高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識方法篇 專題4 三角函數(shù)與平面向量 第18練 解三角形問題 文

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第18練解三角形問題題型分析高考展望正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角形問題是高考每年必考的熱點(diǎn)問題之一命題的重點(diǎn)主要有三個(gè)方面：一是以斜三角形為背景求三角形的基本量、求三角形的面積、周長、判斷三角形形狀等；二是以實(shí)際生活為背景，考查解三角形問題；三是與其他知識的交匯性問題，此類試題一直是命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)體驗(yàn)高考1(2016天津)在ABC中，若AB，BC3，C120，則AC等于()A1 B2 C3 D4答案A解析由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C，即13AC292AC3cos 120，化簡得AC23AC40，解得AC1或AC4(舍去)故選A.2(2016課標(biāo)全國丙)在ABC中，B，BC邊上的高等于BC，則cos A等于()A. B. C D答案C解析設(shè)BC邊上的高線AD交BC于點(diǎn)D，由題意B，BDBC，DCBC，tanBAD1，tanCAD2，tan A3，所以cos A.3(2015天津)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知ABC的面積為3，bc2，cos A，則a的值為_答案8解析cos A，0A，sin A.SABCbcsin Abc3，bc24.又bc2，b22bcc24，b2c252.由余弦定理得，a2b2c22bccos A5222464，a8.4(2015廣東)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a，sin B，C，則b_.答案1解析因?yàn)閟in B且B(0，)，所以B或B.又C，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.5(2016北京)在ABC中，a2c2b2ac.(1)求B的大?。?2)求cos Acos C的最大值解(1)由a2c2b2ac得a2c2b2ac.由余弦定理得cos B.又0B，所以B.(2)ACB，所以CA,0A.所以cos Acos Ccos Acoscos Acoscos Asin sin Acos Acos Asin Asin Acos Asin.因?yàn)?A，所以A，故當(dāng)A，即A時(shí)，cos Acos C取得最大值1.高考必會題型題型一活用正弦、余弦定理求解三角形問題例1(1)(2015廣東)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a2，c2，cos A且bc，則b等于()A3 B2 C2 D.答案C解析由余弦定理a2b2c22bccos A，得4b2122b2，即b26b80，b4或b2，又bc，b2.(2)(2016課標(biāo)全國乙)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.求C；若c，ABC的面積為，求ABC的周長解由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C,2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C可得cos C，所以C.由已知，得absin C，又C，所以ab6，由已知及余弦定理得，a2b22abcos C7，故a2b213，從而(ab)225.所以ABC的周長為5.點(diǎn)評在根據(jù)正弦、余弦定理解三角形問題中，要結(jié)合大邊對大角進(jìn)行判斷一般地，斜三角形中，用正弦定理求角時(shí)，若已知小角求大角，有兩解；已知大角求小角有一解在解三角形問題中，三角形內(nèi)角和定理起著重要作用，在解題中要注意根據(jù)這個(gè)定理確定角的范圍，確定三角函數(shù)值的符號，防止增解等擴(kuò)大范圍的現(xiàn)象發(fā)生變式訓(xùn)練1設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsin Aacos B.(1)求角B的大??；(2)若b3，sin C2sin A，求a，c的值解(1)bsin Aacos B，由正弦定理得sin Bsin Asin Acos B.在ABC中，sin A0，即得tan B.B(0，)，B.(2)sin C2sin A，由正弦定理得c2a，由余弦定理b2a2c22accos B，即9a24a22a2acos ，解得a，c2a2.題型二正弦、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用例2某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由解(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，則S.故當(dāng)t時(shí)，Smin10，v30.即小艇以30海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇則v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900.00)，則aksin A，bksin B，cksin C.代入中，有，變形可得sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB)在ABC中，由ABC，有sin(AB)sin(C)sin C.所以sin Asin Bsin C.(2)解由已知，b2c2a2bc，根據(jù)余弦定理，有cos A.所以sin A.由(1)，知sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin Bcos Bsin B，故tan B4.