高考數學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題4 三角函數與平面向量 第18練 解三角形問題 文
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第18練 解三角形問題 [題型分析高考展望] 正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角形問題是高考每年必考的熱點問題之一．命題的重點主要有三個方面：一是以斜三角形為背景求三角形的基本量、求三角形的面積、周長、判斷三角形形狀等；二是以實際生活為背景，考查解三角形問題；三是與其他知識的交匯性問題，此類試題一直是命題的重點和熱點． 體驗高考 1．(2016天津)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120，則AC等于( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 A 解析 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos C，即13＝AC2＋9－2AC3cos 120，化簡得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故選A. 2．(2016課標全國丙)在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，則cos A等于( ) A. B. C．－ D．－ 答案 C 解析 設BC邊上的高線AD交BC于點D，由題意B＝，BD＝BC，DC＝BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tan A＝＝－3，所以cos A＝－. 3．(2015天津)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為3，b－c＝2，cos A＝－，則a的值為________． 答案 8 解析 ∵cos A＝－，0＜A＜π，∴sin A＝. S△ABC＝bcsin A＝bc＝3，∴bc＝24. 又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52. 由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A ＝52－224＝64， ∴a＝8. 4．(2015廣東)設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，則b＝________. 答案 1 解析 因為sin B＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝.又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1. 5．(2016北京)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac. (1)求∠B的大??； (2)求cos A＋cos C的最大值． 解 (1)由a2＋c2＝b2＋ac得a2＋c2－b2＝ac. 由余弦定理得cos B＝＝＝. 又0＜B＜π，所以B＝. (2)A＋C＝π－B＝π－＝， 所以C＝－A,0＜A＜. 所以cos A＋cos C＝cos A＋cos ＝cos A＋coscos A＋sin sin A ＝cos A－cos A＋sin A ＝sin A＋cos A＝sin. 因為0＜A＜，所以＜A＋＜π， 故當A＋＝，即A＝時， cos A＋cos C取得最大值1. 高考必會題型 題型一 活用正弦、余弦定理求解三角形問題 例1 (1)(2015廣東)設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝且b
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