∵∠BOC=2∠BAC，∠BOC=50， ∴∠BAC=25， ∵AC∥OB， ∴∠BAC=∠B=25， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠B=25， 故選：A． 　 10．如圖，AB為半圓O在直徑，AD、BC分別切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，連接OD、OC，下列結論：①∠DOC=90，②AD+BC=CD，③S△AOD：S△BOC=AD2：AO2，④OD：OC=DE：EC，⑤OD2=DE?CD，正確的有（　?。? A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 【考點】切線的性質；切線長定理；相似三角形的判定與性質． 【分析】連接OE，由AD，DC，BC都為圓的切線，根據切線的性質得到三個角為直角，且利用切線長定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代換可得出CD=AD+BC，選項②正確；由AD=ED，OD為公共邊，利用HL可得出直角三角形ADO與直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而這四個角之和為平角，可得出∠DOC為直角，選項①正確；由∠DOC與∠DEO都為直角，再由一對公共角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似，可得出三角形DEO與三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DE?CD，選項⑤正確；由△AOD∽△BOC，可得===，選項③正確；由△ODE∽△OEC，可得，選項④錯誤． 【解答】解：連接OE，如圖所示： ∵AD與圓O相切，DC與圓O相切，BC與圓O相切， ∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90， ∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC， ∴CD=DE+EC=AD+BC，選項②正確； 在Rt△ADO和Rt△EDO中，， ∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL）， ∴∠AOD=∠EOD， 同理Rt△CEO≌Rt△CBO， ∴∠EOC=∠BOC， 又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180， ∴2（∠DOE+∠EOC）=180，即∠DOC=90，選項①正確； ∴∠DOC=∠DEO=90，又∠EDO=∠ODC， ∴△EDO∽△ODC， ∴=，即OD2=DC?DE，選項⑤正確； ∵∠AOD+∠COB=∠AOD+∠ADO=90， ∠A=∠B=90， ∴△AOD∽△BOC， ∴===，選項③正確； 同理△ODE∽△OEC， ∴，選項④錯誤； 故選C． 　 11．將正方形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉30，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于點E，AB=，則四邊形AB1ED的內切圓半徑為（　　） A． B． C． D． 【考點】三角形的內切圓與內心；正方形的性質；旋轉的性質． 【分析】作∠DAF與∠AB1G的角平分線交于點O，則O即為該圓的圓心，過O作OF⊥AB1，AB=，再根據直角三角形的性質便可求出OF的長，即該四邊形內切圓的圓心． 【解答】解：作∠DAF與∠AB1G的角平分線交于點O，過O作OF⊥AB1， 則∠OAF=30，∠AB1O=45， 故B1F=OF=OA， 設B1F=x，則AF=﹣x， 故（﹣x）2+x2=（2x）2， 解得x=或x=（舍去）， ∴四邊形AB1ED的內切圓半徑為：． 故選：B． 　 12．設二次函數y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的圖象與一次函數y2=dx+e（d≠0）的圖象交于點（x1，0），若函數y=y1+y2的圖象與x軸僅有一個交點，則（　?。? A．a（x1﹣x2）=d B．a（x2﹣x1）=d C．a（x1﹣x2）2=d D．a（x1+x2）2=d 【考點】拋物線與x軸的交點． 【分析】首先根據一次函數y2=dx+e（d≠0）的圖象經過點（x1，0），可得y2=d（x﹣x1），y=y1+y2=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1；然后根據函數y=y1+y2的圖象與x軸僅有一個交點，可得函數y=y1+y2與x軸的交點為（x1，0），再結合對稱軸公式求解． 【解答】解：∵一次函數y2=dx+e（d≠0）的圖象經過點（x1，0）， ∴dx1+e=0， ∴y2=d（x﹣x1）， ∴y=y1+y2=a（x﹣x1）（x﹣x2）+d（x﹣x1） =ax2﹣axx2﹣ax1x+ax1x2+dx﹣dx1 =ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1 ∵當x=x1時，y1=0，y2=0， ∴當x=x1時，y=y1+y2=0， ∵y=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1與x軸僅有一個交點， ∴y=y1+y2的圖象與x軸的交點為（x1，0） ∴=x1， 化簡得：a（x2﹣x1）=d 故選：B． 　 二、填空題：每題4分，共24分． 13．若x：y=1：2，則=　?。? 【考點】比例的性質；分式的值． 【分析】根據題意，設x=k，y=2k．直接代入即可求得的值． 【解答】解：設x=k，y=2k， ∴==﹣． 　 14．一個圓錐的底面周長為2π米，母線長為2米，則該圓錐的高是　　米（結果保留根號）． 【考點】圓錐的計算． 【分析】首先根據地面周長求得圓錐的底面半徑，然后利用勾股定理求得圓錐的高即可． 【解答】解：設圓錐的底面半徑為r， 則2πr=2π， 解得：r=1， ∵母線長為2米， ∴圓錐的高為=米， 故答案為：． 　 15．如圖，已知C，D是以AB為直徑的半圓周上的兩點，O是圓心，半徑OA=2，∠COD=120，則圖中陰影部分的面積等于　π　． 【考點】扇形面積的計算． 【分析】圖中陰影部分的面積=半圓的面積﹣圓心角是120的扇形的面積，根據扇形面積的計算公式計算即可求解． 【解答】解：圖中陰影部分的面積=π22﹣ =2π﹣π =π． 答：圖中陰影部分的面積等于π． 故答案為：π． 　 16．如圖，在網格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則∠ABC的正切值是　?。? 【考點】銳角三角函數的定義；勾股定理；勾股定理的逆定理． 【分析】連接AC，根據網格特點和正方形的性質得到∠BAC=90，根據勾股定理求出AC、AB，根據正切的定義計算即可． 【解答】解：連接AC， 由網格特點和正方形的性質可知，∠BAC=90， 根據勾股定理得，AC=，AB=2， 則tan∠ABC==， 故答案為：． 　 17．如圖，如果邊長為1的等邊△PQR沿著邊長為1的正方形ABCD的外部的邊如圖位置開始順時針連續(xù)滾動，當它滾動4次時，點P所經過的路程是　π　． 【考點】旋轉的性質；弧長的計算． 【分析】由題意可知：等邊△PQR沿著邊長為1的正方形ABCD的外部的邊如圖位置開始順時針連續(xù)滾動第1次，點P的運動軌跡是以R為圓心、圓心角為210、PR為半徑的弧；第2次滾動，點P沒有移動；第3次滾動，點P的運動軌跡是以R為圓心、圓心角為210、PR為半徑的弧；第4次滾動，點P的運動軌跡是以R為圓心、圓心角為210、PR為半徑的弧；由此計算得出答案即可． 【解答】解：如圖， 點P的運動路程為是以R為圓心、圓心角為210、PR為半徑的弧長， 點P所經過的路程為：3=π． 故答案為：π． 　 18．如圖，在圓心角為90的扇形OAB中，半徑OA=2cm，C為的中點，D、E分別是OA、OB的中點，則圖中陰影部分的面積為?。é?﹣）　cm2． 【考點】扇形面積的計算． 【分析】連結OC，過C點作CF⊥OA于F，先根據空白圖形ACD的面積=扇形OAC的面積﹣三角形OCD的面積，求得空白圖形ACD的面積，再根據三角形面積公式得到三角形ODE的面積，再根據圖中陰影部分的面積=扇形OAB的面積﹣空白圖形ACD的面積﹣三角形ODE的面積，列式計算即可求解． 【解答】解：連結OC，過C點作CF⊥OA于F， ∵半徑OA=2cm，C為的中點，D、E分別是OA、OB的中點， ∴OD=OE=1cm，OC=2cm，∠AOC=45， ∴CF=， ∴空白圖形ACD的面積=扇形OAC的面積﹣三角形OCD的面積 =﹣ =π﹣（cm2） 三角形ODE的面積=ODOE=（cm2）， ∴圖中陰影部分的面積=扇形OAB的面積﹣空白圖形ACD的面積﹣三角形ODE的面積 =﹣（π﹣）﹣ =π+﹣（cm2）． 故圖中陰影部分的面積為（π+﹣）cm2． 故答案為：（π+﹣）． 　 三、解答題：共78分． 19．計算：2sin245+（）0﹣|﹣1| 【考點】實數的運算；零指數冪；特殊角的三角函數值． 【分析】原式利用特殊角的三角函數值，零指數冪法則，以及絕對值的代數意義化簡，計算即可得到結果． 【解答】解：原式=2+1﹣+1=3﹣． 　 20．如圖，平臺AB高為12m，在B處測得樓房CD頂部點D的仰角為45，底部點C的俯角為30，求樓房CD的高度（=1.7）． 【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題． 【分析】首先分析圖形，根據題意構造直角三角形．本題涉及多個直角三角形，應利用其公共邊構造關系式求解． 【解答】解：如圖，過點B作BE⊥CD于點E， 根據題意，∠DBE=45，∠CBE=30． ∵AB⊥AC，CD⊥AC， ∴四邊形ABEC為矩形． ∴CE=AB=12m． 在Rt△CBE中，cot∠CBE=， ∴BE=CE?cot30=12=12． 在Rt△BDE中，由∠DBE=45， 得DE=BE=12． ∴CD=CE+DE=12（+1）≈32.4． 答：樓房CD的高度約為32.4m． 　 21．有甲、乙兩個不透明的布袋，甲袋中裝有3個完全相同的小球，分別標有數字0，1，2；乙袋中裝有3個完全相同的小球，分別標有數字﹣1，﹣2，0．現從甲袋中隨機抽取一個小球，記錄標有的數字為x，再從乙袋中隨機抽取一個小球，記錄標有數字為y，確定點M坐標為（x，y）． （1）用樹狀圖或列表法列舉點M所有可能的坐標． （2）求點M（x，y）在函數y=﹣x2﹣1的圖象上的概率． 【考點】列表法與樹狀圖法；二次函數圖象上點的坐標特征． 【分析】（1）利用畫樹狀圖展示所有9種等可能的結果數； （2）根據二次函數圖象上點的坐標特征可判斷點（0，﹣1），（1，﹣2）在函數y=﹣x2﹣1的圖象上，然后根據概率公式求解． 【解答】解：（1）畫樹狀圖為： 共有9種等可能的結果數； （2）點M（x，y）在函數y=﹣x2﹣1的圖象上的結果數為2，它們是（0，﹣1），（1，﹣2）， 所以點M（x，y）在函數y=﹣x2﹣1的圖象上的概率=． 　 22．如圖，△ABC是等邊三角形，D、E在BC邊所在的直線上，且BC2=BD?CE． （1）求∠DAE的度數． （2）求證：AD2=DB?DE． 【考點】相似三角形的判定與性質；等邊三角形的性質． 【分析】（1）根據等邊三角形的性質得到∠ABC=∠ACB=60，利用等角的補角相等得到∠ABD=∠ACE，然后把題中已知的等式化為比例的形式，根據兩邊對應成比例，且夾角對應相等的兩三角形相似即可得證； （2）由于∠DAE=∠ADB=120，∠D=∠D，推出△ABD∽△EAD根據相似三角形的性質得到，即可得到結論． 【解答】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60，AB=AC=BC， ∴∠ABD=∠ACE， ∵BC2=BD?CE， ∴AB?AC=BD?CE， 即， ∴△ABD∽△ECA； ∴∠DAB=∠E， ∴∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠EAC=120； （2）∵∠DAE=∠ADB=120，∠D=∠D， ∴△ABD∽△EAD ∴， ∴AD2=DB?DE． 　 23．九年級數學興趣小組經過市場調查，得到某種運動服每月的銷量與售價的相關信息如下表： 售價（元/件） 100 110 120 130 … 月銷量（件） 200 180 160 140 … 已知該運動服的進價為每件60元，設售價為x元． （1）請用含x的式子表示：①銷售該運動服每件的利潤是 （　x﹣60?。┰?；②月銷量是 （　400﹣2x?。┘?；（直接寫出結果） （2）設銷售該運動服的月利潤為y元，那么售價為多少時，當月的利潤最大，最大利潤是多少？ 【考點】二次函數的應用． 【分析】（1）根據利潤=售價﹣進價求出利潤，運用待定系數法求出月銷量； （2）根據月利潤=每件的利潤月銷量列出函數關系式，根據二次函數的性質求出最大利潤． 【解答】解：（1）①銷售該運動服每件的利潤是（x﹣60）元； ②設月銷量W與x的關系式為w=kx+b， 由題意得，， 解得，， ∴W=﹣2x+400； （2）由題意得，y=（x﹣60）（﹣2x+400） =﹣2x2+520x﹣24000 =﹣2（x﹣130）2+9800， ∴售價為130元時，當月的利潤最大，最大利潤是9800元． 　 24．如圖，CE是⊙O的直徑，BD切⊙O于點D，DE∥BO，CE的延長線交BD于點A． （1）求證：直線BC是⊙O的切線； （2）若AE=2，tan∠DEO=，求AO的長． 【考點】切線的判定與性質． 【分析】（1）連接OD，由DE∥BO，得到∠1=∠4，∠2=∠3，通過△DOB≌△COB，得到∠OCB=∠ODB，問題得證； （2）根據三角函數tan∠DEO=tan∠2=，設；OC=r，BC=r，得到BD=BC=r，由切割線定理得到AD=2，再根據平行線分線段成比例得到比例式即可求得結果． 【解答】解：（1）連接OD， ∵DE∥BO， ∴∠1=∠4，∠2=∠3， ∵OD=OE， ∴∠3=∠4， ∴∠1=∠2， 在△DOB與△COB中， ， ∴△DOB≌△COB， ∴∠OCB=∠ODB， ∵BD切⊙O于點D， ∴∠ODB=90， ∴∠OCB=90， ∴AC⊥BC， ∴直線BC是⊙O的切線； （2）∵∠DEO=∠2， ∴tan∠DEO=tan∠2=， 設；OC=r，BC=r， 由（1）證得△DOB≌△COB， ∴BD=BC=r， 由切割線定理得：AD2=AE?AC=2（2+2r）， ∴AD=2， ∵DE∥BO， ∴， ∴， ∴r=1， ∴AO=3． 　 25．閱讀理解： 如圖1，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與點A、點B重合），分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強相似點． 解決問題： （1）如圖1，∠A=∠B=∠DEC=55，試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由； （2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點均在正方形網格（網格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個強相似點E； 拓展探究： （3）如圖3，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處．若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，試探究AB和BC的數量關系． 【考點】相似形綜合題． 【分析】（1）要證明點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC，所以問題得解． （2）根據兩個直角三角形相似得到強相似點的兩種情況即可． （3）因為點E是梯形ABCD的AB邊上的一個強相似點，所以就有相似三角形出現，根據相似三角形的對應線段成比例，可以判斷出AE和BE的數量關系，從而可求出解． 【解答】解：（1）點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點． 理由：∵∠A=55， ∴∠ADE+∠DEA=125． ∵∠DEC=55， ∴∠BEC+∠DEA=125． ∴∠ADE=∠BEC． ∵∠A=∠B， ∴△ADE∽△BEC． ∴點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點． （2）作圖如下： （3）∵點E是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點， ∴△AEM∽△BCE∽△ECM， ∴∠BCE=∠ECM=∠AEM． 由折疊可知：△ECM≌△DCM， ∴∠ECM=∠DCM，CE=CD， ∴∠BCE=∠BCD=30， ∴BE=CE=AB． 在Rt△BCE中，tan∠BCE==tan30， ∴， ∴． 　 26．如圖，⊙E的圓心E（3，0），半徑為5，⊙E與y軸相交于A、B兩點（點A在點B的上方），與x軸的正半軸交于點C，直線l的解析式為y=x+4，與x軸相交于點D，以點C為頂點的拋物線過點B． （1）求拋物線的解析式； （2）判斷直線l與⊙E的位置關系，并說明理由； （3）動點P在拋物線上，當點P到直線l的距離最小時．求出點P的坐標及最小距離． 【考點】二次函數綜合題． 【分析】（1）連接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，利用勾股定理求出OA的長，結合垂徑定理求出OC的長，從而得到C點坐標，進而得到拋物線的解析式； （2）求出點D的坐標為（﹣，0），根據△AOE∽△DOA，求出∠DAE=90，判斷出直線l與⊙E相切與A． （3）過點P作直線l的垂線段PQ，垂足為Q，過點P作直線PM垂直于x軸，交直線l于點M．設M（m， m+4），P（m，﹣m2+m﹣4），得到PM=m+4﹣（﹣m2+m﹣4）=m2﹣m+8=（m﹣2）2+，根據△PQM的三個內角固定不變，得到PQ最小=PM最小?sin∠QMP=PM最小?sin∠AEO==，從而得到最小距離． 【解答】解：（1）如圖1，連接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3， 在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA===4， ∵OC⊥AB， ∴由垂徑定理得，OB=OA=4， OC=OE+CE=3+5=8， ∴A（0，4），B（0，﹣4），C（8，0）， ∵拋物線的頂點為C， ∴設拋物線的解析式為y=a（x﹣8）2， 將點B的坐標代入上解析的式，得64a=﹣4，故a=﹣， ∴y=﹣（x﹣8）2， ∴y=﹣x2+x﹣4為所求拋物線的解析式， （2）在直線l的解析式y(tǒng)=x+4中，令y=0，得x+4=0，解得x=﹣， ∴點D的坐標為（﹣，0）， 當x=0時，y=4， ∴點A在直線l上， 在Rt△AOE和Rt△DOA中， ∵=， =， ∴=， ∵∠AOE=∠DOA=90， ∴△AOE∽△DOA， ∴∠AEO=∠DAO， ∵∠AEO+∠EAO=90， ∴∠DAO+∠EAO=90，即∠DAE=90，因此，直線l與⊙E相切與A． （3）如圖2，過點P作直線l的垂線段PQ，垂足為Q，過點P作直線PM垂直于x軸，交直線l于點M． 設M（m， m+4），P（m，﹣m2+m﹣4），則 PM=m+4﹣（﹣m2+m﹣4）=m2﹣m+8=（m﹣2）2+， 當m=2時，PM取得最小值， 此時，P（2，﹣）， 對于△PQM， ∵PM⊥x軸， ∴∠QMP=∠DAO=∠AEO， 又∠PQM=90， ∴△PQM的三個內角固定不變， ∴在動點P運動的過程中，△PQM的三邊的比例關系不變， ∴當PM取得最小值時，PQ也取得最小值， PQ最小=PM最小?sin∠QMP=PM最小?sin∠AEO==， ∴當拋物線上的動點P的坐標為（2，﹣）時，點P到直線l的距離最小，其最小距離為．